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第 22 讲 空间中的平行关系
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
平面外的一条直线和平面内
如果l⊄α，m α，
判定定理 的一条直线平行，则这条直
l∥m，则l∥α
线和这个平面平行
⊂
一条直线和一个平面平行，
且经过这条直线的平面与这 如果l∥α，l β，α∩β
性质定理
个平面相交，则这条直线就 ＝m，则l∥m
与两平面的交线平行 ⊂
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
如果平面α与平面β没有公共点，则α∥β.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面内有两条相
如果l α，m α，
交直线分别平行于另一个
判定定理 l∩m≠∅，l∥β，
平面，那么这两个平面平
m∥β，⊂则α∥⊂β
行
两个平面平行，则其中一
性质 个平面内的直线平行于另 α∥β，a α a∥β
一个平面
⊂ ⇒
如果两个平行平面同时与 如果α∥β，α∩γ
性质定理 第三个平面相交，那么它 ＝l，β∩γ＝m，则
们的交线平行 m∥l
二、考点和典型例题
1、直线与平面平行
【典例1-1】已知a，b是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列说法中
正确的是（ ）A．若 ， ，则直线 B．若 ， ， ，则a与b是异
面直线
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则a，b一定相交
【答案】C
【详解】
若 ， ，则直线 或 ，A错误；
若 ， ， ，则a与b平行或a与b是异面直线，B错误；
若 ， ，由面面平行的性质可得：存在 使得 ，由线面平行的判定可得
，C正确；
若 ， ，则a，b相交或平行，D错误.
故选：C
【典例1-2】如图，正方体 中， 是 的中点，则下列说法正确的是
（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面
D．直线 与直线 相交，直线 平面【答案】A
【详解】
连接 ；由正方体的性质可知 ， 是 的中点，所以直线
与直线 垂直；
由正方体的性质可知 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以直线 平面 ，故A正确；
以 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线 与直线 不平行，故B不正确；
直线 与直线 异面正确， ， ，所以直线 与平面
不垂直，故C不正确；
直线 与直线 异面，不相交，故D不正确；
故选：A.【典例1-3】已知m，n为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列结论中正确
的是（ ）
A．若m// ，m//n，则n// B．若m// ，n// ，则m//n
C．若m// ，n ，则m//n D．若m// ，m ， ＝n，则m//n
【答案】D
【详解】
如图，长方体 中，平面 视为平面 ，
对于A，直线AB视为m，直线 视为n，满足m// ，m//n，而 ，A不正确；
对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m// ，n// ，而m与n相交，B不正确；
对于C，直线AB视为m，直线 视为n，满足m// ，n ，显然m与n是异面直线，
C不正确；
对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.
故选：D
【典例1-4】已知 ， 是空间两个不同的平面， ， 是空间两条不同的直线，下列说
法中正确的是（ ）
A． ，则
B． ， ，则
C．平面 内的不共线三点 到平面β的距离相等，则 与 平行
D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行
【答案】D【详解】
，则 或 ，故选项A错误；
， ，则 或 ，故选项B错误；
当平面 与平面 相交时，可以在平面 内找到不共线三点 到平面β的距离相等，
故选项C错误；
如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一
条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无
数条，故选项D正确.
故选：D.
【典例1-5】如图，在下列四个正方体中， 、 为正方体的两个顶点， 、 、 为所
在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 不平行于平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
对于A选项，连接 ，如下图所示：因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以， ，
、 分别为 、 的中点，则 ，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ；
对于B选项，连接 ，如下图所示：
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以， ，
、 分别为 、 的中点，所以， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ；
对于C选项，连接 ，如下图所示：
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以， ，、 分别为 、 的中点，所以， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ；
对于D选项，连接 、 交于点 ，则 为 的中点，设 ，连接 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
若 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，则 ，
在平面 内，过该平面内的点 作直线 的平行线，有且只有一条，与题设矛盾.
假设不成立，故D选项中的直线 与平面 不平行.
2、平面与平面平行
【典例2-1】已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（ ）
A． ，
B． ， ， ，
C． ， ，
D． ， ， ， ，
【答案】D
【详解】
A： ， ，则 或 ，错误；
B：若 时， 或 相交；若 相交时， ，错误；
C： ， ， ，则 平行、相交、重合都有可能，错误；D： ， 且 ， ，根据面面平行的判定知： ，正确.
故选：D
【典例2-2】设m，n是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】
A选项，若 ， ，则 ，或m，n相交或m，n异面，A错误；
B选项，若 ， ，则 或 ， 相交，B错误；
C选项，若 ， ，则 或 ，C错误；
D选项，若 ， ，则 ，D正确.
故选：D
【典例2-3】在正方体 中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面 与平面 B．平面 与平面
C．平面 与平面 D．平面 与平面
【答案】A
【详解】
如图，正方体 ，
所以四边形 是平行四边形， 平面 ，
面 ，所以 平面 ，同理 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
故选：A
【典例2-4】在三棱台 中，点 在 上，且 ，点 是三角形
内（含边界）的一个动点，且有平面 平面 ，则动点 的轨迹是
（ ）
A．三角形 边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
【答案】C
【详解】
如图，过 作 交 于 ，连接 ，
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，所以 ，（ 不与 重合，否则没有平面 ），
故选：C．
【典例2-5】如图，在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
【解析】(1)
证明：连接 交 于点 ，则 为 的中点，因为 为 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
(2)证明：因为 且 ， 为 的中点， 为 的中点，
所以， ， ，所以，四边形 为平行四边形，
所以， ， 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ，因此，平面 平面 .
3、平行关系的综合应用
【典例3-1】如图，已知正方体 的棱长为2，则下列四个结论错误的是
（ ）
A．直线 与 为异面直线
B． 平面C．三棱锥 的表面积为
D．三棱锥 的体积为
【答案】D
【详解】
因为 平面 , 平面 , 平面 , ,所以直线 与
为异面直线,故A对. 平面 ， 平面 ， 平面
，故B对.
, ,所以三棱
锥 的表面积为 ，故C对.
,故D 错.
故选:D
【典例3-2】已知 ， ， 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C
【详解】如图所示：
A. 若 ，满足 ， ，则 异面，故错误；
B. 若 平面ABCD，满足 ， ，则a，b相交；故错误；
C. 因为 ， ，由垂直同一直线的两个平面平行，则 ，故正确；
D. 若 平面ABCD，满足 ， ， ，故错误；
故选：C
【典例3-3】如图，在四棱锥 中， ， ，点F为棱CD的中点，
与E，F相异的动点P在棱EF上.
(1)当P为EF的中点时，证明： 平面ADE；
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得 平面PBD？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)
如图，设点 为棱 的中点，连接 ， ，∴ , ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
(2)
如图，延长 ， 相交于点 ，连接 ，则直线 为平面 与平面 的交线，
连接 ，交 于点 ，
若 平面 ，由线面平行的性质可知 ，
设 ，∵点 为棱 的中点， ， ，
∴ ，
∵ ， ， 三点共线，
∴ ，即 ，
所以当 时， ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∴存在满足条件的点 使得 平面 ，此时 .
【典例3-4】如图，四边形ABCD为长方形， 平面ABCD， ， ，
点E、F分别为AD、PC的中点．设平面 平面 ．
(1)证明： 平面PBE；
(2)证明： ；
(3)求三棱锥 的体积．
【解析】(1)
取PB中点 ，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点
所以 ， ，因为四边形ABCD为长方形，所以 ，且 ，所
以 ， ，所以四边形DEGF为平行四边形，所以
因为 平面PBE， 平面PBE， 平面PBE(2)由（1）知 平面PBE，又 平面PDC，平面 平面
所以
(3)因为 平面ABCD，所以PD为三棱锥 的高，
所以 ．
【典例3-5】如图所示的几何体中， ， ， 都是等腰直角三角形，
，且平面 平面 ，平面 平面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】(1)
证明：分别取 的中点 ，连接 ，
设 ，则 ，
，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，平面 ，
同理可证 平面 ， ，
又因为 ，所以四边形 是平行四边形， ，
又 平面 平面 ， 平面 ；
(2)
如图，取 的中点为 ，则 ，
以点 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标
系，
则 ，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，得平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
