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2022年黑龙江省双鸭山市中考数学试卷
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）（2022•黑龙江）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．（b﹣a）2＝b2﹣a2 B．3a•2a＝6a
C．（﹣x2）2＝x4 D．a6÷a2＝a3
2．（3分）（2022•黑龙江）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的
是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•黑龙江）学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次
数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ）
A．181 B．175 C．176 D．175.5
4．（3分）（2022•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯
视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（3分）（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，
单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
6．（3分）（2022•黑龙江）已知关于x的分式方程 ﹣ ＝1的解是正数，则m的取值
范围是（ ）
A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1
7．（3分）（2022•黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班
第1页（共40页）同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种
都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（3分）（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的
顶点B在反比例函数y＝ 的图象上，顶点A在反比例函数y＝ 的图象上，顶点D在x
轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
9．（3分）（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E
是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝
1.5，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
10．（3分）（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上
一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；
②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝ OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝ ；⑤四边形
第2页（共40页）OECF的面积是正方形ABCD面积的 ．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）（2022•黑龙江）我国南水北调东线北延工程2021﹣2022年度供水任务顺利完成，
共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2022•黑龙江）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，
请你添加一个条件 ，使△AOB≌△COD．
14．（3分）（2022•黑龙江）在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外
其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
15．（3分）（2022•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组 的解集为x＜2，则a的
取值范围是 ．
16．（3分）（2022•黑龙江）如图，在 O中，AB是 O的弦， O的半径为3cm．C为 O上一
点，∠ACB＝60°，则AB的长为⊙ cm．⊙ ⊙ ⊙
第3页（共40页）17．（3分）（2022•黑龙江）若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则
这个圆锥的底面半径为 cm．
18．（3分）（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，
AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则
OP+PE的最小值是 ．
19．（3分）（2022•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点
P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为 ．
20．（3分）（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，A …在x轴上且OA ＝
1 2 3 4 1
1，OA ＝2OA ，OA ＝2OA ，OA ＝2OA …按此规律，过点A ，A ，A ，A …作x轴的垂线分
2 1 3 2 4 3 1 2 3 4
别与直线y＝ x交于点B ，B ，B ，B …记△OA B ，△OA B ，△OA B ，△OA B …的面
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
积分别为S ，S ，S ，S …则S ＝ ．
1 2 3 4 2022
三、解答题（满分60分）
第4页（共40页）21．（5分）（2022•黑龙江）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中a＝2cos30°+1．
22．（6分）（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A B C ，画出两次平移后
1 1 1
的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出△A B C 绕点C 顺时针旋转90°后得到△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2
（3）在（2）的条件下，求点A 旋转到点A 的过程中所经过的路径长（结果保留 ）．
1 2
π
23．（6分）（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴
交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共40页）24．（7分）（2022•黑龙江）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进
行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8.5
B组：8.5≤x＜9
C组：9≤x＜9.5
D组：9.5≤x＜10
E组：x≥10
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
25．（8分）（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B
市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚
第6页（共40页）好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即
原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所
用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 km/h，乙车出发时速度是 km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不
要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
26．（8分）（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A
重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段
PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段
PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
27．（10分）（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10
第7页（共40页）根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548
元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
28．（10分）（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，
顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12
＝0的两个根（OA＜OB），tan∠DAB＝ ，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度
沿折线DC﹣CB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共40页）2022年黑龙江省双鸭山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）（2022•黑龙江）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．（b﹣a）2＝b2﹣a2 B．3a•2a＝6a
C．（﹣x2）2＝x4 D．a6÷a2＝a3
【分析】利用完全平方公式，单项式乘多项式，幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对
各项进行运算即可．
【解答】解：A．（b﹣a）2＝b2﹣2ab+a2，故A不正确；
B.3a•2a＝6a2，故B不正确；
C．（﹣x2）2＝x4，故C正确；
D．a6÷a2＝a4，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，幂的乘方的法则，同底数幂的除法，
解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（3分）（2022•黑龙江）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的
是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
第9页（共40页）轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
3．（3分）（2022•黑龙江）学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次
数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ）
A．181 B．175 C．176 D．175.5
【分析】将这组数据从小到大排列，根据中位数的计算方法即可得出答案．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为：169，172，175，176，180，182，
中位数＝ ＝175.5，
故选：D．
【点评】本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如
果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数
是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
4．（3分）（2022•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯
视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由左视图和俯视图可以猜想到主视图的可能情况，从而得到答案．
【解答】解：从俯视图课看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2层高，
中间最高是2层，要是最多就都是2层，
最前面的最高是1层，
所以最多的为：2+2×2+1×2＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，由两个识图想象几何体是解题的关键，
5．（3分）（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，
单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求
第10页（共40页）解即可．
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关
键．
6．（3分）（2022•黑龙江）已知关于x的分式方程 ﹣ ＝1的解是正数，则m的取值
范围是（ ）
A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，
解得x＝m﹣4．
∵x为正数，
∴m﹣4＞0，解得m＞4，
∵x≠1，
∴m﹣4≠1，即m≠5，
∴m的取值范围是m＞4且m≠5．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不
等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
7．（3分）（2022•黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班
同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种
都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设购买毛笔x支，围棋y副，根据“购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元”
列二元一次方程，再由x和y分别取正整数，即可确定购买方案．
第11页（共40页）【解答】解：设购买毛笔x支，围棋y副，
根据题意，得15x+20y＝360，
∴y＝18﹣ x，
∵两种都买，
∴18﹣ x＞0，x、y都是正整数，
解得x＜24，
故x是4的倍数且x＜24，
∴x＝4，y＝15或x＝8，y＝12或x＝12，y＝9或x＝16，y＝6或x＝20，y＝3；
∴共有5种购买方案，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立二元一次方程是解题
的关键．
8．（3分）（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的
顶点B在反比例函数y＝ 的图象上，顶点A在反比例函数y＝ 的图象上，顶点D在x
轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】设B（a， ），根据四边形OBAD是平行四边形，推出AB∥DO，表示出A点的坐标，
求出AB＝a﹣ ，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．
【解答】解：设B（a， ），
∵四边形OBAD是平行四边形，
第12页（共40页）∴AB∥DO，
∴A（ ， ），
∴AB＝a﹣ ，
∵平行四边形OBAD的面积是5，
∴ （a﹣ ）＝5，
解得k＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平
行四边形性质，掌握反比例函数比例系数k的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出
点的坐标、根据平行四边形面积公式列方程是解题的关键．
9．（3分）（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E
是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝
1.5，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形
中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得
结论．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，
第13页（共40页）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，
∵点E是AB的中点，
∴G是AD的中点，
∴EG＝ BD，
∵F是CD的中点，
∴DF＝ CD，
∴EG＝DF，
∵∠EPG＝∠DPF，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴PG＝PD＝1.5，
∴AD＝2DG＝6，
∵△ABC的面积是24，
∴ •BC•AD＝24，
∴BC＝48÷6＝8，
∴DF＝ BC＝2，
∴EG＝DF＝2，
由勾股定理得：PE＝ ＝2.5．
故选：A．
第14页（共40页）【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，
三角形的面积等知识，作辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
10．（3分）（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上
一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；
②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝ OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝ ；⑤四边形
OECF的面积是正方形ABCD面积的 ．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关
系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．
∴∠BOE+∠EOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠COF．
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF．
在△BAE和△CBF中，
第15页（共40页），
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠ABP+∠BAE＝90°，
∴∠APB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO＝∠ABO＝45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO＝45°，OH⊥OP，
∴OH＝OP＝ HP，
∴HP＝ OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB＝90°．
∴∠AOH＝∠BOP．
∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，，∠BAE＝∠CBF，
∴∠OAH＝∠OBP．
第16页（共40页）在△AOH和△BOP中，
，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴AH＝BP．
∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝ OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE＝2：3，
∴设BE＝2x，则CE＝3x，
∴AB＝BC＝5x，
∴AE＝ ＝ x．
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB＝45°，
∴EG＝GC＝ EC＝ x，
∴AG＝ ＝ x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE＝ ，
∴tan∠CAE＝＝ ＝ ．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD 是正方形，
第17页（共40页）∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．
∴ ．
∴ ．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE ＝S△OFC ，
∴ ．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的 ．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角
形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角
三角形和全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）（2022•黑龙江）我国南水北调东线北延工程2021﹣2022年度供水任务顺利完成，
共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为 1.89×1 0 8 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1.89亿＝189000000＝1.89×108．
故答案为：1.89×108．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
12．（3分）（2022•黑龙江）在函数 中，自变量x的取值范围是 x ≥ ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x﹣3≥0，
解得x≥ ．
第18页（共40页）故答案为：x≥ ．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13．（3分）（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，
请你添加一个条件 OB ＝ OD （答案不唯一） ，使△AOB≌△COD．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是OB＝OD，
理由是：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关
键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
14．（3分）（2022•黑龙江）在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外
其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式，进而计算得出答案．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全
相同，摇匀后随机摸出一个球，
∴摸到红球的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
15．（3分）（2022•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组 的解集为x＜2，则a的
取值范围是 a ≥ 2 ．
第19页（共40页）【分析】不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a的范围．
【解答】解：不等式组整理得： ，
∵不等式组的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关
键．
16．（3分）（2022•黑龙江）如图，在 O中，AB是 O的弦， O的半径为3cm．C为 O上一
点，∠ACB＝60°，则AB的长为⊙ 3 cm⊙． ⊙ ⊙
【分析】连接AO并延长交 O于点D，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再
利用同弧所对的圆周角相⊙等可求出∠ADB＝60°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数
的定义进行计算即可解答．
【解答】解：连接AO并延长交 O于点D，
⊙
∵AD是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
∴AB＝AD•sin60°＝6× ＝3 （cm），
故答案为：3 ．
第20页（共40页）【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
17．（3分）（2022•黑龙江）若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则
这个圆锥的底面半径为 cm．
【分析】先求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用侧面展开图与底面圆的关系的关系列
方程即可求出圆锥的底面半径．
【解答】解：c长为： ＝ ，
设圆锥的底面半径为r，
则2 r＝ ，
π
∴r＝ cm．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查圆锥的计算，掌握侧面展开图与底面圆的关系是解题关键．
18．（3分）（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，
AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则
OP+PE的最小值是 ．
第21页（共40页）【分析】连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接
O′E交直线AB于点P，连接OP，从而可得OP＝O′P，此时OP+PE的值最小，先利用菱
形的性质可得AD＝AB＝3，∠BAC＝ ∠BAD，OA＝OC＝ AC，OD＝OB＝ BD，
∠AOD＝90°，从而可得△ADB是等边三角形，进而求出AD＝3，然后在Rt△ADO中，利
用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得OE
＝OA＝ AC＝ ，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得 OE∥AB，从而求出
∠EOF＝90°，进而在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，即可求出
OO′的长，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接
O′E交直线AB于点P，连接OP，
∴AP是OO′的垂直平分线，
∴OP＝O′P，
∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，
此时，OP+PE的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，∠BAC＝ ∠BAD，OA＝OC＝ AC，OD＝OB＝ BD，∠AOD＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD＝AD＝3，
∴OD＝ BD＝ ，
∴AO＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝2OA＝3 ，
∵CE⊥AH，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝ AC＝ ，
第22页（共40页）∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠EAB，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴OE∥AB，
∴∠EOF＝∠AFO＝90°，
在Rt△AOF中，∠OAB＝ DAB＝30°，
∴OF＝ OA＝ ，
∴OO′＝2OF＝ ，
在Rt△EOO′中，O′E＝ ＝ ＝ ，
∴OE+PE＝ ，
∴OP+PE的最小值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，
轴对称﹣最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
19．（3分）（2022•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点
第23页（共40页）P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为 或 或 6 ．
【分析】若△APE是直角三角形，有三种情况：①如图1，∠AEP＝90°，②如图2，∠PAE＝
90°，③如图3，∠APE＝90°，分别证明三角形相似可解答．
【解答】解：若△APE是直角三角形，有以下三种情况：
①如图1，∠AEP＝90°，
∴∠AED+∠CEP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠CEP+∠CPE＝90°，
∴∠AED＝∠CPE，
∴△ADE∽△ECP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CP＝ ，
∵BC＝AD＝12，
∴BP＝12﹣ ＝ ；
②如图2，∠PAE＝90°，
∵∠DAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAP＝90°，
∴∠DAE＝∠BAP，
第24页（共40页）∵∠D＝∠ABP＝90°，
∴△ADE∽△ABP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BP＝ ；
③如图3，∠APE＝90°，设BP＝x，则PC＝12﹣x，
同理得：△ABP∽△PCE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴x ＝x ＝6，
1 2
∴BP＝6，
综上，BP的长是 或 或6．
故答案为： 或 或6．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定定
理和性质定理是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想．
20．（3分）（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，A …在x轴上且OA ＝
1 2 3 4 1
1，OA ＝2OA ，OA ＝2OA ，OA ＝2OA …按此规律，过点A ，A ，A ，A …作x轴的垂线分
2 1 3 2 4 3 1 2 3 4
别与直线y＝ x交于点B ，B ，B ，B …记△OA B ，△OA B ，△OA B ，△OA B …的面
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
积分别为S ，S ，S ，S …则S ＝ ．
1 2 3 4 2022
第25页（共40页）【分析】根据已知先求出OA ，OA ，OA 的长，再代入直线y＝ x中，分别求出A B ，
2 3 4 1 1
A B ，A B ，A B ，然后分别计算出S ，S ，S ，S ，再从数字上找规律进行计算即可解答．
2 2 3 3 4 4 1 2 3 4
【解答】解：∵OA ＝1，OA ＝2OA ，
1 2 1
∴OA ＝2，
2
∵OA ＝2OA ，
3 2
∴OA ＝4，
3
∵OA ＝2OA ，
4 3
∴OA ＝8，
4
把x＝1代入直线y＝ x中可得：y＝ ，
∴A B ＝ ，
1 1
把x＝2代入直线y＝ x中可得：y＝2 ，
∴A B ＝2 ，
2 2
把x＝4代入直线y＝ x中可得：y＝4 ，
∴A B ＝4 ，
3 3
把x＝8代入直线y＝ x中可得：y＝8 ，
∴A B ＝8 ，
4 4
∴S ＝ OA •A B ＝ ×1× ＝ ×20×（20× ），
1 1 1 1
S ＝ OA •A B ＝ ×2×2 ＝ ×21×（21× ），
2 2 2 2
第26页（共40页）S ＝ OA •A B ＝ ×4×4 ＝ ×22×（22× ），
3 3 3 3
S ＝ OA •A B ＝ ×8×8 ＝ ×23×（23× ），
4 4 4 4
..．
∴S ＝ ×22021×（22021× ）＝24041× ，
2022
故答案为：24041× ．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，含30度角的直角三角形，根据已知分别求出S ，
1
S ，S ，S 的值，然后从数字上找规律是解题的关键．
2 3 4
三、解答题（满分60分）
21．（5分）（2022•黑龙江）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中a＝2cos30°+1．
【分析】利用分式的减法法则和除法法则对分式进行计算化简，把特殊角的三角函数值代
入计算求出a的值，代入化简后的分式进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（ ﹣1）÷
＝ ÷
＝ ×
＝ ，
当a＝2cos30°+1＝2× +1＝ 时，
原式＝ ＝﹣ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的混合计算及特殊
角的三角函数值是解决问题的关键．
22．（6分）（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A B C ，画出两次平移后
1 1 1
第27页（共40页）的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出△A B C 绕点C 顺时针旋转90°后得到△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2
（3）在（2）的条件下，求点A 旋转到点A 的过程中所经过的路径长（结果保留 ）．
1 2
π
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可；
1 1 1
（2）利用旋转变换的性质分别作出A ，B 的对应点A ，B 即可；
1 1 2 2
（3）利用勾股定理求出A C ，再利用弧长公式求解．
1 1
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求，点A 的坐标（﹣5，，3）；
1 1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求，点A 的坐标（2，4）；
2 2 1 2
（3）∵A C ＝ ＝5，
1 1
∴点A 旋转到点A 的过程中所经过的路径长＝ ＝ ．
1 2
【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变
换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
第28页（共40页）23．（6分）（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴
交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程
求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），
∴ ，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴S△BCD ＝ ×2×1＝1，
第29页（共40页）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC ＝ ×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
当|m2﹣2m|＝4×1时，
解得m＝1± ，
当m＝1+ 时，m2﹣2m﹣3＝1，
当m＝1﹣ 时，m2﹣2m﹣3＝1，
综上，P点坐标为（1+ ，1）或（1﹣ ，1）．
【点评】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数
图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．
24．（7分）（2022•黑龙江）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进
行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8.5
B组：8.5≤x＜9
C组：9≤x＜9.5
D组：9.5≤x＜10
E组：x≥10
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 10 0 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
【分析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数；
（2）根据（1）中的结果、条形统计图中的时间和扇形统计图中的数据，可以计算出A组和
第30页（共40页）E组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据D组的人数和调查的总人数，可以计算出D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人．
【解答】解：（1）20÷20%＝100（名），
即本次共调查了100名学生，
故答案为：100；
（2）选择E的学生有：100×15%＝15（人），
选择A的学生有：100﹣20﹣40﹣20﹣15＝5（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）360°× ＝72°，
即D组所对应的扇形圆心角的度数是72°；
（4）1500× ＝375（人），
答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
25．（8分）（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B
市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚
好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即
原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所
用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 10 0 km/h，乙车出发时速度是 6 0 km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不
第31页（共40页）要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲车速度和乙车出发时速度；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙
车所用时间x（h）的函数解析式；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：500÷5＝100（km/h），
乙车出发时速度是：300÷5＝60（km/h），
故答案为：100，60；
（2）乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y
＝kx+b，
∵点（9，300），（12，0）在该函数图象上，
∴ ，
解得 ，
即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝
﹣100x+1200；
（3）设乙车出发m小时，两车之间的距离是120km，
当0＜m＜5时，
100m﹣60m＝120，
解得m＝3；
当5.5＜m＜8时，
第32页（共40页）100（m﹣5.5）+120+300＝500，
解得m＝6.3；
当9＜m＜12时，
乙车返回的速度为：300÷（12﹣9）＝100（km/h），
（100+100）×（m﹣9）＝120，
解得m＝9.6；
答：乙车出发3小时或6.3小时或9.6小时，两车之间的距离是120km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，
利用数形结合的思想解答．
26．（8分）（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A
重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段
PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段
PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝
∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；
（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．
【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，
第33页（共40页）∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝90°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，
同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
第34页（共40页）∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边
三角形的性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键，属于中考常考题型．
27．（10分）（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10
根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548
元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，根据“购进10根A
种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元”，
即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳（45﹣m）根，利用总价＝单价×数量，结合总价
不少于548元且不多于560元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的
取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案；
（3）设购买跳绳所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关
系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．
（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，
∴购买B种跳绳（45﹣m）根．
依题意得： ，
第35页（共40页）解得：23≤m≤25.4，
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；
方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；
方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．
（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝500．
答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是500元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应
用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的
关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关
系式．
28．（10分）（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，
顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12
＝0的两个根（OA＜OB），tan∠DAB＝ ，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度
沿折线DC﹣CB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第36页（共40页）【分析】（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，可得出A、B的坐标，即可求解；
（2）分0≤t≤7和7＜t≤12两种情况考虑：①当0≤t≤7时，利用三角形的面积公式可得
出S关于t的函数关系式；②当7＜t≤12时，过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，利
用三角形的面积求出AF，即可得△APC的面积为S＝ PC•AF＝ （t﹣7）× ＝ t﹣
；
（3）要使△CMP是等腰三角形，点P一定在CD上，需分情况讨论：①当CM＝CP时；②
当CM＝MP时；③当CP＝MP时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）方程x2﹣7x+12＝0，
解得：x ＝3，x ＝4，
1 2
∵OA＜OB，
∴OA＝3，OB＝4，
∵tan∠DAB＝ ＝ ，
∴OD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝3+4＝7，DC∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
∴点C的坐标为（7，4）；
（2）：①当0≤t≤7时，
由题意得：PC＝7﹣t，
第37页（共40页）∴△APC的面积为S＝ PC•OD＝ （7﹣t）×4＝14﹣2t；
②当7＜t≤12时，过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，
∵AD＝ ＝5，四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，
∵S△ABC ＝ AB•OD＝ CB•AF，
∴AB•OD＝CB•AF，
∴7×4＝5AF，
∴AF＝ ，
∴△APC的面积为S＝ PC•AF＝ （t﹣7）× ＝ t﹣ ；
综上，S＝ ；
（3）∵BC＝AD＝5，M为BC的中点，C（7，4），B（4，0），
∴CM＝ ，M（ ，2），
①当CM＝CP时，
第38页（共40页）∵CM＝ ，
∴CM＝CP＝ ，
∵CD＝7，
∴DP＝7﹣ ＝ ，
∴点P的坐标为（ ，4）；
②当CM＝MP时，过点M作ME⊥CD于E，
∴PE＝CE，
∵M（ ，2），C（7，4），
∴E（ ，4），CE＝7﹣ ＝ ，
∴PE＝CE＝ ，
∴DP＝DE﹣PE＝ ﹣ ＝4，
第39页（共40页）∴点P的坐标为（4，4）；
③当CP＝MP时，过点P作PF⊥BC于F，
∴MF＝CF＝ CM＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠DAB，
∴cos∠BCD＝cos∠DAB＝ ，
∴ ，即 ，
∴PC＝ ，
∴DP＝DC﹣PC＝7﹣ ＝ ，
∴点P的坐标为（ ，4）；
综上，点P的坐标为（4，4）或（ ，4）或（ ，4）．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了一元二次方程的解法，平行四边形的性质，三角形
面积的计算，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的
思想思考问题，属于中考压轴题．
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