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第22讲 解三角形
【知识点总结】
1.角的关系
2.正弦定理
为 的外接圆的直径）.
正弦定理的应用：
① 已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若 ,已知角Ａ求角Ｂ.
若 ,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
② 已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边.
4.三角形面积公式
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习） 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ，若
这个三角形有两解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且满足
，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形例3．（2022·全国·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 .且
， 在① 的周长为6；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.
（1）求 ；
（2）求 的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.
例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度
数成等差数列， ．
（1）若 ，求c的值；
（2）求 的最大值．
例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在 中， ，点D在BC边上，且 ， ，
（1）求AC的长；
（2）求 的值.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 在区间 上的值域．
（Ⅱ）在 中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角， ，且 ，求
面积的最大值．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
2．（2022·全国·高三专题练习）在△ 中，内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 的内角 所对的边分别为 满足
且 ，则 （ ）
A． B．C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某
同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为 的建筑物 在它们之间的地面上的
点 三点共线）处测得楼顶 ､楼顶 的仰角分别是 和 在楼顶 处测得楼顶 的仰角为
，则估算黄鹤楼的高度 为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=1，b= ，B=60°，则
A=（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
8．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知
的外接圆半径为 的周长为 则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）在 中， .则 的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
10．（2022·浙江·高三专题练习）在 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A． B．C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ，
使得三角形有两解的条件是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A、 、 所对的边分别为 、 、 ，其中 ，
，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．913．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ，
．则 ( )
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知 中，内角 对应的边分别为 ， ， ，若
， ，则 的面积为( )
A． B． C．4 D．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，
， ，则 的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
16．（2022·浙江·高三专题练习）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边长，若
， ，则 的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ，
的面积为 ，则 （ ）
A．45° B．60° C．120° D．150°
18．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
，则 最小内角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若，则角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，
要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．
就可以计算出A，B两点的距离为（ ）．A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m
二、多选题
21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
22．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 为三个内角 ， ， 的对边，若
，则角 （ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
23．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ，
， ，则 ___________
24．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝
4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
25．（2022·全国·高三专题练习（文））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若
， 的面积 ，则 的外接圆的面积为__________．
26．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ， ，则 外接圆的
面积为__________.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知 外接圆的直径为d， ， ， ，则
___________.
28．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A、 、 所对的边分别为 、 、 ，若
，则最大角等于_________．29．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
， ，则 的面积为______.
30．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， ， ，则c的值等于__________
31．（2022·全国·高三专题练习）已知在 中， ，则
________.
32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形 中， ， ， ，
， ，则四边形 的面积为________.
33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高 .选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N
点的仰角 ，C点的仰角 以及 ，从C点测得 .已知山高
米.则所求山高 为___________米.
四、解答题
34．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 分别为内角 的对边，且（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 ，试判断 的形状．
35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，a＝8，b＝6，cosA ，求：
（1）角B；
（2）BC边上的高．
36．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ，
， ．
（1）求 ， 的值：
（2）求 的值．
37．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 分别为角 的对边，且 .
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
38．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，
.
（1）求角 ；（2）若 ，求 的取值范围.
39．（2022·天津北辰·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
（1）若 ，求角A的大小；
（2）若 ，求 的面积．
40．（2022·上海·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求B和c.
41．（2022·全国·高三专题练习）从① ，② ，③
，这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，______．
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
42．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．（1）求 ；
（2）若点 在 上，满足 为 的平分线， 且 ，求 的长．43．（2022·全国·高三专题练习）在钝角 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，
.
（1）求 的值.
（2）若 ， ，求 的面积.
44．（2022·全国·高三专题练习） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 的面积 ， ，求 .
45．（2022·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求角B的大小；
（2）从条件① ；条件② 这两个条件中选择一个作为已知，求 的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
46．（2022·全国·高三专题练习） 中， ，点 在 边上， 平分 .（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 .47．（2022·全国·高三专题练习（文））在 中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足
，若
（1）求角B；
（2）若周长为6，求 的面积.
48．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
49．（2022·全国·高三专题练习（文））在 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，
， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）已知 的面积为 ，求边b．
50．（2022·全国·模拟预测）在△ 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求 ；（2） 是 边上的中点，求 的长.51．（2022·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围．
52．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
.
（1）求 ；
（2）求 .
53．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形 ， ， 为边 上的一点， ，
再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求 的面积及 的长．条件① ；条件② ；条件③ ．
54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， ， ，
， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
55．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，且 为 的角
平分线， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求四边形 的面积．
56．（2022·全国·高三专题练习）如图， 中，角 成等差数列， ， ，
为 的中点.（1）若 ，求 ；（2）若 ，记 ，且 ，求 的值．
57．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
58．（2022·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个
测点C与 现测得 ， ， 米，又在点C测得塔顶A的仰角为 ，求塔
高AB.
