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第22讲 解三角形
【知识点总结】
1.角的关系
2.正弦定理
为 的外接圆的直径）.
正弦定理的应用：
① 已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若 ,已知角Ａ求角Ｂ.
若 ,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
② 已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边.
4.三角形面积公式
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习） 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ，若
这个三角形有两解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为这个三角形有两解，故满足 ，即 ，解得 .
故选：B
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且满足
，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【详解】
因为 ，
由正弦定理可得： ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
即 (舍去)或 ，
故 为直角三角形，
故选：C
例3．（2022·全国·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 .且
， 在① 的周长为6；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.
（1）求 ；
（2）求 的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.
【解析】
（1）由正弦定理及
得 ，即 ，
由余弦定理得 ，由于 ，所以
（2）选①:由 的周长为 ，得 ，
由（1）得所以 ，
所以 的面积为 .
选②:由正弦定理及 得 ，
由余弦定理得， ，即 ，解得
所以 ，
所以 的面积为 .
选③:由正弦定理及 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，整理可得 ，
因为 ，则 ，所以 为等边三角形，
所以 的面积为 .
例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度
数成等差数列， ．
（1）若 ，求c的值；
（2）求 的最大值．
【详解】
（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又 ，∴ ．
由正弦定理，得 ，即 ．
由余弦定理，得 ，即 ，解得 ．
（2）由正弦定理，得 ，
∴ ， ．∴
．
由 ，得 ．
所以当 时，即 时， ．
例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在 中， ，点D在BC边上，且 ， ，
（1）求AC的长；
（2）求 的值.
【详解】
（1） ， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
（2） ，所以 ，又由题意可得 ，
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．（Ⅰ）求函数 在区间 上的值域．
（Ⅱ）在 中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角， ，且 ，求
面积的最大值．
【详解】解：（Ⅰ）
，
由 ，有 ，所以
函数 的值域为 ．
（Ⅱ）由 ，有 ，
为锐角， ， ．
， 由余弦定理得： ，
， ．
，
当 ，即 为正三角形时， 的面积有最大值 ．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
由已知条件，结合正弦定理得 ，有 或 ，即可知正确选项.
【详解】由 知： ，即 ，
∴ ，即 或 ，
∴ 或 ，故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）在△ 中，内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据面积公式及余弦定理求出 ，以及根据正弦定理变形 ，进一步求出答案.
【详解】
∴
∴ ，
∴
∴ .
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 的内角 所对的边分别为 满足
且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用余弦定理求得 ，再利用正弦定理求解即可.
【详解】
由题 ， ,又 ， ， ，
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】A
【详解】
由正弦定理知 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ 或 .
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武
汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为 的建筑物 在它
们之间的地面上的点 三点共线）处测得楼顶 ､楼顶 的仰角分别是 和 在楼顶 处测得
楼顶 的仰角为 ，则估算黄鹤楼的高度 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别在 ， 及 应用正弦定理求解.
【详解】在 中， 则
在 中，因为 ，
所以因为 ，所以 ，故 .
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=1，b= ，B=60°，则
A=（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【答案】A
【分析】
根据正弦定理 的式子，代入题中数据算出 ，结合△ABC中A0，则tanA=1， ，
外接圆半径为R，由正弦定理得 ，即R=1，
所以 外接圆的面积为 .
故答案为：
27．（2022·全国·高三专题练习）已知 外接圆的直径为d， ， ， ，则
___________.
【答案】
【分析】
根据余弦定理，求得 ，根据同角三角函数的关系，求得 ，利用正弦定理，即可求得答案.
【详解】
由余弦定理得： ，所以 ，由正弦定理得 .
故答案为：
28．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A、 、 所对的边分别为 、 、 ，若
，则最大角等于_________．
【答案】
【分析】
由 ，利用正弦定理可得 ，从而可得角A为最大角，设
，再利用余弦定理即可的解.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
设 ，
则 ，所以 ，
即最大角为 .
故答案为：
29．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
， ，则 的面积为______.
【答案】
【分析】
利用余弦定理求得边c，再利用三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】解：因为 ，所以 ，
则 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为： .30．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ， ，则c的值等于__________
【答案】
【分析】
由余弦定理把角化为边，即可求得 ，再由余弦定理即可求解
【详解】
，
∴ ，
又 ，则 ，
∴ ， ，
又 ，
故 ，
∴ .
故答案为：
31．（2022·全国·高三专题练习）已知在 中， ，则
________.
【答案】
【分析】
利用正弦定理将角化边可得 ，再由余弦定理可求出 ，进而可求 ，从而利用
二倍角公式可解.
【详解】
解：因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，由余弦定理得 ，所以 ，从而 ，
所以 ，
故答案为： .32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形 中， ， ， ，
， ，则四边形 的面积为________.
【答案】
【分析】
由已知条件可得 ， ， ，应用三角形面积公式求 ， ，即可求
四边形 的面积.
【详解】
由题意，知： ，且 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 的面积 .
故答案为：
33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高 .选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N
点的仰角 ，C点的仰角 以及 ，从C点测得 .已知山高
米.则所求山高 为___________米.【答案】
【分析】
在 中可求得 ，再在 利用正弦定理可求出 ，即可求得山高.
【详解】
由题，在 中， ， ，
在 中， ， ，则 ，
由正弦定理可得 ，即 ，解得 ，
又在 中， ， ，
所以所求山高 为 米.
故答案为： .
四、解答题
34．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 分别为内角 的对边，且
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 ，试判断 的形状．
【答案】 ，等腰三角形【详解】
试题分析：（1）利用正弦定理，化简得 ，在利用余弦定理，求解 ，即可求解角的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得 ，即可求解
的最大值.
试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得
即 ，由余弦定理得
故 ，
（2）由（1）得：
故当 时， 取得最大值1，此时三角形为等腰三角形.
考点：正弦定理；余弦定理.
35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，a＝8，b＝6，cosA ，求：
（1）角B；
（2）BC边上的高．
【答案】（1）B （2）4
【分析】
（1）由同角的三角函数关系可得sinA ,再根据正弦定理解得sinB ,即可求角；
（2）先可求得 ,即可求得面积 ,进而求得BC边上的高
【详解】
（1）在△ABC中,a＝8,b＝6,cosA ,所以角A为钝角,由sin2A+cos2A＝1,解得sinA ,
由正弦定理可得 ,解得sinB ,所以B
（2）由（1）可得sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB ,所以 ,
由于 ,解得h＝4 ,
故BC边上的高为4
【点睛】
本题考查求三角函数值,考查正弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力36．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ，
， ．
（1）求 ， 的值：
（2）求 的值．
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）利用二倍角公式求得 ，由此求得 ，结合已知条件和余弦定理求得 ；
（2）先求得 ，由正弦定理求得 .
【详解】
（1）由 ，得 ，
因为在 中， ，得 ，
由于 ，所以 .
由余弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
由正弦定理得 .
37．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 分别为角 的对边，且 .
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据正弦定理即可解决.
（2）利用正弦定理表示出 ，再根据是锐角三角形求出角C的范围即可得到 的取值范围.【详解】
（1）由正弦定理得： ，， ，
，
整理可得： ，
， ， ，又 ， ；
（2） 为锐角三角形， ， ，即 ，
解得： ；
由正弦定理可得： ，
， ，则 ， ，
即 的取值范围为 .
38．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，
.
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）对已知中的正切化为正弦比余弦，然后化简变形可得 ，从而可得 ，
再结合三角形内角和可求出角 ；
（2）方法一：由余弦定理结合基本不等式可得 ，再由三角形两边之和大于第三边可求得答案；方
法二：由正弦定理表示出 ，从而可得 ，而 ，代入化简后利用三角
函数的性质可求得答案【详解】
（1）因为 ，
所以 ；即 ，
所以 ，
故 或 ，
解得 或 （舍
又因为在 中， ，
所以 .
（2）（法一）由余弦定理知 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
又因为 ， ， 是 的三条边，
所以 ，
所以 .
（2）（法二）因为 ， ，
由正弦定理， ，
所以 .
所以 ， ，
因为 ， ， 是 的三个内角，且 .
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
39．（2022·天津北辰·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
（1）若 ，求角A的大小；
（2）若 ，求 的面积．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用正弦定理计算可得；（2）首先利用余弦定理求出 ，再根据同角三角函数的基本关系求出 ，最后根据面积公式计算可
得；
【详解】
解：（1）由已知条件可知， ，
根据正弦定理可得 ，
得
，
，
．
（2）由余弦定理得， ，即
，
因为 ，所以
所以
40．（2022·上海·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求B和c.
【答案】（1） ；（2） ， .
【分析】（1）根据题设条件和三角恒等变换的公式，求得 ，即可求解.
（2）由 ，得到 ，利用弦定理求得 ，得到 ，进而求得 的值，进而求
得 的值.【详解】
（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
即
即 .
（2）因为 ，因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以
因为 为钝角，所以 为锐角，故 ，
所以 ，
所以 .
41．（2022·全国·高三专题练习）从① ，② ，③
，这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，______．
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【分析】
（1）若选①:用二倍角公式将 展开，化简等式即可得解.
若选②和③：用正弦定理将等式两边的边化成角，再用两角和的正弦公式化简即可得解.
(2)用余弦定理及 ，可算出bc的最大值，代入三角形的面积公式即可.【详解】
解：（1）若选①： ，可得
因为 ，所以 ，故 ，即 ，
由 ，可知 ，所以 ．
（2）由余弦定理可知 ，即 ．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时“ ”成立．
所以 面积的最大值为 ．
若选②：由正弦定理可得 ．
即 ．因为 ，所以 ．
故 ，解得 ．
因为 ，所以 ；
（2）由余弦定理 ，即 ．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，“ ”成立；
所以 面积的最大值为 ．
若选③：由正弦定理 ．
因为 ，所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）由余弦定理可知 ，即 ．
因为 ，所以 ，当且仅当 时，“ ”成立；
所以 面积的最大值为 ．
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式
求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
42．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求 ；
（2）若点 在 上，满足 为 的平分线， 且 ，求 的长．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）由正弦定理进行角化边的运算，可得到 ，应用余弦定理可得到角 ；（2）因为
为 的平分线，则 ，用两角和的正弦公式可计算 ，再由正弦定理可得
的长.
【详解】
解：
（1）由正弦定理及 得， ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）得角 ，
又因为 为 的平分线，点 在 上，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 ．
【点睛】
思路点睛：解三角形的问题，常用正弦定理将边化角或角化边，再用正余弦定理解三角形即可.43．（2022·全国·高三专题练习）在钝角 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，
.
（1）求 的值.
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据正弦定理及三角变换公式可得 ，从而可求 的值.
（2）利用余弦定理可得 的关系，结合（1）的结果可求 的值，从而可求面积.
【详解】
解：（1）∵ 即 ，
又 为钝角三角，∴ ，∴ ，
即 ，所以由正弦定理得 ，∴ .
（2）∵ ，
∴由余弦定理得 ，
∴ ，故 ,∴ .
44．（2022·全国·高三专题练习） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 的面积 ， ，求 .
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）4【分析】
（Ⅰ）由正弦定理统一为角，进行三角恒等变换即可求解;
（Ⅱ）由（Ⅰ）及面积公式可求出 ，分 ， 分别化简求解即可.
【详解】
（Ⅰ）∵ ，由正弦定理得 ，
∴ ，
故 ，
整理得 .
∵ ，
∴ .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ . ①
∵ ，
∴ ，
即 ， ②
当 时， .
由（Ⅰ）知 ，可得 .
易知在 中， ，代入①得 ， ，则 ；
当 时，由②得 ，
由正弦定理得 ，与①联立得 ，
∴ ， .由余弦定理得 ，可得 .
综上， .
45．（2022·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）从条件① ；条件② 这两个条件中选择一个作为已知，求 的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】
（1）由题设条件和正弦定理，化简得 ，求得 ，即可求解；
（2）条件①：由 ，和 ，根据余弦定理求得 ，结合面积公式，即可求解；
条件②：由 且 ，根据正弦定理求得 ，进而求得 的值，结合面积公式，即可求解．
【详解】
（1）因为 ，由正弦定理 ．
因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
（2）条件①： ；
因为 ，由（1）得 ，
所以根据余弦定理得 ，可得 ，解得 ．
所以 的面积 ，
条件②： ；
由（1）知 且 ，根据正弦定理得 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 的面积 ．46．（2022·全国·高三专题练习） 中， ，点 在 边上， 平分 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 .
【答案】（1） 或 ；（2）
【分析】
（1）在 中，利用正弦定理可得 ，从而可得 ，再由
，展开即可求解.
（2）利用三角形的面积公式可得 ，从而解得 ，
根据三角形的面积求出 ，再由余弦定理即可求解.
【详解】
（1）令 的边 为 ，
由题意可得 ，
因为 ， ，
为锐角，即 ，
， ，
， ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 或 .
（2） ,设 ，
，
由 ， ，
可得 ，
因为 ，则 ，
，
，
解得 ， ，
，
即 .
47．（2022·全国·高三专题练习（文））在 中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足
，若
（1）求角B；
（2）若周长为6，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据余弦定理和题设条件，化简得到 ，由正弦定理和三角形的内角和定理、两角和的
正弦公式化简得到 ，求得 ，即可求解；
（2）由（1）得到 是直角三角形，根据题设求得边长，结合面积公式，即可求解.【详解】
（1）由余弦定理 ，可得 ，
因为 ，可得 ，因为 ，所以 ，
又由正弦定理得 ，
又因为 ，
代入整理得 ，即 ，
所以 或 （舍去），所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）知 ，所以 是直角三角形
令 ，可得 ，则 ，解得 ，
所以 .
48．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2）面积为 .
【分析】
（1）根据三角形内角和定理、诱导公式以及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）由（1）可知 或 ，由 ，即可求出 ，从而求出 、 ，即可得到 ，最后根
据面积公式计算可得；
【详解】
（1）在 中， ，即 ，
所以 ，
由题意得 .两边平方可得 ，根据 ，
可整理为 ，解得 ，或 （舍去），
所以 .（2）由（1）可知 或 ，由 ，可知 为钝角，所以 ，
又由 ，解得 ， ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
综上所述， 的面积为 .
49．（2022·全国·高三专题练习（文））在 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，
， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）已知 的面积为 ，求边b．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）结合正弦定理进行边角转化，逆用两角和的正弦公式即可求出结果；
（Ⅱ）利用同角的平方关系即可求出 ，进而结合三角形的面积公式即可求出边长 ，再结合余
弦定理即可求出边b.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理， （其中R为 外接圆的半径），所以 ，
， ，
代入已知条件可得： ，
所以 ，即 ，
，故 ．
（Ⅱ）因为 ，且 ，所以 ，故 ，所以 的面积为，
故 ，解得 ，
所以 ，即 ．50．（2022·全国·模拟预测）在△ 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求 ；
（2） 是 边上的中点，求 的长.
【答案】
（1） ；
（2）1.
【分析】
（1）由正弦定理边角关系、三角形内角的性质可得 ，即可求角B；
（2）应用余弦定理求 的长度，由 结合向量数量积的运算律求 的模即可.
（1）
由已知及正弦定理得： ，又 ，
∴ ，则 ，又 ，
∴ .
（2）
在△ 中，由余弦定理得 ，解得
舍去)，
又 ，
∴ .
51．（2022·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 ，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）将 化为 ，然后变形可得答案；
（Ⅱ） ，然后将其化成正弦型函数，可得答案.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理可得
即
又因为 ，所以 ，
∵ ，所以
（Ⅱ）
∵ ，∴ ，
所以
即
52．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
.（1）求 ；
（2）求 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）在 中，结合正弦定理即可求出结果；
（2）结合两角差的余弦公式求出 ，在 中利用余弦定理求出 的长度，进而在 中
利用余弦定理即可求出结果.
【详解】
连接 ,
（1） ， ， ， ， ，
由正弦定理得 ，即 ，
所以 ；
（2）由题意得 为锐角，结合（1）得 ，
因为 ，所以 ，
，
由余弦定理得， ，因为 ，解得 ，
由余弦定理得 ，因为 ，所以 .
53．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形 ， ， 为边 上的一点， ，
再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求 的面积及 的长．条件① ；条件② ；条件③ ．
【答案】答案见解析.【分析】
选①②，由 ，求出 ，再求出AD，BC即可；
选①③，求出AD， ，BC，利用 即可；
选②③，求出 ，AD，AC，再利用 ，求出 即可求出面积，再由余
弦定理即可得结果.
【详解】
选①②， ， ， ，
∵ ，∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，∵ ，
∴ ， ， ，
在 中，∴ ， ，
∴ ，
．
选①③， ， ，
在 中， ， ，
在 中，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ．选②③， ， ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，∴ ．
54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形 中， ， ，
， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先由正弦定理求得 ，根据三角形内角和求出 ，从而求得 ；
（2）由（1）可知 ，再结合余弦定理即可求得结果．
【详解】
（1）由正弦定理，得 ，即 .
所以 ，故 .所以
.
（2）由（1）可知 ，所以 .
由余弦定理，得 ，
所以 .
55．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，且 为 的角
平分线， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先由余弦定理得出 ，再由正弦定理得出 ，进而由角平分线的性质得出 ；
（2）先由平方关系以及差角公式求出 ，再由正弦定理求出 ，进而由三角形面积公式得出四
边形 的面积．
【详解】
解：（1） 中， ，
由余弦定理可得 ，所以 ，再由正弦定理 ，可得
又因为 为 的角平分线，所以 ；
（2） 中， ， ，所以
从而
由正弦定理 可得
而
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用正余弦定理解三角形，由三角形面积公式得出四边形的面积.
56．（2022·全国·高三专题练习）如图， 中，角 成等差数列， ， ，
为 的中点.
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，记 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）由角 成等差数列，可得 ，由 可得 的值，在 中，由余弦定理可得
的值；
（2）依题意， ，且 ，在 中， ，
在 中有 ，代入化简可得 的值.
【详解】解：（1）因为角 成等差数列，所以 ；
由 ，即 ，又因为 ， ，所以 ；
在 中，由余弦定理得， ，
即 ，解得 .
（2）依题意， ；因为 ，所以 ．
在 中， ，在 中， ，
由正弦定理得， ，即 ，
化简得 ，于是 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，故 ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题形，注意运算准确.
57．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）C＝60°.（2）2 ．
【详解】
试题分析：（1）连接BD,因为角A和C互补，所以 ,那么在 和 内用余弦定
理表示 ,方程联立可得 和BD;（2）根据（1）的结果表示 和 ,代入三角形的面积公式．
试题解析：（1）由题意及余弦定理，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C②由①，②得cos C＝ ，故C＝60°，BD＝ ．
（2）四边形ABCD的面积
S＝ AB·DAsin A＋ BC·CDsin C＝ sin 60°
考点：1．余弦定理；2．三角形面积公式．
58．（2022·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个
测点C与 现测得 ， ， 米，又在点C测得塔顶A的仰角为 ，求塔
高AB.
【答案】 米.
【分析】
利用正弦定理先求解出 的值，然后根据直角三角形 中的边角关系求解出 的长度.
【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 米，
又因为 ，所以 ，所以 米，
所以塔高 为 米.
