文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 22 讲 平面向量的概念及其线性运算（精讲）
题型目录一览
①平面向量的概念
②平面向量的线性运算
③共线向量定理的应用
一、知识点梳理
一、向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量 的大小，也就是向量 的长度，记作 ．
（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定： 与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二、向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
①交换律
a+b
求两个向量和的 b b a+b
加法
运算 ②结合律
a a
三角形法则平行四边形法则
a-b
求 与 的相反 b
向量 的和的
减法
运算叫做 与 a
的差
三角形法则
数乘 求实数 与向量 （1）
的积的运算（2）当 时， 与 的方向相同；当
时， 与 的方向相同；
当 时，
注：①向量表达式中的零向量写成 ，而不能写成0．
②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而
在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
三、平面向量基本定理和性质
（1）共线向量定理
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使 ．（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，其中 ， 为平面
内一点．
若A、B、C三点共线 存在唯一的实数 ，使得 存在唯一的实数 ，使得
存在唯一的实数 ，使得 存在 ，使得 ．
（3）中线向量定理
如图所示，在 中，若点D是边BC的中点，则中线向量 ，反之亦正确．
A
B C
D
【常用结论】
①向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形
法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即 ．
②特别地： 或 当且仅当 至少有一个为 时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
③ 、 、 三点共线 ，这是直线的向量式方程．
二、题型分类精讲
题型 一 平面向量的概念
策略方法 解答与向量有关概念的四个关注点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大
小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移
混为一谈．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
【典例1】（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
【答案】ABC
【分析】根据向量的有关概念进行判定即可.
【详解】A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
故选：ABC.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相等向量的定义即可得答案.
【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心，
所以 与 模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确；
与 只是模相等的向量，故B错误；
与 只是模相等的向量，故C错误；
与 只是模相等的向量，故D错误.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．向量 与 是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
【答案】C
【分析】根据向量相等和 平行的定义逐项分析可以求解.
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误；
对于C，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确；对于D，两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等；
②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．
【详解】对于①，向量 与向量 ，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量 与 平行时， 或 为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量 与 是共线向量，点 ， ， ， 不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
【答案】C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类
讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若 同向共线， ，
若 反向共线， ，
若 不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知 .
综上可知对于任意向量 ，必有 ，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
5．（2023·广东揭阳·校考二模）设 是单位向量， ， ， ，则四边形 是
（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】由题知 ，进而得 ， ，再根据菱形的定义即可得答案.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，即 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
因为 ，即 ，
所以四边形 是菱形.
故选：B
6．（2023·北京大兴·校考三模）设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由 表示单位向量相等，则 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出 ，
由 表示 同向且模相等，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心.（1）与 相等的向
量有______________；（2）与 相等的向量有__________；（3）与 共线的向量有__________.
【答案】 ， ，
【分析】利用相等向量和共线向量的定义解答即可.
【详解】（1）与 相等的向量有 ， ， ；
（2）与 相等的向量有 ；
（3）与 共线的向量有 .
故答案为： ， ， ； ； .
8．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题：①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
【答案】
【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；
对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；
对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；
对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；
对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误；
则正确的命题个数为 个.故答案为： .
题型二 平面向量的线性运算
策略方法 平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三
角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
【典例1】（多选题）已知M为 ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
△
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得 ，故A正确；
由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以 ，又 ，所以 ，故B正确；
，故C正确；
， ，又 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体 中，化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【详解】由长方体的结构特征，有 ，
则 .
故选：B
2．（2023·安徽铜陵·统考三模）在平行四边形 中， 是 边上中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算进行求解.【详解】因为 是平行四边形 的 边上中点，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在 中， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】由 可得 为 边中点，如图所示：
故选：B.
4．（2023·河北·统考模拟预测）已知 为 所在平面内一点，且满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解.
【详解】如图，因为 ，所以 是线段 的四等分点，且 ,
所以 ,
故A,B错误；
由 ，可得 ，故C正确，D错误，
故选:C.
5．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在 中， ，E为AD
中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的减法法则和平行四边形法则对向量进行分解转化即可.
【详解】因为 ，E为AD中点，
所以 .
故选：B.
6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在 中，点 为 中点，点 在 上且 .记，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法、减法法则线性表示即可.
【详解】如图所示：
由 ，
所以 ，
又 ，
，
又因为 为 中点，
，
则 ，
故选：B.
7．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在 中，M为线段 的中点，G为线段
上一点， ，过点G的直线分别交直线 ， 于P，Q两点， ，
，则 的最小值为（ ）．A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】先利用向量的线性运算得到 ，再利用三点共线的充要条件，得到 ，再
利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为M为线段 的中点，所以 ，又因为 ，所以
，
又 ， ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故选：B.
二、多选题8．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）下列能化简为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据向量的线性运算分别判断即可．
【详解】解：对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D不合题意；
故选：ABC．
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中，若点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，设
， ， 交于一点 ，则下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用向量的加减法则进行判断.
【详解】根据向量减法可得 ，故A正确；
因为 是 的中点，所以 ，故B正确；由题意知 是 的重心，
则 ，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）化简： =______．
【答案】
【分析】由向量的加减法法则计算．
【详解】 ．
故答案为： ．
11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知在平行四边形ABCD中，点E满足 ，
，则实数 ______．
【答案】
【分析】利用向量的四则运算化简求值.
【详解】如图所示：
平行四边形ABCD中，点E满足 ，
，
解得： .
故答案为：
12．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在 中，若点 满足 ，设 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据向量的线性运算可用 表示 ，求出 的值后可求 的值.
【详解】
因为 ，故 ，
整理得到： ，故 ，
而 ，故 为线段 靠近 的三等分点，故 不共线，
故 即 故答案为： .
题型三 共线向量定理的应用
策略方法 共线向量定理的三个应用
【典例1】（单选题）已知 是不共线的向量，且 ，则（ ）
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线
【答案】D
【分析】利用平面向量共线向量定理求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
若A、B、D三点共线，则 ，而 无解，故A错误；
因为 ，
所以 ，
若A、B、C三点共线，则 ，而 无解，故B错误；
因为 ，
所以 ，
若B、C、D三点共线，则 ，而 无解，故C错误；
因为 ，
所以 ，
即 ，所以A、C、D三点共线，故D正确.
故选：D
【典例2】如图，在 中，点D，E是线段BC上两个动点，且 ，则
____________， 的最小值为_____________.【答案】 2
【分析】设 ， ，由 ， ， ， 共线及已知可得 ，从而有
，然后利用基本不等式即可求解；
【详解】解：设 ， ，
， ， ， 共线，
， ，
，
又
， ，
，显然 ， ，
所以
当且仅当 且 即 ， 时取等号，故答案为：2； ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若M、P、Q三点共线，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．－1
【答案】A
【分析】根据平面向量共线定理，列方程组即可求解.
【详解】解：∵M、P、Q三点共线，则 与 共线，
∴ ，即 ，得 ，解得 .
故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）若平面四边形ABCD满足： ， ，则该四边
形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.
【详解】 ， ,
所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，
所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 不共线，若向量 与向量 共线，则
的值为（ ）
A． B．0或 C．0或1 D．0或3
【答案】A
【分析】根据向量共线的条件 ,代入化简,对应系数相等
【详解】因为 与 共线，可设 ，即 ，因为 ， 不共线，
所以 所以 .
故选:A.
4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知向量 ，则“ 与 共线”是“存在唯一实数 使得
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】充分性根据 验证；必要性直接证明即可.
【详解】当 时，满足 与 共线，
但是不存在实数 使得 ，
故充分性不成立；
存在唯一实数 使得 则 与 共线成立，
即必要性成立.
故“ 与 共线”是“存在唯一实数 使得 ”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是不共线的两个平面向量，已知 ，
，若 ， ， 三点共线，则 （ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】根据向量数乘及向量共线条件，即可求得 的值.
【详解】若 、 、 三点共线，则 ，
即满足系数成比例，则 ，
解得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面向量数乘的意义，平面向量共线求参数，属于基础题.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若 ，其中λ∈R，则点
P一定在（ ）
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.【详解】∵ ，
∴ ，则 ，则
∴
∴P点在AC边所在直线上．
故选：A．
7．（2023·全国·高三专题练习）在 中，点 是边 上一点，若 ，则实数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量共线定理设 ， ，通过线性运算得 ，结合题目条件
得到方程组，解出即可.
【详解】作出如图所示图形：
三点共线，故可设 ， ，
则 ，
， ，解得 .
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在 所在平面内，满 ， ，
则点 依次是 的（ ）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
【答案】A
【分析】设 中点为 ，进而结合向量加法法则与共线定理得 三点共线， 在 的中线 ，
进而得 为 的重心，根据题意得点 为 的外接圆圆心，进而可得答案.
【详解】解：设 中点为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
因为 有公共点 ，
所以， 三点共线，即 在 的中线 ，
同理可得 在 的三条中线上，即为 的重心；
因为 ，
所以，点 为 的外接圆圆心，即为 的外心
综上，点 依次是 的重心，外心.
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）在 中，点 为 的中点， ， 与 交于点 ，且满
足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理，用 表示 即可得答案.【详解】解：如图，因为点 为 的中点， ，
所以， ，
，
所以 ，即 ，解得
所以， 的值为 .
故选：B
二、多选题
10．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）在 所在的平面上存在一点 ，
，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的外心
B．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的垂心
C．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的重心
D．若 ， ，则点 的轨迹一定过 的外心
【答案】ABD
【分析】由 ，结合向量共线的推论判断 的轨迹，讨论 形状判断A、B正误；根据重心的性质得 判断C；根据题设确定 ， ， 点的轨迹，讨论 形状判断D.
【详解】若 ，根据向量共线的推论知： 共线，即 在直线 上，
中 ，则 的中点为三角形外心，故 有可能为外心，A错；
中 或 ，则 或 为三角形垂心，故 有可能为垂心，B错；
若 为 的重心，必有 ，此时 ，C对；
若 ， ，结合 ，则 点在一个以AB、AC为邻边的平行四边形
内（含边界），
为锐角三角形，其外心在 内，则 必过外心；
为直角三角形，其外心为斜边中点，则 必过外心；
为钝角三角形且 ，其外心在 外，即边 的另一侧，
如下图示， 点在平行四边形 内（含边界），
此时，当外心在 内（含边界），则 必过外心；当外心在 外（如下图 为 的中垂
线），则 不过外心；
所以， ， ， 的轨迹不一定过 的外心，D错.
故选：ABD
三、填空题
11．（2023·河南·统考二模）已知 不共线，向量 ， ，且 ，则 _______．【答案】
【分析】根据向量共线定理可知 成立，列出方程组，即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，使得 成立，即 .
因为 不共线，所以 ，解得 .
故答案为： .
12．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知 是平行四边形 对角线上的一点，且 ，其中
，写出满足条件的 与 的一组 的值__________．
【答案】 （答案不唯一，满足 或 即可）
【分析】若 在 上可得 ，若 在 上，根据共线定理的推论得到 ，填写符合题意的答
案即可.
【详解】因为 ，若 在 上，则 ，又 ，所以 ，
若 在 上，即 、 、 三点共线，又 ，则 ．
故答案为： （答案不唯一，满足 或 即可）
13．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），
若 ，则 的最小值为____________.
【答案】9
【分析】根据向量共线定理得推论得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以 ，又 ，
故 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为：9.
