文档内容
2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用28铅笔将你的选
项所对应的大写字母涂黑
1．（3分）（2022•绥化）化简|﹣ |，下列结果中，正确的是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）（2022•绥化）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022•绥化）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．2x2+x2＝3x4 B．（x2）3＝x5 C． ＝﹣2 D． ＝±2
4．（3分）（2022•绥化）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022•绥化）若式子 +x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≤﹣1且x≠0
6．（3分）（2022•绥化）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
第1页（共39页）B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7．（3分）（2022•绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原
点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（ ）
A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
8．（3分）（2022•绥化）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，
96，98．下列说法中正确的是（ ）
A．该组数据的中位数为98
B．该组数据的方差为0.7
C．该组数据的平均数为98
D．该组数据的众数为96和98
9．（3分）（2022•绥化）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，
当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注
油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意
列方程，正确的是（ ）
A． + ＝30 B． + ＝24
第2页（共39页）C． + ＝24 D． + ＝30
10．（3分）（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y
＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从
家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两
人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后
两次相遇的时间间隔为（ ）
第3页（共39页）A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
12．（3分）（2022•绥化）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点
B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB
＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y，其中2＜x≤5．则下列结论中，正确的个数为（ ）
（1）y与x的关系式为y＝x﹣ ；
（2）当AP＝4时，△ABP∽△DPC；
（3）当AP＝4时，tan∠EBP＝ ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应
的题号后的指定区域内
13．（3分）（2022•绥化）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差
别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为 ，则这个箱子中黄球的个数为 个．
14．（3分）（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
第4页（共39页）15．（3分）（2022•绥化）不等式组 的解集为x＞2，则m的取值范围为 ．
16．（3分）（2022•绥化）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为
．
17．（3分）（2022•绥化）设x 与x 为一元二次方程 x2+3x+2＝0的两根，则（x ﹣x ）2的值为
1 2 1 2
．
18．（3分）（2022•绥化）定义一种运算：
sin（ + ）＝sin cos +cos sin ，
sin（α﹣β ）＝sinα coβs ﹣coαs sβin ．
α β α β α β
例如：当 ＝45°，＝30°时，sin（45°+30°）＝ × + × ＝ ，则sin15°的值
α β
为 ．
19．（3分）（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于 O，且有公共顶
点A，则∠BOH的度数为 度． ⊙
20．（3分）（2022•绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、
乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有
种购买方案．
21．（3分）（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P 在射线OA上，且OP ＝1，过点P 作
1 1 1
P K ⊥OA交射线OB于K ，在射线OA上截取P P ，使P P ＝P K ；过点P 作P K ⊥OA
1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2
交射线OB于K ，在射线OA上截取P P ，使P P ＝P K …按照此规律，线段P K 的
2 2 3 2 3 2 2 2023 2023
第5页（共39页）长为 ．
22．（3分）（2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以
矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边
长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x
的值为 ．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指
定区域内
23．（7分）（2022•绥化）已知：△ABC．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和
证明）
（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．
24．（8分）（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百
货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得
∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）
第6页（共39页）（参考数据： ≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
25．（9分）（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝k x+b与坐标轴分别交于A
1 1
（5，0），B（0， ）两点，且与反比例函数y ＝ 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接
2
OP，△OAP的面积为 ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当y ＞y 时，求x的取值范围．
2 1
（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
26．（9分）（2022•绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点
到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．
（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G为折痕
EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN的长．
第7页（共39页）（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且
＝ ，BC＝ ，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．
27．（10分）（2022•绥化）如图所示，在 O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作
AB⊥MN于点P，交 O于另一点B，C⊙是 上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交
线段BA的延长线于⊙点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．
（1）求证：△CMA∽△CBD．
（2）若MN＝10， ＝ ，求BC的长．
（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝ 时，求 的值．
28．（11分）（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，
0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，
第8页（共39页）0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒 个单位长度的速度沿着射线AD运动，
设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如
果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
第9页（共39页）2022年黑龙江省绥化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用28铅笔将你的选
项所对应的大写字母涂黑
1．（3分）（2022•绥化）化简|﹣ |，下列结果中，正确的是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】利用绝对值的意义解答即可．
【解答】解：|﹣ |的绝对值是 ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．
2．（3分）（2022•绥化）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
3．（3分）（2022•绥化）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．2x2+x2＝3x4 B．（x2）3＝x5 C． ＝﹣2 D． ＝±2
【分析】利用合并同类项法则，幂的乘方的法则，立方根的意义，算术平方根的意义对每个
第10页（共39页）选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵2x2+x2＝3x2≠3x4，
∴选项A不符合题意，
∵（x2）3＝x6≠x5，
∴选项B不符合题意，
∵ ＝﹣2，
∴选项C符合题意，
∵ ＝2≠±2，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，立方根，算术平方根，掌握合并同类项法则，幂
的乘方的法则，立方根的意义，算术平方根的意义是解决问题的关键．
4．（3分）（2022•绥化）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据正方形的展开图得出结论即可．
【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故D选项都不
符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查正方体展开图的知识，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．
5．（3分）（2022•绥化）若式子 +x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≤﹣1且x≠0
第11页（共39页）【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p＝ （a≠0）即可得出答案．
【解答】解：∵x+1≥0，x≠0，
∴x≥﹣1且x≠0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是
非负数，a﹣p＝ （a≠0）是解题的关键．
6．（3分）（2022•绥化）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【分析】由三角形中位线定理，邻补角定义，切线长定理，直角三角形性质逐项判断即可．
【解答】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，故A是真命
题，不符合题意；
如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补，故B是假命题，符合题意；
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线
的夹角，故C是真命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D是真命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
7．（3分）（2022•绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原
点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（ ）
第12页（共39页）A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，利用旋转的性质和全等
三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，如图，
∵A点坐标为（2，5），
∴OB﹣2，AB＝5．
由题意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．
∴∠AOB+∠A′OC＝90°．
∵∠A′OC+∠A′＝90°，
第13页（共39页）∴∠A′＝∠AOB．
在△A′OC和△OAB中，
，
∴△A′OC≌△OAB（AAS）．
∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，
∴A′（﹣5，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了图形的旋转与坐标的变化，点的坐标的特征，旋转的性质，全等三
角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
8．（3分）（2022•绥化）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，
96，98．下列说法中正确的是（ ）
A．该组数据的中位数为98
B．该组数据的方差为0.7
C．该组数据的平均数为98
D．该组数据的众数为96和98
【分析】根据中位数的定义判断A选项；根据算术平均数的计算方法判断C选项；根据方
差的计算方法判断B选项；根据众数的定义判断D选项．
【解答】解：A、将这组数据从小到大排列为：96，96，97，98，98，中位数为97，故A选项不符
合题意；
C、平均数＝ ＝97，故C选项不符合题意；
B、方差＝ ×[（96﹣96）2×2+（97﹣96）2+（98﹣96）2×2]＝1.8，故B选项不符合题意；
D、该组数据的众数为96和98，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，掌握求一组数据的众数的方法：找出
频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据是解题
的关键．
9．（3分）（2022•绥化）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，
当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注
第14页（共39页）油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意
列方程，正确的是（ ）
A． + ＝30 B． + ＝24
C． + ＝24 D． + ＝30
【分析】设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，利用注油
所需时间＝注油总量÷注油速度，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：24÷2＝12（m3）．
设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，
依题意得： + ＝30．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
10．（3分）（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y
＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
第15页（共39页）C． D．
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象判断a，b2﹣4ac及4a+2b+c的符号，即可
得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，
∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象经过第一，二，三象限，
由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，
∴4a+2b+c＞0，
∴y＝ 的图象经过第一，三象限，
据此可知，符合题意的是B，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数，二次函数，反比例函数的图象，解题的关键是掌握三种图象的
性质．
11．（3分）（2022•绥化）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从
家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两
人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后
两次相遇的时间间隔为（ ）
第16页（共39页）A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先表示出两人的速度，然后即可计算出两人
第一次和第二次相遇的时间，然后作差即可．
【解答】解：由图象可得，
小明的速度为 米/分钟，
爸爸的速度为： ＝ （米/分钟），
设小明出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，
m＝（m﹣4）• ， n+ [n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，
解得m＝6，n＝9，
n﹣m＝9﹣6＝3，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两人相遇的时间．
12．（3分）（2022•绥化）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点
B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB
＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y，其中2＜x≤5．则下列结论中，正确的个数为（ ）
（1）y与x的关系式为y＝x﹣ ；
（2）当AP＝4时，△ABP∽△DPC；
（3）当AP＝4时，tan∠EBP＝ ．
第17页（共39页）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定
理，平行线分线段成比例定理对每个选项的结论进行判断即可：（1）过点P作PF⊥BC于
点F，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用相似三角形
的判定定理解答即可；（3）利用（1），（2）的结论利用勾股定理和平行线分线段成比例定理
求得PB，PE，再利用直角三角形的边角关系定理即可求得结论．
【解答】解：（1）过点P作PF⊥BC于点F，如图，
∵四边形ABCD是矩形，PF⊥BC，
∴四边形ABFP是矩形，
∴PF＝AB＝2，BF＝AP＝x，
∴AM＝AP＝PM＝x﹣y．
∵∠ABE＝∠CBP，∠A＝∠PFB＝90°，
∴△ABM∽△FBP，
∴ ，
∴ ．
∴x2﹣xy＝4．
∴y＝x﹣ ．
第18页（共39页）∴（1）的结论正确；
（2）当AP＝4时，DP＝AD﹣AP＝5﹣4＝1，
∵ ， ，
∴ ．
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABP△DPC．
∴（2）的结论正确；
（3）由（2）知：当AP＝4时，△ABP∽△DPC，
∴∠ABP＝∠DPC．
∵∠BPA+∠ABP＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°．
∴∠CPB＝90°．
∴∠BPE＝90°．
∴tan∠EBP＝ ．
由（1）知：PM＝AP﹣ ＝3，
BP＝ ＝2 ，CP＝ ＝ ．
∵AD∥BC，
∴ ．
∴ ，
解得：PE＝ ，
∴tan∠EBP＝ ＝ ＝ ，
∴（3）的结论错误，
综上，正确的结论为：（1）（2），
故选：C．
第19页（共39页）【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系
定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，灵活应用相似三角形的判定与性质是解题的
关键．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应
的题号后的指定区域内
13．（3分）（2022•绥化）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差
别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为 ，则这个箱子中黄球的个数为 1 5 个．
【分析】直接利用概率公式得出 ＝ ，进而得出答案．
【解答】解：设箱子中黄球的个数为x个，根据题意可得：
＝ ，
解得：x＝15，
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
14．（3分）（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ （ m + n ﹣ 3 ） 2 ．
【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2．
故答案为：（m+n﹣3）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，考查整体思想，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解
题的关键．
15．（3分）（2022•绥化）不等式组 的解集为x＞2，则m的取值范围为 m ≤ 2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答
案．
【解答】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
第20页（共39页）【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
16．（3分）（2022•绥化）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为
60 cm 2 ．
【分π 析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，
由勾股定理得，底面半径＝6cm，
侧面展开图的面积＝ rl＝ ×6×10＝60 cm2．
故答案为：60 cm2．π π π
【点评】本题利π用了勾股定理和圆锥的计算，圆锥的侧面积就是展开后扇形的面积，即S侧
＝ rl．
π
17．（3分）（2022•绥化）设x 与x 为一元二次方程 x2+3x+2＝0的两根，则（x ﹣x ）2的值为
1 2 1 2
20 ．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x +x ＝﹣6，x x ＝4，
1 2 1 2
∴（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x x
1 2 1 2 1 2
＝（﹣6）2﹣4×4
＝36﹣16
＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
18．（3分）（2022•绥化）定义一种运算：
sin（ + ）＝sin cos +cos sin ，
sin（α﹣β ）＝sinα coβs ﹣coαs sβin ．
α β α β α β
例如：当 ＝45°，＝30°时，sin（45°+30°）＝ × + × ＝ ，则sin15°的值
α β
为 ．
【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．
【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
第21页（共39页）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
＝ × ﹣ ×
＝ ﹣
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
19．（3分）（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于 O，且有公共顶
点A，则∠BOH的度数为 1 2 度． ⊙
【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度
数．
【解答】解：如图，连接OA，
第22页（共39页）正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，
正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，
∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查正多边形与圆，会求正多边形的中心角是解题关键．
20．（3分）（2022•绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、
乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有
3 种购买方案．
【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的
二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．
【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：4x+3y＝48，
∴x＝12﹣ y．
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题
的关键．
第23页（共39页）21．（3分）（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P 在射线OA上，且OP ＝1，过点P 作
1 1 1
P K ⊥OA交射线OB于K ，在射线OA上截取P P ，使P P ＝P K ；过点P 作P K ⊥OA
1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2
交射线OB于K ，在射线OA上截取P P ，使P P ＝P K …按照此规律，线段P K 的
2 2 3 2 3 2 2 2023 2023
长为 （ 1+ ） 202 2 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到P K 的式子，从而可以
n n
写出线段P K 的长．
2023 2023
【解答】解：由题意可得，
P K ＝OP •tan60°＝1× ＝ ，
1 1 1
P K ＝OP •tan60°＝（1+ ）× ＝ （1+ ），
2 2 2
P K ＝OP •tan60°＝（1+ + +3）× ＝ （1+ ）2，
3 3 3
P K ＝OP •tan60°＝[（1+ + +3）+ （1+ ）2]× ＝ （1+ ）3，
4 4 4
…，
P K ＝ （1+ ）n﹣1，
n n
∴当n＝2023时，P K ＝ （1+ ）2022，
2023 2023
故答案为： （1+ ）2022．
【点评】本题考查图象的变化类，解答本题的关键是发现P K 的变化特点．
n n
22．（3分）（2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以
矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边
长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x
的值为 1. 2 或者 1. 5 ．
【分析】本题中的x与（2﹣x）不知那个大，因此需要分类讨论，从而列方程求解．
第24页（共39页）【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2﹣x），第二次操作后的两边长分别是（2x
﹣2）和（2﹣x）．
当2x﹣2＞2﹣x时，有2x﹣2＝2（2﹣x），解得x＝1.5，
当2x﹣2＜2﹣x时，有2（2x﹣2）＝2﹣x，解得x＝1.2．
故答案为：1.2或者1.5．
【点评】主要考查了含有字母的代数式的比较，关键是第二次操作后的边长，不知哪个是
长，哪个是宽，所以分两种情况，不要丢掉任何一种．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指
定区域内
23．（7分）（2022•绥化）已知：△ABC．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和
证明）
（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．
【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；
（2）△ABC的面积＝ （a+b+c）•r计算即可．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
第25页（共39页）（2）由题意，△ABC的面积＝ ×14×1.3＝9.1（cm2）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键掌握三角
形的内心是角平分线的交点，属于中考常考题型．
24．（8分）（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百
货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得
∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据： ≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
【分析】在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再利用已知求出BC的长，
然后在在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，
∴CD＝AC•tan30°＝30× ＝10 （米），
∵AB＝10米，
∴BC＝AC﹣AB＝20（米），
在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，
∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），
第26页（共39页）∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10 ≈4.9（米），
∴广告牌ED的高度约为4.9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25．（9分）（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝k x+b与坐标轴分别交于A
1 1
（5，0），B（0， ）两点，且与反比例函数y ＝ 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接
2
OP，△OAP的面积为 ．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当y ＞y 时，求x的取值范围．
2 1
（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
【分析】（1）根据待定系数法可求出直线AB的解析式，根据△OAP的面积可得出点P的
坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点K的坐标，结合图象可直接得出x的
取值范围；
（3）作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，求出直
线KP′的解析式，令y＝0，可得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y ＝k x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0， ）两点，
1 1
∴ ，解得 ．
第27页（共39页）∴一次函数的解析式为：y ＝﹣ x+ ．
1
∵△OAP的面积为 ，
∴ •OA•y ＝ ，
P
∴y ＝ ，
P
∵点P在一次函数图象上，
∴令﹣ x+ ＝ ．解得x＝4，
∴P（4， ）．
∵点P在反比例函数y ＝ 的图象上，
2
∴k ＝4× ＝2．
2
∴一次函数的解析式为：y ＝﹣ x+ ．反比例函数的解析式为：y ＝ ．
1 2
（2）令﹣ x+ ＝ ，解得x＝1或x＝4，
∴K（1，2），
由图象可知，当y ＞y 时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．
2 1
（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，
第28页（共39页）∵P（4， ）．
∴P′（4，﹣ ）．
∴PP′＝1，
∴直线KP′的解析式为：y＝﹣ x+ ．
令y＝0，解得x＝ ．
∴C（ ，0）．
∴S△PKC ＝ •（x
C
﹣x
K
）•PP′
＝ ×（ ﹣1）×1
＝ ．
∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为 ．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，数
形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积问题等知识，关键是求出一次函数和反比例
函数的解析式．
26．（9分）（2022•绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点
到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．
（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G为折痕
EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN的长．
（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且
＝ ，BC＝ ，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．
第29页（共39页）【分析】（1）连接AD，根据S△ABC ＝S△ABD +S△ACD ，可得结论；
（2）利用翻折的性质得，CE＝CF，由勾股定理得，AB＝4，则等腰△CEF中，CE边上的高
为4，由（1）知，GM+GN＝4；
（3）延长BA、CD交于G，作BH⊥CD于H，利用△BAE∽△CDE，得∠ABE＝∠C，则BG
＝CG，设DH＝x，利用勾股定理列方程可得DH的长，从而得出BH，利用（1）中结论可得
答案．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵S△ABC ＝S△ABD +S△ACD ，
∴ ＝ ，
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝CG；
（2）解：∵将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，
∴∠AFE＝∠EFC，AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
第30页（共39页）∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵BC＝8，BE＝3，
∴CE＝AE＝5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB＝4，
∴等腰△CEF中，CE边上的高为4，
由（1）知，GM+GN＝4；
（3）解：延长BA、CD交于G，作BH⊥CD于H，
∵ ＝ ，∠BAE＝∠EDC＝90°，
∴△BAE∽△CDE，
∴∠ABE＝∠C，
∴BG＝CG，
∴ED+EA＝BH，
设DH＝x，
由勾股定理得，62﹣x2＝（ ）2﹣（x+3）2，
解得x＝1，
∴DH＝1，
∴BH＝ ＝ ，
∴ED+EA＝ ．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定
理，相似三角形的判定与性质，证明等腰三角形，利用（1）中结论是解决问题（2）、（3）的
关键．
27．（10分）（2022•绥化）如图所示，在 O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作
第3⊙1页（共39页）AB⊥MN于点P，交 O于另一点B，C是 上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交
线段BA的延长线于⊙点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．
（1）求证：△CMA∽△CBD．
（2）若MN＝10， ＝ ，求BC的长．
（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝ 时，求 的值．
【分析】（1）连接BM，由四边形ABMC是 O的内接四边形，得∠DCA＝∠ABM，由
∠MAN＝90°，AB⊥MN，可得∠ABM＝∠BA⊙M，即可得∠DCA＝∠BCM，从而∠DCB＝
∠ACM，可证△CMA∽△CBD；
（2）连接OC，由AM＝2MN，MN＝10可得AN＝2 ，AM＝4 ，由面积法得AP＝BP＝
＝ ＝4，即得PM＝ ＝8，根据 ＝ ，可得△PDM是等
腰直角三角形，CM＝ OM＝5 ，即得 PD＝PM＝8，BD＝PD+BP＝12，又
△CMA∽△CBD，可得BC＝3 ；
（3）连接CN交AM于K，连接KE，由tan∠MDB＝ ，可得tan∠CNM＝ ，根据
AB⊥MN，得 ＝ ，有∠KCE＝∠KME，即知C、K、E、M四点共圆，可得∠KEM＝90°＝
∠KEN，从而 ＝ ，设KE＝3m，则NE＝4m，而tan∠KME＝ ＝ ＝ ，得EM＝
6m，故 ＝ ＝ ．
第32页（共39页）【解答】（1）证明：连接BM，如图：
∵四边形ABMC是 O的内接四边形，
∴∠DCA＝∠ABM，⊙
∵∠MAN＝90°，
∴MN为 O的直径，
∵AB⊥M⊙N，
∴ ＝ ，
∴∠ABM＝∠BAM，
∴∠DCA＝∠BAM，
∵ ＝ ，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠DCA＝∠BCM，
∴∠DCB＝∠ACM，
∵ ＝ ，
∴∠DBC＝∠AMC，
∴△CMA∽△CBD；
（2）解：连接OC，如图：
第33页（共39页）由AM＝2MN，设AN＝x，则AM＝2x，
∵MN为直径，
∴∠NAM＝90°，
∴x2+（2x）2＝102，
解得x＝2 ，
∴AN＝2 ，AM＝4 ，
∵AB⊥MN，
∴2S△AMN ＝AN•AM＝MN•AP，
∴AP＝BP＝ ＝ ＝4，
∴PM＝ ＝8，
∵ ＝ ，
∴OC⊥MN，
∵OC＝OM，
∴∠CMO＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，CM＝ OM＝5 ，
∴PD＝PM＝8，
∴BD＝PD+BP＝12，
由（1）知△CMA∽△CBD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BC＝3 ；
（3）解：连接CN交AM于K，连接KE，如图：
第34页（共39页）∵MN是 O直径，
∴∠MCN⊙＝90°＝∠DPM，
∴∠CNM＝90°﹣∠CMP＝∠D，
∵tan∠MDB＝ ，
∴tan∠CNM＝ ，
∵AB⊥MN，
∴ ＝ ，
∴∠KCE＝∠KME，
∴C、K、E、M四点共圆，
∵∠NCM＝90°，
∴∠KEM＝90°＝∠KEN，
而tan∠CNM＝ ，
∴ ＝ ，
设KE＝3m，则NE＝4m，
∵tan∠KME＝ ＝ ＝ ，
∴EM＝6m，
∴ ＝ ＝ ．
第35页（共39页）【点评】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，锐角三角
函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
28．（11分）（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，
0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，
0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒 个单位长度的速度沿着射线AD运动，
设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如
果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，可得出抛物线与x轴的另一个交点的坐标
为（﹣2，0），列出交点式，再将点A（0，﹣4）可得出抛物线的解析式；
（2）根据可得出△ABD是等腰直角三角形，再根据点E的运动和正方形的性质可得出点
H，F，G的坐标，根据点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，将点G代入直线BC的解
析式即可；
（3）若存在，则△BGC是直角三角形，则需要分类讨论，当点B为直角顶点，当点G为直
角顶点，当点C为直角顶点，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6），
将点A（0，﹣4）解析式可得，﹣12a＝﹣4，
第36页（共39页）∴a＝ ．
∴抛物线的解析式为：y＝ （x+2）（x﹣6）＝ x2﹣ x﹣4．
（2）∵AB⊥y轴，A（0，﹣4），
∴点B的坐标为（4，﹣4）．
∵D（4，0），
∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∵AE＝2m，
∴AF＝EF＝ m，
∴E（ m，﹣4+ m），F（ m，﹣4）．
∵四边形EGFH是正方形，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．
∴H（ m，﹣4+ m），G（ m，﹣4+ m）．
∵B（4，﹣4），C（6，0），
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．
当点G随着E点运动到达BC上时，有2× m﹣12＝﹣4+ m．
解得m＝ ．
∴G（ ，﹣ ）．
（3）存在，理由如下：
∵B（4，﹣4），C（6，0），G（ m，﹣4+ m）．
第37页（共39页）∴BG2＝（4﹣ m）2+（ m）2，
BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，
CG2＝（6﹣ m）2+（﹣4+ m）2．
若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，
∴分以下三种情况：
①当点B为直角顶点时，BG2+BC2＝CG2，
∴（6﹣ m）2+（﹣4+ m）2+20＝（4﹣ m）2+（ m）2，
解得m＝ ，
∴G（ ，﹣ ）；
②当点C为直角顶点时，BC2+CG2＝BG2，
∴20+（6﹣ m）2+（﹣4+ m）2＝（4﹣ m）2+（ m）2，
解得m＝ ，
∴G（ ， ）；
③当点G为直角顶点时，BG2+CG2＝BC2，
∴（4﹣ m）2+（ m）2+（6﹣ m）2+（﹣4+ m）2＝20，
解得m＝ 或 ，
∴G（3，﹣3）或（ ， ）；
综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为（ ，﹣
）或（ ， ）或（3，﹣3）或（ ， ）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质与
判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，分类讨论等知识，解题关键是
第38页（共39页）由点E的坐标得出点H，F，G的坐标．本题第（3）问当点B和点C为直角顶点时，也可通
过一次函数和几何结合求解．
第39页（共39页）
