文档内容
2023-2024学年山西省运城市芮城县部分学校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）1992年，国家公安部发出通知，将每年的11月9日定为“119消防宣传日”．下列消防安全
标志中（ ）
A． 手动启动器 B． 地下消火栓
C． 灭火器 D． 消防水带
2．（3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．明年“雨水”时节会下雨
B．任意买一张电影票，座位号是奇数
C．从地面向上踢出的足球会落下
D．任意掷一枚图钉，钉帽朝下
3．（3分）如图，是一些写有号码的卡片，它们的背面完全相同，从中任意摸出一张，摸到 1号卡片的
概率为p ，摸到3号卡片的概率为p ，则p 与p 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．p ＜p B．p ＞p C．p ＝p D．无法确定
1 2 1 2 1 2
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝4，则点D到AB边的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第1页（共25页）5．（3分）血细胞分为红细胞、白细胞和血小板，其中红细胞为直径 6﹣9微米，厚度为1.5﹣2.5微米的
扁形细胞﹣18立方米），将数据160立方微米用科学记数法表示为（ ）
A．1.6×10﹣16立方米 B．16×10﹣17立方米
C．1.6×10﹣20立方米 D．0.16×10﹣15立方米
6．（3分）如图，将一块含30°角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则∠1与∠2的数量关系
为（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠1+∠2＝60° C．∠2﹣∠1＝30° D．∠2﹣∠1＝60°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB，E，连接AE，若BC＝3.8，则△ACE的
周长为（ ）
A．6.2 B．5.2 C．7.2 D．4.2
8．（3分）如图，在△ABD与△ABC中，∠DAB＝∠CBA，则可判定△ABD≌△BAC的根据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
9．（3分）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快
递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程（m）（min）的图象，观察图象得到下列信息
（ ）A．小王实际骑行时间为6min
B．3min内，小王派送快递的平均速度是375m/min
C．3﹣6min小王骑行的平均速度比0﹣2min慢
D．点P表示小王出发6min，共骑行2000m
10．（3分）如图，△ABC中，已知∠A＝88°
①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，E，分别以点E，D为圆心 长为半径作弧，两
弧在∠ABC内交于点M；
②以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交CB，G，分别以点F，G为圆心 长为半径作弧，两
弧在∠ACB内交于点N；
③作射线BM，CN，射线BM；由作图可知∠BPC的度数为（ ）
A．130° B．134° C．138° D．142°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算3﹣2的结果是 ．
12．（3分）晋商博物院位于太原市府东街101号，是一座集文物古建、园林景观，展览展示于一体的人
文历史性质的博物馆．今年六一，已知成人票每张38元，学生票按成人票价给予半价优惠，则y与x
的关系式为 ．
13．（3分）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，则可添加的一个条件是 ．
第3页（共25页）14．（3分）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，AD是△ABC的边BC上的中线，
连接CE，点F是CE的中点，DF，则小亮随机投掷一次飞镖 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝42°，E分别是BA，BC边上的点，得到△FDE．若∠ADF＝
134°，则∠CEF的度数为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）计算：
① ；
②（3a﹣2b）2﹣4b2．
（2）先化简，再求值：
[（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣y）（x﹣4y）]÷（2x），其中x＝﹣2
17．（10分）已知：如图，△ABC．
求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：用两种不同的方法在指定区域尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹，并根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据）．
方法一： 方法二：
作图区域： 作图区域：结论： 结论：
作图依据： 作图依据
18．（6分）为迎接2024年“五•一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”为主题的演
讲比赛．某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，这些卡片的背面完全相同，将这些卡片背面朝
上洗匀，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去，则小李去．请你判断该校工会主席的做法对小张和
小李是否公平，并说明理由．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是AB，AC边上的点，连接DE，DF．则线段DE
与DF相等吗？请说明理由并写出最后两步推理的根据．
20．（10分）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三
角形的内角和等于180°．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，并完成相应任务：
如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，按图2的方式拼摆，使∠2与∠1的顶
点重合
第5页（共25页）理由：由操作可知∠B＝∠2，
所以AD∥ （依据： ）．
所以，∠DAC+ ＝180°（依据： ）．
即∠1+ + ＝180°．
任务一：补全小颖的说理过程；
任务二：小聪受小颖的启发，一个角也不撕，直接过点A作AD∥BC，请你帮助小聪写出说理过程．
21．（9分）如图1，为了测量池塘两端A，B之间的距离，连接AC，BC，连接DB，DC，AC＝DC（点
A，B，C，D在同一平面内），此时测量出线段BD的长便是池塘两端A
（1）请你说明其中的道理（要求写出每步推理的根据）．
（2）请你再设计一种测量池塘两端A，B之间距离的方案（要求写出方案并在图2中画出图形）．
22．（8分）阅读下列材料，完成相应的任务：
我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式．
类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算．
如：（3x2+5x+2）•3x＝3x2•3x+5x•3x+2•3x＝9x3+15x2+6x．
用如下列竖式的方法计算：
如果是多项式3x2+5x+2乘多项式2x+3，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算
步骤如下：
（1）先把多项式3x2+5x+2与2x+3分别按字母x的次数从高到低排列；
（2）用多项式2x+3中的常数项3去乘多项式3x2+5x+2的每一项，把所得结果9x2+15x+6写
在下面，并把次数相同的项对齐；（3）再用多项式 2x+3 中的一次项 2x 去乘多项式 3x2+5x+2 的每一项，把所得结果
6x3+10x2+4x写在9x2+15x+6下面，并把次数相同的项对齐；
（4）最后把两次乘得的结果6x3+10x2+4x与9x2+15x+6相加得6x3+19x2+19x+6．
（5）写出结果：（3x2+5x+2）•（2x+3）＝6x3+19x2+19x+6．
任务一：
材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是 ；
A．数形结合思想
B．类比思想
C．分类讨论思想
D．转化思想
任务二：
请你用列竖式方法计算：（2x2﹣3x+1）•（x﹣2）；
任务三：
若多项式2x2+px+12与x+4相乘的结果中不含x的一次项，则p＝ ．
23．（13分）综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在△ABC中，AB＝AC，点D，E是直线l上两点．
独立思考：
（1）如图1，当直线l在△ABC的外部，满足∠BDA＝∠CEA＝∠BAC时，CE与DE之间的数量关系，
并说明理由；
拓展探究：
（2）如图2，当直线l经过△ABC的内部，交BC于点M，满足∠BDM＝∠CEM＝∠BAC时，（1）中
结论是否仍然成立？若不成立，CE与DE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当直线l经过△ABC的内部，交BC于点M，满足∠BDM＝∠CEM＝∠BAC时，（1）中
结论是否仍然成立？若不成立，CE与DE之间的数量关系．
第7页（共25页）2023-2024学年山西省运城市芮城县部分学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D A C A B D B
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）1992年，国家公安部发出通知，将每年的11月9日定为“119消防宣传日”．下列消防安全
标志中（ ）
A． 手动启动器 B． 地下消火栓
C． 灭火器 D． 消防水带
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形；
B、图形是轴对称图形；
C、图形不是轴对称图形；
D、图形不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全
重合，这样的图形叫做轴对称图形是解决问题的关键．
2．（3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．明年“雨水”时节会下雨
B．任意买一张电影票，座位号是奇数
C．从地面向上踢出的足球会落下
D．任意掷一枚图钉，钉帽朝下
第9页（共25页）【分析】根据事件发生情况大小进行解题即可．
【解答】解：A、明年“雨水”时节会下雨，故A不符合题意；
B、任意买一张电影票，是随机事件；
C、从地面向上踢出的足球会落下；故C符合题意；
D、任意掷一枚图钉，是随机事件．
故选：C．
【点评】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必
然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一
定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）如图，是一些写有号码的卡片，它们的背面完全相同，从中任意摸出一张，摸到 1号卡片的
概率为p ，摸到3号卡片的概率为p ，则p 与p 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．p ＜p B．p ＞p C．p ＝p D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【分析】根据概率公式直接求解，然后比较即可．
【解答】解：∵共有6张卡片，其中写有1号的有2张，
∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是 ，
∴p ＞p
7 2
故选：B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率公式，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情
况数之比．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝4，则点D到AB边的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】＝根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得DH＝CD＝4作答即可
【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥AB∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DH＝CD＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理
解决问题．
5．（3分）血细胞分为红细胞、白细胞和血小板，其中红细胞为直径 6﹣9微米，厚度为1.5﹣2.5微米的
扁形细胞﹣18立方米），将数据160立方微米用科学记数法表示为（ ）
A．1.6×10﹣16立方米 B．16×10﹣17立方米
C．1.6×10﹣20立方米 D．0.16×10﹣15立方米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变
成a时小数点移动几位，n的绝对值就是几，当原数的绝对值＞1时，n是正数，当原数的绝对值＜1
时，n为负数．
【解答】解：160立方微米＝160×10﹣18＝1.6×10﹣16立方米．
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，确定a和n的值是解答本题的关键．
6．（3分）如图，将一块含30°角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则∠1与∠2的数量关系
为（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠1+∠2＝60° C．∠2﹣∠1＝30° D．∠2﹣∠1＝60°
【分析】由平行线的性质可求得∠2＝∠5，从而得到∠4＝180°﹣∠5＝180°﹣∠2，再由三角形内角和
定理，即可求解．
【解答】解：如图，
第11页（共25页）∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠5，
∴∠5＝180°﹣∠5＝180°﹣∠2，
∵∠5+∠3+∠1＝180°，∠3＝30°，
∴180°﹣∠2+30°+∠1＝180°，
∴∠7﹣∠1＝30°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB，E，连接AE，若BC＝3.8，则△ACE的
周长为（ ）
A．6.2 B．5.2 C．7.2 D．4.2
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，则C△ACE ＝BE+AC+EC＝BC+AC求解即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E
∴AE＝BE，
∵C△ACE ＝AE+AC+EC，
∴C△ACE ＝BE+AC+EC＝BC+AC，
∵BC＝3.8，AC＝5.4，
∴C△ACE ＝3.2+2.4＝6.2．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解
题的关键．
8．（3分）如图，在△ABD与△ABC中，∠DAB＝∠CBA，则可判定△ABD≌△BAC的根据是（ ）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【分析】根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：在△ABC和△ABD中，
∵AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS和
HL）是解题的关键．
9．（3分）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快
递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程（m）（min）的图象，观察图象得到下列信息
（ ）
A．小王实际骑行时间为6min
B．3min内，小王派送快递的平均速度是375m/min
C．3﹣6min小王骑行的平均速度比0﹣2min慢
D．点P表示小王出发6min，共骑行2000m
【分析】观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【解答】解：观察图象得：2∼3min期间，时间增加，此时小王处于停止状态，
因此实际骑行时间为8﹣1＝5min，故A选项错误；
6min内，小王派送快递的平均速度是 ，故B选项错误；
3﹣2min小王派送快递的平均速度是 （m/min），
第13页（共25页）0﹣2min小王派送快递的平均速度是 （m/min），
因为 ，
所以3﹣3min小王骑行的平均速度比0﹣2min快，故C选项错误；
点P表示小王出发4min，共骑行2000m，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键．
10．（3分）如图，△ABC中，已知∠A＝88°
①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，E，分别以点E，D为圆心 长为半径作弧，两
弧在∠ABC内交于点M；
②以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交CB，G，分别以点F，G为圆心 长为半径作弧，两
弧在∠ACB内交于点N；
③作射线BM，CN，射线BM；由作图可知∠BPC的度数为（ ）
A．130° B．134° C．138° D．142°
【分析】根据题意可知，尺规作图所作的是角平分线，再根据三角形内角和的性质问题可解．
【解答】解：∵∠A＝88°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣88°＝92°，
由作图可知PB平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴ ，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝134°，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握基
本知识．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算3﹣2的结果是 ．
【分析】此题考查的是负整数指数幂的计算方法，按照负指数为正指数的倒数进行计算即可．
【解答】解：3﹣2＝ ＝ ．故答案为 ．
【点评】此题主要考查的是负整数指数幂，幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整
数指数幂当成正的进行计算．
12．（3分）晋商博物院位于太原市府东街101号，是一座集文物古建、园林景观，展览展示于一体的人
文历史性质的博物馆．今年六一，已知成人票每张38元，学生票按成人票价给予半价优惠，则y与x
的关系式为 y ＝ 1 9 x +15 2 ．
【分析】根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，可得函数关系式．
【解答】解：依等量关系式“总费用＝老师费用+学生费用”可得：y＝4×38+38×50%x＝19x+152．
故答案为：y＝19x+152．
【点评】本题考查了函数关系式．解题的关键是明确学生的票价加老师的票价等于总票价．
13．（3分）如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，则可添加的一个条件是 ∠ B ＝∠ C ．
【分析】根据全等三角形的判定方法，∠A为公共角，AB＝AC，可根据ASA的判定方法进行添加条件
即可得出答案．
【解答】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
故答案为：∠B＝∠C．（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法进行求解是解决本题的
关键．
14．（3分）小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，AD是△ABC的边BC上的中线，
连接CE，点F是CE的中点，DF，则小亮随机投掷一次飞镖 ．
第15页（共25页）【分析】根据三角形中线的性质推出 ，再根据落在阴影部分的概率即为阴影部分面积和总
面积之比即可求解．
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴S△ABD ＝S△ACD ，
∵点E是AD的中点，
∴ ，
∵点F是CE的中点，
∴ ，
∴ S△ABC ，
∴ ，
∴小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了几何概率，熟知飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积占总面积的比
例是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝42°，E分别是BA，BC边上的点，得到△FDE．若∠ADF＝
134°，则∠CEF的度数为 50 ° ．【分析】由折叠可知， ，∠BED＝∠FED，根据题意求得∠BDF＝46°，可知
∠BDE＝23°，进而可得∠BED＝∠FED＝115°，∠CED＝180°﹣∠BED＝65°，再根据∠CEF＝∠FED
﹣∠CED即可求解．
【解答】解：由折叠可知， ，∠BED＝∠FED，
∵∠ADF＝134°，则∠BDF＝46°，
∴∠BDE＝23°，
∴∠BED＝∠FED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝115°，
则∠CED＝180°﹣∠BED＝65°，
∴∠CEF＝∠FED﹣∠CED＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，理解题意是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）计算：
① ；
②（3a﹣2b）2﹣4b2．
（2）先化简，再求值：
[（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣y）（x﹣4y）]÷（2x），其中x＝﹣2
【分析】（1）①根据单项式乘单项式运算法则和积的乘方运算法则进行计算即可；②根据完全平方
公式进行运算即可；
（2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．
【解答】解：（1）①原式＝
＝3a5b8c；
②原式＝9a2﹣12ab+6b2﹣4b5
第17页（共25页）＝9a2﹣12ab；
（2）原式＝[x2﹣4y2+x3﹣4xy﹣xy+4y8]÷（2x）
＝（2x7﹣5xy）÷（2x）
＝ ，
当x＝﹣2，y＝3时，
．
【点评】本题主要考查了整式混合运算—化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键．
17．（10分）已知：如图，△ABC．
求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：用两种不同的方法在指定区域尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹，并根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据）．
方法一： 方法二：
作图区域： 作图区域：
结论： 结论：
作图依据： 作图依据
【分析】根据题意方法一利用作一条线段等于已知线段，根据SSS可得出全等三角形；方法二，根据
作一条线段等于已知线段及作一个角等于已知角，作图即可，利用SAS可得出全等三角形．
【解答】解：如图所示：
方法一： 方法二：
作图区域： 作图区域：结论：如图，△DEF为所 结论：如图，△DEF为所
求， 求，
作图依据：边边边或SSS． 作图依据：边角边或SAS．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和基本的作图方法是解题关键．
18．（6分）为迎接2024年“五•一”国际劳动节，某市总工会组织了以“中国梦，劳动美”为主题的演
讲比赛．某校两位语文老师小张和小李都想参加比赛，这些卡片的背面完全相同，将这些卡片背面朝
上洗匀，若摸到的卡片属于国家层面，则小张去，则小李去．请你判断该校工会主席的做法对小张和
小李是否公平，并说明理由．
【分析】根据题意分别求出摸到的卡片属于国家层面的概率和摸到的卡片属于社会层面的概率，然后
比较求解即可．
【解答】解：该校工会主席的做法对小张和小李公平．
理由：从写有“社会主义核心价值观”的12张卡片中随机摸出一张卡片，共有12种结果，
其中出现国家层面的结果有4种，分别是“富强”、“文明”，
出现社会层面的结果有4种，分别是“自由”、“公正”，
∴ ， ，
∴P（小张去） ＝P（小李去） ，
∴该校工会主席的做法对小张和小李公平．
【点评】此题主要考查了概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是AB，AC边上的点，连接DE，DF．则线段DE
与DF相等吗？请说明理由并写出最后两步推理的根据．
第19页（共25页）【分析】根据等边对等角得到∠B＝∠C，根据三线合一得到 BD＝CD，结合 BE＝CF 得到
△BDE≌△CDF（SAS），即得DE＝DF．
【解答】解：DE＝DF．理由：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴BD＝CD（三线合一）．
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS）．
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形性质，
全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
20．（10分）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三
角形的内角和等于180°．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，并完成相应任务：
如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，按图2的方式拼摆，使∠2与∠1的顶
点重合
理由：由操作可知∠B＝∠2，
所以AD∥ BC （依据： 内错角相等，两直线平行 ）．
所以，∠DAC+ ∠ 3 ＝180°（依据： 两直线平行，同旁内角互补 ）．即∠1+ ∠ 2 + ∠ 3 ＝180°．
任务一：补全小颖的说理过程；
任务二：小聪受小颖的启发，一个角也不撕，直接过点A作AD∥BC，请你帮助小聪写出说理过程．
【分析】根据题意，结合图形利用平行线的判定和性质即可求解，任务一、结合图形，利用平行线的
判定和性质即可得出结果；
任务二、结合图形，利用平行线的判定和性质求解即可．
【解答】解：任务一：
理由：由操作可知∠B＝∠2，
所以AD∥BC（依据：内错角相等，两直线平行）．
所以∠DAC+∠3＝180°（依据：两直线平行，同旁内角互补）．
即∠6+∠2+∠3＝180°．
故答案为：BC；内错角相等；∠3，同旁内角互补；∠3；
任务二：
因为AD∥BC，
所以，∠DAB＝∠2．
即∠DAB+∠2+∠3＝180°．
所以∠1+∠7+∠3＝180°．
【点评】此题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定和性质，熟记三角形内角和定理、平行线的
判定和性质是解题的关键．
21．（9分）如图1，为了测量池塘两端A，B之间的距离，连接AC，BC，连接DB，DC，AC＝DC（点
A，B，C，D在同一平面内），此时测量出线段BD的长便是池塘两端A
（1）请你说明其中的道理（要求写出每步推理的根据）．
（2）请你再设计一种测量池塘两端A，B之间距离的方案（要求写出方案并在图2中画出图形）．
第21页（共25页）【分析】（1）利用SAS证明△ACB≌△DCB，即可解答；
（2）在地面上选取可以直接到达点A和点B的点O，连接AO并延长到点C，使OC＝OA，连接BO
并延长到点D，使OD＝OB，连接CD．此时测量出线段CD的长便是池塘两端A，B之间的距离．
【解答】（1）证明：∵CB平分∠ACD，（已知）
∴∠ACB＝∠DCB（角平分线的定义）．
又∵AC＝DC，BC＝BC
∴△ACB≌△DCB（SAS）．
∴BD＝AB（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：如图，在地面上选取可以直接到达点A和点B的点O，使OC＝OA，使OD＝OB．此时测量
出线段CD的长便是池塘两端A．
理由：根据题意得：OC＝OA，OD＝OB，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题主要考查了作图﹣应用与设计作图，角平分线的定义，全等三角形的应作，解答本题的
关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性质．
22．（8分）阅读下列材料，完成相应的任务：
我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式．
类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算．如：（3x2+5x+2）•3x＝3x2•3x+5x•3x+2•3x＝9x3+15x2+6x．
用如下列竖式的方法计算：
如果是多项式3x2+5x+2乘多项式2x+3，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算
步骤如下：
（1）先把多项式3x2+5x+2与2x+3分别按字母x的次数从高到低排列；
（2）用多项式2x+3中的常数项3去乘多项式3x2+5x+2的每一项，把所得结果9x2+15x+6写
在下面，并把次数相同的项对齐；
（3）再用多项式 2x+3 中的一次项 2x 去乘多项式 3x2+5x+2 的每一项，把所得结果
6x3+10x2+4x写在9x2+15x+6下面，并把次数相同的项对齐；
（4）最后把两次乘得的结果6x3+10x2+4x与9x2+15x+6相加得6x3+19x2+19x+6．
（5）写出结果：（3x2+5x+2）•（2x+3）＝6x3+19x2+19x+6．
任务一：
材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是 B ；
A．数形结合思想
B．类比思想
C．分类讨论思想
D．转化思想
任务二：
请你用列竖式方法计算：（2x2﹣3x+1）•（x﹣2）；
任务三：
若多项式2x2+px+12与x+4相乘的结果中不含x的一次项，则p＝ ﹣ 3 ．
【分析】任务一：根据类比整数的乘法运算可确定是类比即可；
任务二：仿照范例进行多项式乘多项式运算即可；
任务三：利用多项式乘多项式展开合并后，令x的一次项系数为0即可求出p值．
【解答】解：任务一：根据题意，这种算法是类比整数的乘法运算．
故选：B．
任务二：
第23页（共25页）∴（2x2﹣2x+1）•（x﹣2）＝8x3﹣7x2+7x﹣2．
任务三：（7x2+px+12）（x+4）＝3x3+（p+8）x8+（12+4p）x+48，
∵相乘的结果中不含x的一次项，
∴12+4p＝7，
解得：p＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握类比思想和整式的运算法则是关键．
23．（13分）综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在△ABC中，AB＝AC，点D，E是直线l上两点．
独立思考：
（1）如图1，当直线l在△ABC的外部，满足∠BDA＝∠CEA＝∠BAC时，CE与DE之间的数量关系，
并说明理由；
拓展探究：
（2）如图2，当直线l经过△ABC的内部，交BC于点M，满足∠BDM＝∠CEM＝∠BAC时，（1）中
结论是否仍然成立？若不成立，CE与DE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当直线l经过△ABC的内部，交BC于点M，满足∠BDM＝∠CEM＝∠BAC时，（1）中
结论是否仍然成立？若不成立，CE与DE之间的数量关系．
【分析】（1）根据三角形外角的性质及等量代换得出∠EAC＝∠ABD，再由全等三角形的判定和性质得出△ABD≌△CAE（AAS），EC＝AD，BD＝AE，结合图形即可求解；
（2）同（1）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可；
（3）同（2）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可．
【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：
∵∠BAE＝∠BAC+∠EAC，∠BAE＝∠ADB+∠ABD，
∴∠EAC＝∠ABD，
∵∠AEC＝∠ADB，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴EC＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）结论不成立，DE＝CE﹣BD
∵∠BDM＝∠ABD+∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠ABD＝∠CAD，
∵∠BDM＝∠CEM，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，EC＝AD，
∴DE＝AD﹣AE＝CE﹣BD；
（3）结论不成立，DE＝BD﹣CE
∵∠BDM＝∠ABD+∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠ABD＝∠CAD，
∵∠BDM＝∠CEM，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，EC＝AD，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，理解题意，
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
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