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专题15 利用导数研究方程的根
一、单选题
1．已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】对原函数求导得， ，
因为函数 有两个极值点，
所以 有两个不等实根，即 有两个不等实根，
亦即 有两个不等实根.令 ，则
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又因为当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，即a的范围是 .故选：B
2．若方程 有三个不同的实数根，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ， ，令 ，解得 或 ，
则 ， 随 的变化如下表
单调递 极大值4 单调递 极小值 单调递增增 减
则当 时，函数有极大值 ；当 时，函数有极小值 ，
又当 时， ，当 ， ，
所以当 时， 有三个不同的实数根，此时 ，故选： .
3．若关于 的方程 有两个实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得 ，设 ， .
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数,且 .
所以 有最大值 ，简图如下，
由图可知， 时符合题意.故选：C.
4．设函数 ，若方程 有 个不同的实根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ；方程 有 个不同的实根等价于 与 有 个不同的交点；
当 时， ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ；
则可得 图象如下图所示，
由图象可知：当 时， 与 有 个不同的交点；
综上所述：实数 的取值范围为 .故选：A.
5．若关于x的方程 在区间 内恰有两个相异的实根，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意关于x的方程 在区间 内恰有两个相异的实根，
，构造函数 ， ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
， ， ，
所以 .故选：D6．已知函数 ，若关于 的方程 有且仅有三个不同的实数解，则实数
的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，
当 ， ；当 ， ，
所以 在 和 单调递减，在 单调递增，
且当 时， ， ，故 的大致图象如图所示：
关于 的方程 等价于 ，
即 或 ，由图知，方程 有且仅有一解，则 有两解，
所以 ，解得 ，故选:C.
7．已知曲线 与曲线 有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，可得函数 的定义域为：
方程 有两个实数解， ，即得 ，
方程 有两个实数解，
此时令 ，则直线 与函数 的图象有两个交点，令 ，则有 ，或 ， ； ,
在 上单调递增，在 上单调递减, （1） ,
当 时， ；当 时，
若使直线 与 有两个交点，则需使 .故选：D．
8．若方程 在区间 内有 个不等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 ，得 ，
因为当 时，函数 ， ，
所以 在区间 内 ， 单调递减﹐在区间 内 单调递增﹐
而函数 ，
在区间 内 单调递增，在区间 内 单调递减.
所以，若方程有两个不等实根，则只需 即可，
即 ，解得 .故选：D
9．已知关于x的方程 在 上有两解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【解析】由 的方程 ，则 ， ，
设 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
即 在 上为增函数， ， ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
关于 的方程 在 ， 上有两解， ，
又 ，即 ，故选：B
10．已知函数 若方程 恰有3个不同的实根，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题，当 时，令 ，
根据一次函数性质可得 ，此时有一个根， ，此时无根；
当 时，令 ，求导
，
令 ，当 时， 在 上单调递增，故无零点，不满足题意；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
由题，函数 恰有3个零点，则说明在当 时，有1个零点，在 时有两个零点，故可知 且 ，
所以 ，解得 ；
综上可得 ，故选：B
二、多选题
11．若关于 的方程 有两个实数根，则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
，
相当于用 和 这两条水平的直线去截函数 的图像一共要有两个交点.
，所以当 时， ；当 时， ；
所以函数的增区间为 减区间为 .且当 取 时， ，当 取 时， ，
. 所以函数 图象如图所示，
当 时， ， 和 和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意；
当 时， ， 和 和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意；
当 时， ， 和 和函数的图象各有两个交点，共有四个交点，不满足题意；当 时， ， 和 和函数的图象各有两个交点和零个交点，共有两个交点，满足题意.
故选：ABD
12．已知函数 ， （ 是自然对数的底数），若关于x的方程 恰有
两个不等实根 ､ ，且 ，则 的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】方程 等价于：
和 共有两个不同的实数根 ､ ，且 ，
故 且 为方程 的根， 为 的根.
故 ，故 ，因为 ，故 即 ，故 ，
故 ，设 ， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 上为减函数，在 为增函数，故 在 的值域为 ，
因为 ， ，
.故选：CD.
13．已知 为函数 的导函数，且 ，若 ，方程
有且只有一个根，则a的取值可能是（ ）
A．e B．1 C． D．【解析】由 ，得 ，
，∴ ，∴ ，
则 ，则 ，∴ ，
方程 ，即 ， 时方程显然无解；
时，对于任意 ，函数 与 有一个交点，满足题意；
时，则 ，令 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，当 时， ．∴ 在 时的图象如图：
由图可知， 时，方程 有一根，综上， 的取值范围为 ，故选：ACD．
14．已知函数 ，若关于x的方程 有3个不同的实数根，则t的取
值可以为（ ）．
A． B． C． D．3
【解析】当 时， ，单调递减，
当 时， ， ，当 时， ， 单调递增，当时， ， 单调递减，所以在 时， 取得最小值， ，画出 的图象，
令 ，则方程为 ，要想方程 有3个不同的实数根，结合 的
图象可知需要满足： 有两个不同的实数根 ， ，
满足： 且 或满足： 且 .
令 ，则 ，即 ，当 时，另外一个根为 ，不
符合 且 ；
当 且 时，必须 ，所以 .
综上， ．故选：AB．
三、填空题
15．若方程x－m＝ex在区间[0，1]有且只有一解，则实数m的取值范围是_______.
【解析】已知方程化为 ，
设 ， ，则 ，
在 上单调递减， ， ，所以 ．
16．若曲线 与 仅有1个公共点，则 的取值范围是___________.
【解析】由题意可得: 只有一个解 , 即 只有一个解.
令 , ，原问题等价于 与 只有一个交点.
因为 ，因为 在 上单调递减, 且在 处的值为0 ,
所以当 时, 单调递增,当 时, 单调递减且恒为正,
所以 ,又因为 与 只有一个交点,所以 .
17．若函数 在 上有两个极值点，则实数m的取值范围是________.
【解析】 ，
由 在 上有两个极值点知， 在 上有两个不等的根，
即 在 上有两个不等的根.令 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时 ，又 ，
所以 ，即 时， 在 上有两个不等的根，
即函数 在 上有两个极值点.故答案为：
18．已知关于 的方程 有三个实数根，则 的取值范围是______
【解析】方程 即方程 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，因为关于 的方程 有三个实数根，
即函数 有3个零点，
则 ，所以 ，因为 时， ，当 时， ，
所以函数 有两个零点 ，不妨设 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上递增，在 上递减，
又因 时， ，当 时， ，
， ，
所以函数 有3个零点，
即关于 的方程 有三个实数根，所以 的取值范围是 .
四、解答题19．已知函数
(1)若 ，求 的增区间；
(2)若 ，且函数 存在单调递减区间，求 的取值范围；
(3)若 且关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【解析】(1) 的定义域是 ， 时， ，
令 ，得 ，∴函数 的增区间是 .
(2) ，由函数 存在单调递减区间，知 在 上有解区间，∴ ，
即 ，而 ，当且仅当 时取等号，∴ ，（当 时，不等式只
有唯一的解 ，不符题意舍去），又 ，∴ 的取值范围是 ．
(3) 时， ，则 即为 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 递减；当 时， ， 递增.
∴ ，又 ， ， ，
∴ ，即实数 的取值范围是 ．
20．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间和极值；（2）若方程 有两个不同的解，求实数a的取值范围.
【解析】（1） 的定义域是 ， ， 可得 ，
x -2
0
减函数 极小值 增函数
所以 的单增区间是 ，单减区间是
当 时， 取得极小值 ，无极大值.
（2）由（1）以及当 ， ，
， ， ，因为方程 有两个不同的解，
所以a的取值范围为 .
21．已知函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若方程 ＝0有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【解析】（1）∵ ，所以
∴当 时， ，当 时， ；
即 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）由 得 ，
将此方程的根看作函数 与 的图象交点的横坐标，
由（1）知函数 在 时有极大值 ，作出其大致图象，∴实数 的取值范围是 .
22．已知函数 图象上点 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式;
（2）函数 ，若方程 在 上恰有两解,求实数 的取值范围
【解析】（1）由题意可知 （ ）
∵函数 图象上点 处的切线方程为
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）函数 （ ），
则 （ ），∴当 时， ；当 时， ；
∴函数在 上单调增，在 上单调减，∵方程 在 上恰有两解，
∴ ，∴ ，解得 .
23．已知函数 ，其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．
【解析】(1) 的定义域为 ， ，当 时， 恒成立，所以 在 上递增；
当 时， 在区间 递增；在区间 递减.
(2)依题意 有且仅有两个不相等实根，
即 有两个不相等的实根，
，构造函数 ，
，所以 在区间 递增；在区间 递减.
所以 . ，当 时， ， ，
，所以 的取值范围是 .
24．已知函数 ，函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，若 与 的图象在区间 上有两个不同的交点，求k的取值范围．
【解析】(1)由题意可得 的定义域为 ，且 ．
①当 时，由 ，得 ；由 ，得 ．
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
②当 时，由 ，得 ；由 ，得 ．
故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2)当 时，令 ，得 ，即 ，
则 与 的图象在 上有两个不同的交点，等价于 在 上有两个不同的实根．
设 ，则 ．
由 ，得 ；由 ，得 ．
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ．
因为 ， ，且 ，
所以要使 在 上有两个不同的实根，则 ，
即k的取值范围为 ．
25．已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 在 上有实根，求实数a的取值范围．
【解析】(1) ，
时， ， 在R上单调递减； 时， ， ， 单调递增，
， ， 单调递减；综上， 时， 在R上单调递减；
a＞0时，f(x)在 单调递增，在 单调递减.
(2) ，令 ，
则 ，∴g(x)在(1，e)上单调递增，
∴ ，∴ .
26．已知函数 在 处的切线与直线 平行.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的导数为 ，
即有在 处的切线 的斜率为 ，由切线 与直线 平行，
即有 ，解得 ；
（2）关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，
即有 在 上恰有两个不相等的实数根.令 ，
，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增.
即有 处 取得最小值，且为 ，又 ， ，
，∴ ，解得 .
27．已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；(3)若方程 在 上有两个相异实根，求实数a的取值范围．
【解析】(1)因为函数 ，所以 ， .
又因为 ，则切点坐标为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
(2)函数 定义域为 ，由（1）可知， .
令 解得 .
与 在区间 上的情况如下：
－ 0 ＋
↘ 极小值 ↗
所以， 的单调递增区间是 ； 的单调递减区间是 .
(3)方程 在 上有两个相异实根,即方程 在 上有两个相异实根，
即 在 上有两个相异实根，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，所以 ，
要使 在 上有两个相异实根，须 ，所以实数 的取值范围为 .
28．已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)设 ，若 有且仅有两个实根 ，证明： ．
【解析】(1) 的定义域为 ． ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 是 在 的唯一最小值点．
所以 ．
(2) ， 定义域为 ，
因为 ．所以 在 单调递增，
又 ， ，故存在 ，使得 ．
所以当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
因为 有且仅有两个实根 ，所以 ，
又 ， ，且
所以 ，故 ． 又又 在 单调递减，故 是 在 的唯一根，
故 ．所以 ．
29．已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若方程 的根为 、 ，且 ，求证： ．
【解析】(1)因为 ， ，
所以 定义域为 ，
，
所以 在 上单调递减，即 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
(2)证明： ， ，
当 时 ，当 时
所以 在 上是单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 时， ，所以 ，且 ，
当 时， ，所以 ，即 ，
设直线 与 的交点的横坐标为 ，则 ，
下面证明当 时， ，
设 ，，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上是减函数，在 上增函数，
又因为 ， ，所以当 时， ， ，
故当 时， ，
设直线 与 的交点的横坐标为 ，则 ，
所以 ，得证．
30．已知函数 ，其中e是自然对数的底数．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若存在 ， ，使得 ，且 ，求a的取值范围．
【解析】(1)当 时， ， ， ，
所以 在 处的切线方程为： ，所以 .
(2)不妨设 ， ，所以关于t的方程 有正实数解，
所以 ，即 有正实数解，
设 ，
则 ， ，所以 单调递增，
所以 ，
①当 时， ，所以 单调递增，所以 ，不合题意；②当 时，存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即存在 ，符合题意．
综上，a的取值范围为 ．
