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第 22 讲 空间中的平行关系
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
平面外的一条直线和平面内
如果l⊄α，m α，
判定定理 的一条直线平行，则这条直
l∥m，则l∥α
线和这个平面平行
⊂
一条直线和一个平面平行，
且经过这条直线的平面与这 如果l∥α，l β，α∩β
性质定理
个平面相交，则这条直线就 ＝m，则l∥m
与两平面的交线平行 ⊂
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
如果平面α与平面β没有公共点，则α∥β.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面内有两条相
如果l α，m α，
交直线分别平行于另一个
判定定理 l∩m≠∅，l∥β，
平面，那么这两个平面平
m∥β，⊂则α∥⊂β
行
两个平面平行，则其中一
性质 个平面内的直线平行于另 α∥β，a α a∥β
一个平面
⊂ ⇒
如果两个平行平面同时与 如果α∥β，α∩γ
性质定理 第三个平面相交，那么它 ＝l，β∩γ＝m，则
们的交线平行 m∥l
二、考点和典型例题
1、直线与平面平行
【典例1-1】已知a，b是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列说法中
正确的是（ ）A．若 ， ，则直线 B．若 ， ， ，则a与b是异
面直线
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则a，b一定相交
【典例1-2】如图，正方体 中， 是 的中点，则下列说法正确的是
（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面
D．直线 与直线 相交，直线 平面
【典例1-3】已知m，n为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列结论中正确
的是（ ）
A．若m// ，m//n，则n// B．若m// ，n// ，则m//n
C．若m// ，n ，则m//n D．若m// ，m ， ＝n，则m//n
【典例1-4】已知 ， 是空间两个不同的平面， ， 是空间两条不同的直线，下列说
法中正确的是（ ）
A． ，则
B． ， ，则C．平面 内的不共线三点 到平面β的距离相等，则 与 平行
D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行
【典例1-5】如图，在下列四个正方体中， 、 为正方体的两个顶点， 、 、 为所
在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 不平行于平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
2、平面与平面平行
【典例2-1】已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（ ）
A． ，
B． ， ， ，
C． ， ，
D． ， ， ， ，
【典例2-2】设m，n是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【典例2-3】在正方体 中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面 与平面 B．平面 与平面C．平面 与平面 D．平面 与平面
【典例2-4】在三棱台 中，点 在 上，且 ，点 是三角形
内（含边界）的一个动点，且有平面 平面 ，则动点 的轨迹是
（ ）
A．三角形 边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
【典例2-5】如图，在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．3、平行关系的综合应用
【典例3-1】如图，已知正方体 的棱长为2，则下列四个结论错误的是
（ ）
A．直线 与 为异面直线
B． 平面
C．三棱锥 的表面积为
D．三棱锥 的体积为
【典例3-2】已知 ， ， 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【典例3-3】如图，在四棱锥 中， ， ，点F为棱CD的中点，
与E，F相异的动点P在棱EF上.(1)当P为EF的中点时，证明： 平面ADE；
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得 平面PBD？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【典例3-4】如图，四边形ABCD为长方形， 平面ABCD， ， ，
点E、F分别为AD、PC的中点．设平面 平面 ．
(1)证明： 平面PBE；
(2)证明： ；
(3)求三棱锥 的体积．
【典例3-5】如图所示的几何体中， ， ， 都是等腰直角三角形，
，且平面 平面 ，平面 平面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
