文档内容
8.3 空间直线、平面的平行
思维导图
知识点总结
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
如果一条直线a与一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行.
(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果平面外一条直线
与此平面内的一条直 a⊄ α ， b α ，
判定定理
线平行，那么该直线 a∥b a∥α
与此平面平行 ⊂
⇒
一条直线和一个平面
平行，如果过该直线
l∥α，l β，α∩β＝
性质定理 的 平 面 与 此 平 面 相
m l∥m
交，那么该直线与交
⊂
线平行
⇒
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行.
(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面内的两条相交 a α，b α，a∩b＝
判定定理 直线与另一个平面平行，那 A，a∥β，
么这两个平面平行 b⊂∥β α⊂∥β
两个平面平行，则其中一个
⇒
性质 平面内的直线平行于另一个 α∥β，a α a∥β
平面
⊂ ⇒
两个平面平行，如果另一个
α∥β，α∩γ＝a，
性质定理 平面与这两个平面相交，那
β∩γ＝b a∥b
么两条交线平行
⇒
[常用结论]
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2.三种平行关系的转化
典型例题分析
考向一 直线与平面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，
求证：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)PB∥平面ACF；
(2)EF∥平面PAB.
证明 (1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，
又∵F是PD的中点，
∴OF∥PB，
又∵OF 平面ACF，PB⊄平面ACF，
∴PB∥ ⊂平面ACF.
(2)取PA的中点G，连接GF，BG.
∵F是PD的中点，
∴GF是△PAD的中位线，∴GF綉AD，
∵底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
∴BE綉AD，∴GF綉BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又∵EF⊄平面PAB，BG 平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
⊂
角度2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥ ⊂平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
感悟提升 1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b α，a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
⊂ ⇒
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α a∥β).
⊂ ⇒
2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确
⇒
定交线.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向二
平面与平面平行的判定与性质
例3(1)如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG 平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥ ⊂平面ABD.
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥
⊂
AB，
又∵EF 平面EFGH，AB⊄平面EFGH，
∴AB∥ ⊂平面EFGH.
同理可得CD∥平面EFGH.
(2)解 设EF＝x(0＜x＜4)，
由于四边形EFGH为平行四边形，
所以＝，
则＝＝＝1－，
∴FG＝6－x，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长
L＝2＝12－x.
又∵0＜x＜4，∴8＜L＜12，
故四边形EFGH周长的取值范围是(8，12).
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)如图所示，在三棱柱ABC－A B C 中，过BC的平面与上底面A B C 交于GH(GH与B C
1 1 1 1 1 1 1 1
不重合).
(1)求证：BC∥HG；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A B 的中点，求证：平面EFA ∥平面BCHG.
1 1 1
证明 (1)∵在三棱柱ABC－A B C 中，
1 1 1
平面ABC∥平面A B C ，
1 1 1
又平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A B C ＝HG，
1 1 1
∴由面面平行的性质定理得BC∥HG.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
⊂
又G，E分别为A B ，AB的中点，A B 綉AB，
1 1 1 1
∴A G綉EB，
1
∴四边形A EBG是平行四边形，
1
∴A E∥GB.
1
∵A E⊄平面BCHG，GB 平面BCHG，
1
∴A
1
E∥平面BCHG.
⊂
又∵A E∩EF＝E，A E，EF 平面EFA ，
1 1 1
∴平面EFA
1
∥平面BCHG.
⊂
迁移 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是 AB，AC，A B ，A C 的中点”变为“点
1 1 1 1
D，D 分别是AC，A C 上的点，且平面BC D∥平面AB D ”，试求的值.
1 1 1 1 1 1
解 连接A B交AB 于O，
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接OD .
1
由平面BC D∥平面AB D ，
1 1 1
且平面A BC ∩平面BC D＝BC ，
1 1 1 1
平面A BC ∩平面AB D ＝D O，
1 1 1 1 1
所以BC ∥D O，则＝＝1，
1 1
又由题设得＝，
∴＝1，即＝1.
感悟提升 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，
⇒
β∥γ α∥γ).
⇒
考向三 平行关系的综合应用
例4 如图，在正方体ABCD－A B C D 中，P，Q分别为对角线BD，CD 上的点，且＝＝.
1 1 1 1 1
(1)求证：PQ∥平面A D DA；
1 1
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A D DA？请给出证明.
1 1
(1)证明 连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以＝＝，
又因为＝＝，所以＝＝，
所以PQ∥MD ，
1
又MD 平面A D DA，PQ⊄平面A D DA，
1 1 1 1 1
故PQ∥ ⊂平面A
1
D
1
DA.
(2)解 当的值为时，能使平面PQR∥平面A D DA，
1 1
如图，证明如下：
因为＝，即＝，故＝，
所以PR∥DA，
又DA 平面A D DA，PR⊄平面A D DA，
1 1 1 1
所以P
⊂
R∥平面A
1
D
1
DA，
又PQ∥平面A D DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
1 1
所以平面PQR∥平面A
1
D
1
DA.
⊂
感悟提升 证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题
的关键；面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.
基础题型训练
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一、单选题
1．下列命题一定正确的是
A．三点确定一个平面 B．依次首尾相接的四条线段必共面
C．直线与直线外一点确定一个平面 D．两条直线确定一个平面
【答案】C
【详解】A：不共线的三点确定一个平面，故错误；
B：空间四边形，不共面，故错误；
C：正确；
D：两条异面直线不能确定一个平面，故错误．
故选C．
2．“直线 与平面 没有公共点”是“直线 与平面 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.
【详解】若直线 与平面 没有公共点，那直线 与平面 只能平行，故充分条件成立；若直线 与平面
平行，则直线 与平面 没有公共点，故必要性也成立，所以“直线 与平面 没有公共点”是“直线 与
平面 平行”的充分必要条件.
故选：C
3．已知 是不重合直线， 是不重合平面，则下列命题
①若 ，则 ∥
②若 ∥ ∥ ，则 ∥
③若 ∥ 、 ∥ ，则 ∥
④若 ，则 ∥
⑤若 ，则 ∥
为假命题的是
A．①②③ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①②④
【答案】D
【分析】由垂直于同一平面的两平面平行或相交，可判断 ；由面面平行的判定定理可判断 ；由平行平
① ②
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】面的传递性可判断 ；由线面垂直和面面垂直的性质可判断 ；由垂直于同一平面的两直线平行可判断
． ③ ④
⑤【详解】m、n是不重合直线， 、 、 是不重合平面，
对于 ，若 ⊥ 、 ⊥ ，则 ∥α或β，γ 相交，故 错误；
对于①，若αm γ、βn γ 、m∥α 、βn∥α，且β m，n相交①，则 ∥ ，故 错误；
对于②，若 ∥⊂α、 ∥⊂α，则 ∥β ，故β 正确； α β ②
对于③，若α⊥β、γm⊥β ，则γmα∥ 或③m ，故 错误；
对于④，若αm⊥β、n⊥β，则m∥nα，故⊂α正确．④
故选⑤D． α α ⑤
【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查推理能
力，属于基础题．
4．如图在正四面体 中，E，F分别为AB和AC的中点，则两条异面直线CE与DF所成角的余弦
值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 的中点M，连接 ，则 为两条异面直线CE与DF所成角（或其补角），设正
四面体 的边长为2，求出 ，即可求出 .
【详解】取 的中点M，连接 ，则 为两条异面直线CE与DF所成角（或其补角），
设正四面体 的边长为2， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
两条异面直线CE与DF所成角的余弦值为 .
故选：B.
5．已知两个平面 ，在下列条件下，可以判定平面 与平面 平行的是（ ）
A． 都垂直于一个平面
B．平面 内有无数条直线与平面 平行
C． 是 内两条直线，且 都与平面 平行
D． 是两条异面直线，且 分别与平面 都平行
【答案】D
【分析】根据空间线面位置关系，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项， 都垂直于一个平面 ，平面 与平面 平行或相交，故错误；
对于B选项，平面 内有无数条直线与平面 平行，则两个平面平行或相交，故错误；
对于C选项，当 是 内两条相交直线，且 都与平面 平行时， ，故错误；
对于D选项， 是两条异面直线，且 分别与平面 都平行，则 ，故正确.
故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．设 ， 为两个不同平面， ， 是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则 与 是异面直线
C．若 ， ， ，则
D．若 ， 则 且
【答案】C
【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】解：对于 ：由 ， ，则 或 ，故 错误；
对于 ：若 ， ，则 与 可能是异面直线、平行或相交，故 错误；
对于 ：若 ， ， ，则 ，故 正确；
对于 ：若 ， ，则 或 或 ，故 错误；
故选：
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求
解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
二、多选题
7．已知α、β为平面，A、B、M为点，a为直线，下列推理正确的是（ ）
A． ， ， ，
B． ， ，
C． ，
D．A、B、 ，A、B、 ，且A、B、M不共线 、β重合
【答案】ABD
【分析】两个平面的公共部分不可能只有一个点，所以C选项错误，其余选项根据线面关系可判定正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，所以A选项正确；
两个平面相交于一条直线，则公共部分一定全在这一条直线上，所以B选项正确；
两个平面的公共部分不可能只有一个点，所以C选项错误；
有三个不共线的点属于两个平面的公共部分，则这两个平面重合，所以D选项正确.
故选：ABD
8．已知m，n是空间中两条不同的直线， ， 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】ABD
【分析】A：根据线面位置关系，结合面面垂直的性质进行判断即可；B：根据线线位置关系，结合面面垂
直的性质进行判断即可；C：根据面面垂直的性质和线面垂直的性质，结合线面位置关系进行判断即可；
D：根据面面垂直的性质定理进行判断即可．
【详解】对于A，直线m与平面 可能垂直，也可能平行或m在平面 内，故A不正确；
对于B，直线m与n平行、异面或相交，故B不正确；
对于C， ，则 或 ，又 ，所以 ，故C正确；
对于D，缺少条件 ，故D不正确；
故选：A B D
三、填空题
9．若两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是___________(从“平行，相交，异面”中选)
【答案】平行或异面
【分析】由两条直线的位置特点再结合两条直线平行的定义与两条直线异面的定义可得直线 与直线 平
行或异面．
【详解】解：当直线 与直线 共面时，由两条直线平行的定义得 ．
当直线 与直线 不共面时，由异面直线的定义得直线 与直线 异面．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：平行或异面．
10．如图，正方体 的所有棱中，其所在的直线与直线 成异面直线的共有______条.
【答案】6
【分析】根据几何体依次写出与直线 成异面的直线即可得解.
【详解】在正方体 的所有棱中，其所在的直线与直线 成异面直线有：
,共有6条
故答案为：6
11．正方体 中，棱长为2， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是
____________
【答案】
【分析】连接 ，证明 （或其补角）为所求异面直线所成的角，在三角形中应用余弦定理求
解．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】如图，连接 ，正方体中 与 平行且相等，∴ 是平行四边形，∴ ，
∴异面直线 与 所成角为 （或其补角），
中，∵ 是 中点，∴ ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题方法是作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形可得．
三个步骤：一作二证三计算．
12．已知 是 所在平面外的一点， 分别是 的中点，若 ，则异
面直线 与 所成角的大小是___________.
【答案】
【分析】连接 ，并取其中点为 ，连接 ， ，则 就是异面直线 与 所成的角，由此
能求出异面直线 与 所成的角．
【详解】解：取 的中点 ， 连接 ， 则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】就是异面直线 与 所成的角.
由 得 ，
，
，即异面直线 与 所成角的大小为
故答案为：
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化
归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直
线所成的角．
四、解答题
13．如图，在长方体 的六个表面中，指出 在哪些平面内，与哪些平面相交，与哪些平
面平行．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】见解析
【分析】根据长方体的图像直接可判断.
【详解】由图可知 平面 ， 平面 ，
与平面 、平面 相交，
平面 ， 平面 .
14．如图，正方体 中，E为AB中点，F为正方形BCC B 的中心．
1 1
（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线A C与EF所成角的余弦值．
1
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）取BC中点H，连结FH，EH，证明∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，即可得出结论；
（2）取 中点O，连接OF，OA，则 为异面直线 与EF所成角，由余弦定理，可得结论；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2，
∵F为BCC B 中心，E为AB中点，
1 1
∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH= ，
∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH，
∴ ，
所以直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 ．
（2）取 中点O，连接OF，OA，
则OF∥AE，且OF=AE，
∴四边形AEFO为平行四边形，∴AO∥EF，
∴∠AOA 为异面直线A C与EF所成角，
1 1
∵ ，
∴△AOA 中，由余弦定理得 ，
1
异面直线A C与EF所成角的余弦值为 ．
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．如图，已知点 分别为正方体 的棱 的中点，求证：
三线共点．
【答案】证明见解析
【分析】利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点．
【详解】∵点 ， ， ， 分别为所在棱的中点，连接 ， ，∴ 是 的中位线，∴
.∵ ，且 ，∴四边形 是平行四边形. ∴ ，∴ .∴ ， ，
， 四点共面.
∵ ，故 与 必相交.设 .
∵ ， 平面 ，∴ 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理可证 平面 .∴点 在交线 上，即 ， ， 三线共点.
【点睛】本题主要考查了平面的基本性质的应用，其中解答中合理应用三角形的中位线，平行线分线段成
比例，以及平行线的传递性和平面的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
16．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且
．求证：
(1)点E，F，G，H四点共面；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到 都平行于 ，
由平行线的传递性可得 ，根据两平行确定一平面得出证明；
（2）利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明.
【详解】（1）由题意，作图如下：
空间四边形 中， 分别是 的中点， .
又 ， ， ， 四点共面.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）证明：连接 、 ，因为 分别是 的中点，所以 ，
且 ，又因为 ，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，故四边形 为梯形，且 是梯形的两腰，
所以 相交于一点.设交点为 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，而平面 平面 ，所以 ，
故点 时直线 的公共点，即直线 相交于一点.
提升题型训练
一、单选题
1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】D
【分析】由空间中直线、平面的位置关系逐一判断即可得解.
【详解】解：由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中，若 ， ，则 或 ，故A错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在B中，若 ， ，则 ，故B错误；
在C中，若 ， ，则 或 ，故C错误；
在D中，若 ， ， ，则由面面垂直的判定定理得 ，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求
解能力，考查数形结合思想，属中档题．
2．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 ，
D．若 ， ， ，则
【答案】D
【分析】根据线面、面面垂直及平行的判定定理判断即可得出结论.
【详解】若 ， ，则 不一定垂直 ，故A错误；
若 ， ，则 不一定平行 ，故B错误；
若 ， ，则 可能在 或 内，故C错误；
若 ， ，则 ，又 ，则 正确；故D正确；
故选：D.
3．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是
A．若 B．若
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．若 D．若
【答案】D
【详解】选项A，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m⊥n，m⊥α，n∥β，α⊥β；
选项B，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n，该命题不正确，m∥α，n∥β，α∥β，m与n没有公共点，则也可能
异面；
选项C，若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m∥n，m∥α，n∥β，α与β平行或相交
选项D，根据m⊥α，α∥β，则m⊥β，而n∥β则m⊥n，则该命题正确；故选D
4．如图，在正四面体 中， 为 中点， 是棱 上的动点，则当异面直线 与
所成角的正弦值最小时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，作 ，则 ，则由三角形中位线定理可得 ，得 是异面直线
与 所成的角，当 与 在平面 里的投影重合时， 最小，然后根据已知条件在
中求解即可
【详解】如图，作 ，则 .
为 中点， 是 的中位线，则 ，
则 是异面直线 与 所成的角.
当 与 在平面 里的投影重合时， 最小，
设 平面 ，易知 为等边 的重心，连接
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】并延长，交 于点 ，作 交 于点 .
.
设正四面体 的棱长为 ，则 ，
.
在 中， 为重心， .
又 ，则
在 中，设 ，
，
.
故选：C.
5．已知正三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】以 、 为邻边作平行四边形 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，连接 、
、 ，分析可知异面直线 与 所成角为 或其补角，计算出 三边边长，利用余
弦定理可求得结果.
【详解】以 、 为邻边作平行四边形 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，连接 、
、 ，如下图所示：
因为四边形 为平行四边形，则 且 ，
同理可知 且 ，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，所以， ，
所以，异面直线 与 所成角为 或其补角，
由勾股定理可得 ， ，
在 中， ， ， ，
所以， ，
由余弦定理可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此，直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A.
6．在直三棱柱 中， . ， 分别是 、 的中点， ，则 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取CC 的中点F，过F作FN∥ 交 于N，作FG∥ 交AC于G，则 （或其补角）即
1
为 与 所成角.过N作MN∥ 交 于M，连结MN，在 FGN中，利用余弦定理即可求得 与
△
所成角的余弦值.
【详解】如图所示，取CC 的中点F，过F作FN∥ 交 于N，作FG∥ 交AC于G，因为 ， 分
1
别是 、 的中点，所以N为 的中点，G为AC上靠近点C的 点.
所以 （或其补角）即为 与 所成角.
过N作MN∥ 交 于M，则M为BC上靠近点C的 点,连结MN.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在直三棱柱 中， . ， 分别是 、 的中点，不妨设 ，
则 , ,
所以 , .
在△FGN中，由余弦定理可得： ,
所以 与 所成角的余弦值为 .
故选：D
二、多选题
7．已知直线 与 异面，则（ ）
A．存在无数个平面与 都平行
B．存在唯一的平面 ，使 与 所成角相等
C．存在唯一的平面 ，使 ，且
D．存在平面 ， ，使 ，且
【答案】ACD
【分析】利用直线与平面关系对各选项逐一判断即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】选项A：将异面直线 通过平移到同一平面 内，则存在无数个与平面 平行的平面与 都平
行，A正确；
选项B：两异面直线与同一平面所成角可以相等，而与此平面平行的平面有无穷多个，B错误；
选项C：因为 是异面直线，平移直线 与直线 相交，确定一个平面平行于直线 ，所以过直线 有且
仅有一个平面 与直线 平行，C正确；
选项D： ，存在直线 ，通过平移直线 与直线 相交或重合， ，所以由面面垂直的判定
定理可知 ，D正确；
故选：ACD
8．如图所示是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（ ）
A． 与 所在直线垂直 B． 与 所在直线平行
C． 与 所在直线异面 D． 与 所在直线成 角
【答案】BCD
【分析】作出正方体，利用异面直线所成角的定义可判断AD选项；利用平行四边形的性质可判断B选项；
利用图形可判断C选项.
【详解】如下图所示，连接 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于A选项，因为 且 ，则四边形 为平行四边形，
故 与 所成的角为 或其补角，
易知 为等边三角形，则 ，A错；
对于B选项，由A可知，四边形 为平行四边形，则 ，B对；
对于C选项，由图可知， 与 所在直线异面，C对；
对于D选项，因为 且 ，故四边形 为平行四边形，
所以， 与 所成的角为 或其补角，
因为 为等边三角形，则 ，即 与 所在直线成 角，D对.
故选：BCD.
三、填空题
9．在长方体 中，直线 与直线 的位置关系是_______________；
【答案】异面
【分析】结合图形，直接根据异面直线的定义求解即可.
【详解】因为直线 与直线 不同在任何一个平面内，
所以由异面直线的定义可知，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线 与直线 的位置关系是异面.
故答案为：异面
【点睛】本题考查异面直线的定义，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．
10．将正方体的表面的对角线称为面对角线.若a，b是任意两条面对角线，则a，b所成角的大小为______
（写出所有可能的值）
【答案】 、 、 .
【分析】根据正方体的性质，以其中一条面对角线为例，列举出其它面对角线与其夹角的所有可能即可.
【详解】以正方体中的面对角线 为例，
如上图， 与 成 角；
如上图， 与 成 角；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如上图， 与 成 角；
综上，任意两条面对角线夹角为 、 、 .
故答案为： 、 、
11．下列四个命题：
①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；
②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；
④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.
其中所有真命题的序号是_______.
【答案】①③④
【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.
【详解】根据空间点、线、面之间的位置关系：
过平面外点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；
过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故②不正确；
根据平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，故③
正确；
根据两个平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直
线必在第个平面内，故④正确.
从而真命题的序号为①③④.
【点睛】本题考查了空间点、线、面之间的位置关系，意在考查学生对于点线面关系的性质的理解和空间
想象能力.
12．在棱长为2的正方体 中，已知点P为棱 的中点，点Q为棱CD上一动点，底面正
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方形ABCD内的点M始终在平面 上，则由所有满足条件的点M构成的区域的面积为______．
【答案】
【分析】首先确定两种临界位置，即 与 重合或 与 重合，分别确定此时满足条件的点 所在的位置，
再确定 点不在 、 两点时， 所在的位置，即可得到满足条件的平面区域，即可得解；
【详解】解：因为 在棱 上运动，当 与 重合时，显然平面 即为平面 ，又平面
平面 ，所以点 在 上运动，
当点 运动到 点时，取 的中点 ，连接 、 、 ，因为 为 的中点，所以 ，
又由正方体的性质可知 ，所以 ，所以 、 、 、 四点共面，所以平面 平面
，即 在 上运动，
若 点不在 、 两点时，则可在 上取一点 ，使得 ，则 ，所以 、 、 、
四点共面，所以平面 平面 ，即 在 上运动，
所以点 在四边形 区域（包括边界）运动，又 ，
故所有满足条件的点 构成的区域的面积为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
四、解答题
13．根据下列条件画出图形：平面 平面 直线 ，直线 ，直线 ， ， .
【答案】图形见解析
【分析】根据 ， ，得到 画出图形.
【详解】图形如图所示.
14．如图， 是正三角形 所在平面外一点， 分别是 和 的中点，且
（1）求证： 是 和 的公垂线
（2）求异面直线 和 之间的距离
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据 与 为全等正三角形的关系且 为 中点可证得 ，
根据等腰三角形三线合一可证得 ；同理可证 ，进而得到结论；
（2）分别计算出 和 ，根据勾股定理可求得 ，即为所求距离.
【详解】（1）连接
与 为全等的正三角形，
又 为 中点
又 是 中点
同理可证：
又 ，
是 和 的公垂线
（2）在等腰三角形 中，
又
即异面直线 和 之间的距离为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-
BCD,如图所示.
(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO= ,
所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.
又AO⊥BD,BD∩CO=O,
所以AO⊥平面BCD.
(2)折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO= ,
所以AC= .
如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,
因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH⊂平面AOC,所以BD⊥AH.
又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为
BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK⊂平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平
面角.
在△AOH中,得AH= ,OH= ,所以CH=CO+OH= + = .
在Rt△CHK中,HK= = ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在Rt△AHK中,tan∠AKH= = = .
所以二面角A-BC-D的正切值为 .
16．三棱柱 的侧面 为正方形，且为圆柱的轴截面， 是弧 的中点．求异面直线
与 所成角的余弦值．
【答案】
【分析】设圆柱的底面半径为 ，则 ，根据三棱柱的性质可得 ，
且 或其补角即为异面直线 与 所成的角，在 中利用余弦定理即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则 ，由题意可知： ，
因为 ，所以 或其补角即为异面直线 与 所成的角，
在 中，由余弦定理可得： ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
