文档内容
专题 15 圆锥曲线综合
目录一览
2023真题展现
考向一 直线与双曲线综合
考向二 直线与抛物线综合
真题考查解读
近年真题对比
考向一 直线与双曲线综合
考向二 直线与圆锥曲线综合
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 直线与双曲线综合
1．（2023•新高考Ⅱ•第21题）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2√5，0），离心率为√5．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A ，A ，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二
1 2
象限，直线MA 与NA 交于P，证明P在定直线上．
1 2
考向二 直线与抛物线综合
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0， ）的距离，
记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 ．
【命题意图】
考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线相交等．
【考查要点】
圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线
的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、
分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
【得分要点】
1．圆锥曲线的定义
（1）椭圆定义： ．
（2）双曲线定义： ．
（3）抛物线定义：|PF|=d．
2．圆锥曲线的标准方程及几何性质
（1）椭圆的标准方程与几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图形
范围 -a≤x≤a,-b≤ y≤b -b≤x≤b,-a≤ y≤a
对称性 对称轴： x 轴、y 轴 .对称中心：原点 .
焦点 F (-c,0) ,F (c,0) . F (0,-c) ,F (0,c) .
1 2 1 2
A (-a,0) ，A (a,0) ， A (0,-a) ,A (0,a) ，
1 2 1 2
顶点
B (0,-b) ,B (0,b) . B (-b,0) ,B (b,0) .
几 1 2 1 2
何 线段A A ，B B 分别是椭圆的长轴和短轴，
轴 1 2 1 2
性 长轴长为2a，短轴长为2b.
质 焦距 |F F |=2c .
1 2
c √ b2
离心率 e= = 1- ∈(0,1).
a a2
a,b,c的关
c2=a2-b2.
系
（2）双曲线的标准方程与几何性质
标准方程 x2 y2 y2 x2
- =1（a＞0,b＞0） - =1（a＞0,b＞0）
a2 b2 a2 b2
图形
焦点 F（﹣c,0），F（c,0） F（0,﹣c），F（0,c）
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c |FF|＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 关∈于x轴，y轴和原点对称 ∈
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
性
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 c
e= （e＞1）
a
质
准线 a2 a2
x＝± y＝±
c c
渐近线 x y x y
± =0 ± =0
a b b a
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）抛物线的标准方程与几何性质
y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
标准方程
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
图形
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 O(0,0)
p p p p
焦点 F( ,0) F(- ,0) F(0, ) F(0,- )
2 2 2 2
几 p p p p
准线方程 x=- x= y=- y=
何 2 2 2 2
性
范围 x≥0 ,y∈R x≤0 ,y∈R y≥0 ,x∈R y≤0 ,x∈R
质
离心率 e=1
焦半径（
P(x ,y )为 p p p p
0 0 +x -x + y - y
抛物线上一 2 0 2 0 2 0 2 0
点）
3.圆锥曲线中最值与范围的求解方法
几何法 若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形
性质来解决.
代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函
数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别
式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路
（1）把直线或曲线方程中的变量x ,y 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程
就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ,y 的方程组，这个方程
组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y- y =k(x-x ) ，则直线必过定点
0 0
(x ,y ) ;若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
0 0
（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.
5.求解定值问题的常用方法
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6.求解定线问题的常用方法
定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹
方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.
7.有关证明问题的解题策略
圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.
8.探索性问题的解题策略
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,
成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对
参数的讨论.
考向一 直线与双曲线综合
3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为
y＝± x．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x ，y ），Q（x ，y ）在C上，且x ＞
1 1 2 2 1
x ＞0，y ＞0．过P且斜率为﹣ 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M．从下面①②③中选取
2 1
两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
4．（2022•新高考Ⅰ）已知点A（2，1）在双曲线C： ﹣ ＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两
点，直线AP，AQ的斜率之和为0．
（1）求l的斜率；
（2）若tan∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面积．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F （﹣ ，0），F （ ，0），点M满足|
1 2
MF |﹣|MF |＝2．记M的轨迹为C．
1 2
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x＝ 上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|
TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
考向二 直线与圆锥曲线综合
6．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C的方程为 + ＝1（a＞b＞0），右焦点为F（ ，0），且离心率
为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共
线的充要条件是|MN|＝ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据近几年真题推测主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范
围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查。复习时需注意以下几点：（1）求解圆锥曲线时，需关注
待定系数法与定义法的应用（2）求解有关弦中点问题时，需关注点差法和根与系数的关系的应用（3）求
解定值、定点问题时，需注意求解思路与转化方法。
一．椭圆的标准方程（共1小题）
1．（2023•浦东新区三模）已知t R，曲线C：（4﹣t）x2+ty2＝12．
（1）若曲线C为圆，且与直线y＝x﹣2交于A，B两点，求|AB|的值；
∈
（2）若曲线C为椭圆，且离心率 ，求椭圆C的标准方程；
（3）设t＝3，若曲线C与y轴交于A，B两点（点A位于点B的上方），直线y＝kx+t与C交于不同的
两点P，Q，直线y＝s与直线BQ交于点G，求证：当st＝4时，A，G，P三点共线．
二．椭圆的性质（共2小题）
2．（2023•平罗县校级模拟）已知椭圆C： ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，且椭圆上任意一点到
椭圆两个焦点的距离之和为2 ．直线l：y＝ （x+2）交椭圆C于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆左焦点为F ，求△F AB的面积．
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023•奉贤区二模）已知椭圆C： ，A（0，b），B（0，﹣b）．椭圆C内部的一
点 （t＞0），过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．
（1）若椭圆C的离心率是 ，求b的值；
（2）设△BTM的面积是S ，△ATN的面积是S ，若 ，b＝1时，求t的值；
1 2
（3）若点U（x ，y ），V（x ，y ）满足x ＜x 且y ＞y ，则称点U在点V的左上方．求证：当
u u v v u v u v
时，点N在点M的左上方．
三．直线与椭圆的综合（共22小题）
4 ． （ 2023• 海 淀 区 校 级 三 模 ） 已 知 椭 圆 ， 且 过
两点．
（1）求椭圆E的方程和离心率e；
（2）若经过M（1，0）有两条直线l ，l ，它们的斜率互为倒数，l 与椭圆E交于A，B两点，l 与椭圆
1 2 1 2
E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：△OPQ与△MPQ的面积之比是否为定值？若
是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023•汉中模拟）已知过点（1，e）的椭圆E： 的焦距为2，其中e为椭圆E
的离心率．
（1）求E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，直线l与E交于A，C两点，以OA，OC为邻边作平行四边形OABC，且点B恰
好在E上，试问：平行四边形OABC的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．
6．（2023•商洛三模）已知离心率为 的椭圆 经过点A（2，1）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）不经过点A且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为 ，
试问k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023•辽宁二模）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 C 经过点
，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．
8．（2023•商丘三模）如图，椭圆C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分
别为F ，F ，离心率为 ，点 在椭圆C上．
1 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k ，直线BQ的斜率为k ，k ＝2k ．过点B作
1 2 1 2
直线PQ的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；
若不存在，试说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．（2023•南通模拟）已知A，B是椭圆 上关于坐标原点O对称的两点，点D（4，0），
连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N．
（1）若A为线段DM的中点，求点A的坐标；
（2）设△DMN，△DAB的面积分别为S ，S ，若 ，求线段OA的长．
1 2
10．（2023•未央区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ： 与椭圆
1
C ：x2+ ＝1，且椭圆C 过椭圆C 的焦点．过点 的直线l与椭圆C 交于
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A，B两点，与椭圆C 交于C，D两点．
2
（1）求椭圆C 的标准方程；
1
（2）若存在直线l，使得AB＝ CD，求t的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（2023•临汾模拟）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆 与矩
形的四边都相切且焦距为2c，_____．
①a，b，c为等差数列；② 为等比数列．
（1）在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）（1）中所求C的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作直线与椭圆C交于P，Q两点，A为椭圆的右
1 2 1
顶点，直线AP，AQ分别交直线 于M，N两点，求以MN为直径的圆是否过定点，若是求出该定
点；若不是请说明理由．
12．（2023•雅安三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为F ，F ，焦距为
1 2
2，左顶点为A，点 是椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过椭圆C的右焦点F 且与椭圆交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于点
2
M，N．
①求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；
②求△AMN面积的最小值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（2023•南开区二模）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为A，B，
上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．
14．（2023•山西模拟）已知椭圆 的离心率为 为C的右焦点，过点F
作与x轴不重合的直线l，交C于A，B两点，当l与y轴平行时，|AB|＝3．
（1）求C的方程；
（2）P为C的左顶点，直线PA，PB分别交直线x＝4于D，E两点，求 的值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．（2023•重庆模拟）已知椭圆 的左右焦点分别为F ，F ，右顶点为A，
1 2
上顶点为B，O为坐标原点，|OA|＝2|OB|．
（1）若△BF F 的面积为 ，求椭圆C 的标准方程；
1 2 1
（2）如图，过点P（1，0）作斜率k（k＞0）的直线l交椭圆C 于不同两点M，N，点M关于x轴对称
1
的点为S，直线SN交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使 ，记四边形
OMQN的面积为S ，求 的最大值．
1
16．（2023•湖北模拟）已知椭圆 的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交
椭圆于M，N两点，连接AM，AN分别交直线 于P，Q两点，过点F且垂直于MN的直线交直线
于点R．
（1）求证：点R为线段PQ的中点；
（2）记△MPR，△MRN，△NRQ的面积分别为 S ，S ，S ，试探究：是否存在实数 使得 S ＝
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S 1 +S 3 ？若存在，请求出实数 的值；若不存在，请说明理由． λ λ
λ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】17．（2023•锦江区校级模拟）设椭圆 过点 ，且左焦点为
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）△ABC内接于椭圆E，过点P（4，1）和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交于
点Q，满足 ，求△ABC面积的最大值．
18．（2023•凉州区模拟）已知椭圆 的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，
M是椭圆上异于A，B的动点，且 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为直线x＝4上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点F ；
2
②椭圆的左焦点为F ，求△CF D的内切圆的最大面积．
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】19．（2023•湖北模拟）已知椭圆 与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为
上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线 交E于M，N两点，O为坐标原点，以OM，ON为邻边作平行
四边形OMPN，P在椭圆E上，求|OP|的取值范围．
20．（2023•黄浦区校级三模）已知椭圆C： 的焦距为 ，且过点 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，O
为坐标原点．
①若点P在直线 上，求证：线段MN的垂直平分线恒过定点S，并求出点S的坐标；
②求证：当△OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．
21 ． （ 2023• 安 庆 二 模 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 、 C 分 别 为 椭 圆 E ：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的三个顶点，F（c，0）为其右焦点，直线AB与直线CF相交于点T．
（1）若点T在直线l：x＝ 上，求椭圆E的离心率；
（2）设直线CF与椭圆E的另一个交点为D，M是线段CD的中点，椭圆E的离心率为 ，试探究
的值是否为定值（与a，b无关）．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
22．（2023•虹口区校级模拟）已知椭圆C： 的离心率为 ，左、右顶点分别为
A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，△PAB面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AP、BQ的斜率分别为k 、k ，且3k ＝5k ．
1 2 1 2
①求证：直线PQ经过定点；
②设△PQB和△PQA的面积分别为S 、S ，求|S ﹣S |的最大值．
1 2 1 2
23．（2023•天津模拟）已知曲线C的方程为y2＝4x（x＞0），曲线E是以F （﹣1，0）、F （1，0）为
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且 ．
（1）求曲线E的标准方程；
（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．
24．（2023•鼓楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C： + ＝1（a＞b＞0）的左焦
点，直线x＝﹣ 与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且 ＝2 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为k ，k ．
1 2
①求证：k +k 为定值；
1 2
②求△ABF面积的最大值．
25．（2023•滨海新区校级三模）已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，|FQ|＝ c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，
且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
四．直线与抛物线的综合（共3小题）
26．（2023•佛山模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线Γ：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛
物线Γ上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①|FM|+|FN|＝|MN|；②|OM|＝|ON|＝|MN|＝
8 ；③直线MN的方程为y＝6p．
（1）请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线Γ的标准方程；
（2）过抛物线Γ的焦点F的两条倾斜角互补的直线AB和CD交抛物线Γ于A，B，C，D，且A，C两
点在直线BD的下方，求证：直线AD，BC的倾斜角互补并求直线AD，BC的交点坐标．
27．（2023•淮安模拟）已知抛物线C ：y2＝2px（p＞0）与C ：x2＝2qy（q＞0）都经过点A（4，8）．
1 2
（1）若直线l与C ，C 都相切，求l的方程；
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）点M，N分别在C ，C 上，且 ，求△AMN的面积．
1 2
28．（2023•青羊区校级模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）和圆x2+y2＝r2（r＞0）的公共弦过抛物线的焦
点F，且弦长为p2．
（Ⅰ）求抛物线和圆的方程；
（Ⅱ）过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与y轴的交点为M，求△ABM
面积的最小值．
五．直线与双曲线的综合（共10小题）
29．（2023•湖北模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，直线
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】l：x＝1，l与x轴交于点H，l与双曲线C的一条渐近线交于点T，且 ， ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点H与x轴不重合的直线交双曲线C于A，B两点，直线AF ，BF 分别交l于点M，N，求证：
2 2
|HM|＝|HN|．
30．（2023•忻州一模）已知双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，且点A（2，1）在C
上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M．N在双曲线C上，且AM⊥AN，直线MN不与y轴平行，证明：直线MN的斜率k为定值．
31．（2023•张家口三模）已知点P（4，3）为双曲线 上一点，E的左焦
点F 到一条渐近线的距离为 ．
1
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）不过点P的直线y＝kx+t与双曲线E交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】＝kx+t过定点，并求该定点的坐标．
32．（2023•岳麓区校级模拟）设双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点O为坐标原点，
过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点．
（1）当直线l与x轴垂直时，OA⊥OB，求C的离心率；
（2）当C的焦距为2时，∠AOB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围．
33．（2023•德州三模）已知F ，F 分别为双曲线 的左，右焦点，点
1 2
在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2﹣6y+8＝0相切．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点F 且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，Q为x轴上一点，满足|QA|＝|
2
QB|，试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】34．（2023•长春模拟）已知双曲线C上的所有点构成集合P＝{（x，y）|ax2﹣by2＝1（a＞0，b＞0）}和
集合Q＝{（x，y）|0＜ax2﹣by2＜1（a＞0，b＞0）}，坐标平面内任意点N（x ，y ），直线l：ax x﹣
0 0 0
by y＝1称为点N关于双曲线C的“相关直线”．
0
（1）若N P，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N Q；
∈
∈
（3）若点N Q，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证： ．
∈
35．（2023•茂名二模）已知F ，F 分别为双曲线E： ＝1（{a＞0，b＞0}）的左、右焦点，P为
1 2
渐近线上一点，且 |PF |＝ |PF |，cos∠F PF ＝ ．
1 2 1 2
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线E实轴长为2，过点F 且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x
2
轴上一点且满足|QA|＝|QB|，试探究 是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，
请说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】36．（2023•浦东新区校级模拟）已知坐标平面xOy上左、右焦点为（﹣4，0）、（4，0）的双曲线C ：
1
和圆C ：x2+（y﹣a）2＝9（a R）．
2
（1）若C
1
的实轴恰为C
2
的一条直径，求C
1
的方程；
∈
（2）若C 的一条渐近线为y＝ x，且C 与C 恰有两个公共点，求a的值；
1 1 2
（3）设a＝5．若存在C 上的点P（x ，y ），使得直线l ： ＝1与C 恰有一个公共点，求
2 0 0 P 1
C 的离心率的取值范围．
1
37．（2023•开福区校级二模）已知双曲线x2﹣y2＝1的左、右顶点分别为A ，A ，动直线l：y＝kx+m与圆
1 2
x2+y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P （x ，y ），P （x ，y ）．
1 1 1 2 2 2
（1）求k的取值范围；
（2）记直线P A 的斜率为k ，直线P A 的斜率为k ，那么k k 是定值吗？证明你的结论．
1 1 1 2 2 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】38．（2023•招远市模拟）已知双曲线 的焦距为4，点 在C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线的左、右焦点分别为F ，F ，斜率为k（k≠0）且不过F 的直线l与C交于点A，B，若
1 2 1
k为直线AF ，BF 斜率的等差中项，求F 到直线l的距离d的取值范围．
1 1 2
六．直线与圆锥曲线的综合（共22小题）
39．（2023•青羊区校级模拟）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的
斜率之积为 ．记动点M的轨迹为曲线C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）设P，Q为曲线C上的两动点，直线AP的斜率为k ，直线BQ的斜率为k ，且k ＝7k ．
AP BQ AP BQ
①求证：直线PQ恒过一定点；
②设△PQB的面积为S，求S的最大值．
40．（2023•大同模拟）已知椭圆C ： 的离心率为 ，并且直线y＝x+b是抛物
1
线C ：y2＝4x的一条切线．
2
（Ⅰ）求椭圆C 的方程．
1
（Ⅱ）过点 的动直线l交椭圆C 于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点
1
T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．
41．（2023•福田区校级模拟）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA＝
2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅱ）设直线y＝﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范
围．
42．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知点F（0，1），动点M在直线l：y＝﹣1上，过点M且垂直于x轴的
直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）过F的直线与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与圆x2+y2﹣2y＝0的另一个交点分别为D，
E，求△DOE与△AOB面积之比的最大值．
43．（2023•泉州模拟）已知点M为圆O：x2+y2＝1上的动点，点F （﹣2，0），F （2，0），延长F M
1 2 1
至N，使得|MN|＝|F M|，线段F N的垂直平分线交直线F N于点P，记P的轨迹为Γ．
1 1 2
（1）求Γ的方程；
（2）直线l与Γ交于A，B两点，且OA⊥OB，求△OAB的面积的最小值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】44．（2023•2月份模拟）椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线C＝{（x，y）|y2＝x3+ax+b，4a3+27b2≠0}．P C关于x轴的对称点记为 ．C在点P（x，y）
（y≠0）处的切线是指曲线y＝± 在点P处∈的切线．定义“ ”运算满足：①若P C，
⊕ ∈
Q C，且直线PQ与C有第三个交点R，则P Q＝ ；②若P C，Q C，且PQ为C的切线，切点为
∈ ⊕ ∈ ∈
P则P Q＝ ；③若P C，规定P ，且P 0°＝0° P＝P．
（1）当4a3+27b2＝0时，讨论函数h（x）＝x3+ax+b零点的个数；
⊕ ∈ ⊕ ⊕ ⊕
（2）已知“ ”运算满足交换律、结合律，若 P C，Q C，且PQ为C的切线，切点为P，证明：
⊕ ∈ ∈
P P＝ ；
（3）已知P（x ，y ） C，Q（x ，y ） C，且直线PQ与C有第三个交点，求P Q的坐标．
⊕ 1 1 2 2
参考公式：m3﹣n3＝（ ∈m﹣n）（m2+mn+∈n2）
⊕
45．（2023•广州二模）已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨
迹记为C．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线交x轴于点N．当四边形MANB的面积最小时，求l的方程．
46 ． （ 2023• 金 昌 二 模 ） 已 知 椭 圆 C 的 中 心 为 坐 标 原 点 ， 对 称 轴 为 x 轴 ， y 轴 ， 且 过
两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l与圆x2+y2＝1相切，与椭圆C交于A，B两点，且满足 （O
为坐标原点）？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
47．（2023•枣强县校级模拟）已知半椭圆 和半圆x2+y2＝b2（y≤0）组成
曲线C．如图所示，半椭圆内切于矩形ABCD，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一
点．当点P位于点 处时，△AGP的面积最大．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求曲线C的方程；
（2）连PC，PD分别交AB于点E，F，求证：|AE|2+|BF|2为定值．
48．（2023•南昌县校级二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 与椭圆
交于P，Q两点（P在x轴上方），且 ，设点P在x轴上的射影为
点N，△PQN的面积为 ，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆C的焦点重合，斜率为k的直
线l过抛物线E的焦点与椭圆C交于A，B两点，与抛物线E交于C，D两点．
（1）求椭圆C及抛物线E的标准方程；
（2）是否存在常数 ，使 为常数？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
λ λ
49．（2023•邹平市校级模拟）已知双曲线E： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l ：y＝
1
2x，l ：y＝﹣2x．
2
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l ，l 于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出
双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
50．（2023•虹口区校级三模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，短轴长为4 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜
率为 ．
（i）求四边形APBQ面积的最大值；
（ii）设直线PA的斜率为k ，直线PB的斜率为k ，判断k +k 的值是否为常数，并说明理由．
1 2 1 2
51．（2023•西宁二模）已知双曲线W： 的左、右焦点分别为F 、F ，点
1 2
N（0，b），右顶点是M，且 ，∠NMF ＝120°．
2
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，﹣2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H
（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比 的取值范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】 λ52．（2023•徐州模拟）已知抛物线C ：x2＝8y的焦点F也是双曲线C ： 的
1 2
一个焦点，C 与C 公共弦的长为 ．
1 2
（1）求C 的方程；
2
（2）过F的直线l与C 交于A，B两点，与C 交于C，D两点，且 与 同向．
1 2
（i）若AC＝BD，求直线l的斜率；
（ii）设C 在点A处的切线与x轴交于点M，试判断点F与以MD为直径的圆的位置关系．
1
53．（2023•湖北模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），双曲线 ，点A（x ，y ）在C的
1 1
左支上，过A作x轴的平行线交E于点M，过M作E的切线l ，过A作直线l 交l 于点P，交E于点
1 2 1
N，且 ．
（1）证明：l 与E相切；
2
（2）过N作x轴的平行线交C的左支于点B（x ，y ），过P的直线l 平分∠MPN，记l 的斜率为k，
2 2 3 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∠MPN＝ ，若cos ＝﹣k2，证明： 恒为定值．
θ θ
54．（2023•怀化二模）如图，椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B
两点．|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，满足M•m＝ a2．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记
△GFD的面积为S ，△OED的面积为S ，求 的取值范围．
1 2
55．（2023•漳州模拟）已知椭圆C的中心为坐标原点O，对称轴为x轴、y轴，且点 和点
在椭圆C上，椭圆的左顶点与抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点F的距离为4．
（1）求椭圆C和抛物线Γ的方程；
（2）直线l：y＝kx+m（k≠0）与抛物线Γ交于P，Q两点，与椭圆C交于M，N两点．
（ⅰ）若m＝k，抛物线Γ在点P，Q处的切线交于点S，求证：|PF|•|SQ|2＝|QF|•|SP|2；
（ⅱ）若m＝﹣2k，是否存在定点T（x ，0），使得直线MT，NT的倾斜角互补？若存在，求出x 的值；
0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若不存在，请说明理由．
56．（2023•涟源市模拟）已知点F是抛物线C：x2＝4y与椭圆 ＝1（a＞b＞0）的公共焦点，椭圆
上的点M到点F的最大距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M作C的两条切线，记切点分别为A，B，求△MAB面积的最大值．
57．（2023•宝鸡二模）已知椭圆 ，F为左焦点，A为上顶点，B（2，0）
为右顶点，若 ，抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F．
2
（1）求C 的标准方程；
1
（2）是否存在过F点的直线，与C 和C 交点分别是P，Q和M，N，使得 ？如果存
1 2
在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】58．（2023•江宁区校级一模）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右
焦点分别F 、F 焦距为2，且与双曲线 ﹣y2＝1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF 交椭圆C于另
1 2 1
一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F 三点的圆的方程；
2
（3）若 ＝ ，且 [ ，2]，求 的最大值．
λ λ∈
59．（2023•雨花区校级模拟）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P（2， ），且它的离心
率e＝ ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）与圆（x﹣1）2+y2＝1相切的直线l：y＝kx+t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足 + ＝
，求实数 的取值范围．
λ λ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】60．（2023•大观区校级三模）已知双曲线 的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的
圆和直线 相切．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线l交双
曲线E于P，Q两点，使 为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请
说明理由．
1．轨迹类型：方程＋＝1，当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线．
2．求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标
轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.直线与圆锥曲线相交，经常出现弦长、中点弦问题．
(1)处理弦长问题，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立得方程组，化为一元二次方程后，利用根与
系数的关系，代入弦长公式|AB|＝|x－x|或|AB|＝|y－y|，其中k为直线AB的斜率，A(x，y)，B(x，
1 2 1 2 1 1 2
y)．
2
(2)处理中点弦问题，一般有两种思路，思路一：联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而
不求；思路二：利用“点差法”．
4.圆锥曲线中的定值、定点问题
(1)定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变
形求得．
③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
(2)定点问题的两种解法
①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关
系，找到定点．
②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
5.最值问题的常用解法有两种
(1)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数再求这个函数
的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、均值不等式法、单调性法．
(2)几何法：若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用几何图形性质来解决．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
