文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题15几何体与球切、接、截的问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2021·全国·统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，
地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距
离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．
地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积
为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
2．（2020·全国·统考高考真题）已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面
积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的截面性质，求出球
的半径，即可得出结论.
【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A
3.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，
则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 ，
进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其
高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为 ，则 ，当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ，
(当且仅当 ，即 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 .
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ， ，令 ， ，设 ，则
，
， ，单调递增， ， ，单调递减，
所以当 时， 最大，此时 ．
故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
（1）以几何体的结构特征为基础，考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度
中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.
（2）与立体几何相关的“数学文化”、实际问题等相结合，考查数学应用.
（3）几何体的表面积与体积是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有
时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．几何体与球的切、接、截问题，往往是知识考查的载体.
（4）以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，
属于基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第（1）问，第
（2）问则考查几何体面积、体积的计算.
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 空间几何体的外接球
【核心知识】
(1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．
(2)三棱锥S－ABC的外接球球心O的确定方法：先找到△ABC的外心O，然后找到过O 的平面ABC的垂线
1 1
l，在l上找点O，使OS＝OA，点O即为三棱锥S－ABC的外接球的球心．
(3)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则 ；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则 .
(4)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 .(5)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【典例分析】
典例1. （2022·全国·校联考模拟预测）已知 均在球 的球面上运动，且满足 ，若三棱锥
体积的最大值为6，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大,等体积法即可解决.
【详解】如图所示，
当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，
设球 的半径为 ，
此时 ，
故 ，
则球 的体积为 ，
故选:C.
典例2.（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）如图，已知长方体 的体积为16，
， 与 相交于点 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知线面关系，判断三棱锥 的外接球球心的位置并计算出求得半径，从而得外接球的表
面积即可.
【详解】解：方法一：
设 ，则由长方体的体积公式，得 ，解得 ，
所以 ，
由题可知，四边形 为正方形，所以 ，
所以 外接圆的圆心为AD的中点，记为点M，如下图：
又 是直角三角形，同理 外接圆的圆心为AC的中点，记为点N，
过点M，N分别作平面 与平面 的垂线，两条垂线的交点为AC的中点N，
所以三棱雉 的外接球的球心是AC的中点N.
又 ，所以外接球半径 ，所以外接球的表面积为 .
故选：C.
方法二：设 ，则由长方体的体积公式，得 ，解得 ，所以 .
由题意得，四边形 为正方形，所以 ， .如图，将三棱锥 补充为正四棱柱 ，
则三棱锥 的外接球，即为正四棱柱 的外接球，AC为外接球的直径.所以外接球的半径
，
所以外接球的表面积为 .
故选：C.
典例3.（2022·四川资阳·统考二模）已知O是边长为3的正三角形ABC的中心，点P是平面ABC外一点，
平面ABC，二面角 的大小为60°，则三棱锥 外接球的表面积为______．
【答案】
【分析】根据题意分析可得二面角 的平面角为 ，进而可得相关长度，再结合球的性质
可得 ，可得球的半径，即可得结果.
【详解】∵O是正三角形ABC的中心，则 ，
∴ ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，即二面角 的平面角为 ，
由正三角形ABC的边长为3，则 ，
三棱锥 为正三棱锥，则三棱锥 的外接球的球心 在直线 上，设三棱锥 的外接球
的半径为 ，
∵ ，则 ，解得 ，∴三棱锥 外接球的表面积 .
故答案为： .
【点睛】结论点睛：球的相关性质：
①球的截面均为圆面；
②球心与截面圆心的连线垂直于该截面.
【规律方法】
1.空间几何体的外接球是高中数学的重难点．我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策
略求解此类问题．
2.关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截
面．结合相关几何量之间的数量关系可确定球心．
考向二 空间几何体的内切球
【核心知识】
1．确定锥体内切球球心的方法
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合.
（3）正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合.
2.多面体的内切球可利用等积法求半径．
【典例分析】
典例4.（2022秋·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则此圆锥
的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面圆周长可构造方程求得圆锥底面半径，由此可确定圆锥轴截面
为正三角形，求得正三角形内切圆半径即为所求内切球半径，代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】设圆锥底面半径为 ，则 ，解得： ；
圆锥的轴截面是边长为 的正三角形，
此正三角形内切圆的半径为 ，即圆锥内切球半径 ，
圆锥内切球的表面积 .
故选：C.
典例5.（2022秋·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知三棱柱 中， ，
，平面 平面 ， ，若该三棱柱存在体积为 的内切球，则三棱锥 体积
为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】由已知条件可证得三棱锥为底面是直角三角形的直三棱柱，根据三棱柱内切球的体积可计算得三棱柱
的高，设底面直角三角形的边长，则可列关系式 ， 即可找到直角三角形的两边长，用体
积转换的方法求得体积.
【详解】如图所示，
因为 ， ， ，所以 平面 ，又因为平面 平面
，平面 平面 ，过点 作 ，则 平面 ，则 ，又因为，所以 平面 ， 平面 ，所以 .设 则 ，
又因为三棱锥内切球的体积为 ，则 ，则 ， ，即 ，则 ，
解得 ，棱柱的高等于内切球直径 ，所以 ，故三棱锥 的体积
为 .
故选：D
典例6.（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底
面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作图，找出图中的几何关系，求出母线长和球的半径即可.
【详解】
上图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知： ，
设圆台的上底面半径为r，下底面半径R，母线长为l，球的半径为 ，
则有 ，过点D作BC的垂线，垂直是G，则有 ，
∴ ，在 中，
，
∴圆台的侧面积与球的表面积之比为 ；
故选：D．【总结提升】
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．
(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的
接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体.
考向三 几何体与球切、接、截综合问题
【核心知识】
正四面体与球常用的结论
设正四面体的棱长为ａ，则
（1）正四面体的高为 .
（2）正四面体的外接球和内切球的球心均是正四面体的中心，半径分别为 和 .
【典例分析】
典例7.（多选题）（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂
直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥 为阳马，底面 是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为
3，则（ ）
A．该阳马的体积为 B．该阳马的表面积为
C．该阳马外接球的半径为 D．该阳马内切球的半径为
【答案】ABD
【分析】根据相等的两条棱，求出四棱锥的高，可得其体积和表面积；然后再分析发现其外接球球心为 中
点，内切球的大圆半径其实是 的内切圆半径.【详解】
如图，不妨 底面 ， 两两互相垂直，
平面 平面 ，又
由对称性： ，
所以 A对；
B对；
都是以 为斜边的直角三角形，所以 都在以 为直径的球上，
C错；
分析易知：内切球的大圆半径其实是 的内切圆半径，根据内切圆半径公式可得：
D对；
故选：ABD
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，
确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体
的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
典例8.（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥 中，AB=BC=AC= ，AP=PB=PC=1，则
以点P为球心，以 为半径的球被平面ABC截得的图像的面积为___________.【答案】 ##
【分析】求出 点到平面 的距离，由勾股定理可得截面圆半径，从而得面积．
【详解】由题意三棱锥 是正三棱锥，设 是底面 的中心，如图，则 平面 ， 平
面 ，则 ，
， ，
平面 截球得截面圆，设其半径为 ，则 ，
圆面积为 ．
故答案为： ．
典例9.（2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体 的8个顶点都在球 的表面上， ，
分别为棱 ， 的中点，则经过 ， 球的截面面积的最小值为_________
【答案】 ##
【分析】先求得外接球的半径，利用勾股定理求得截面面积最小的圆的半径，进而求得截面面积的最小值.
【详解】因为正方体内接于球，所以 ， ，
过球心 和点 、 的大圆的截面图如图所示，
则直线被球截得的线段为 ，过点 作 ，垂足为点 ， ， ，，所以，在 中， ．
所以所求经过 、 的平面截球 所得的截面的面积的最小值是： ．
故答案为：
典例10.（2022·广西·统考一模）已知棱长为8的正方体 中，点E为棱BC上一点，满足
，以点E为球心， 为半径的球面与对角面 的交线长为___________.
【答案】
【分析】过点 作 于 ，确定 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，计算得到答案.
【详解】如图所示：过点 作 于 ， 为球面与对角面 的交线上一点，
平面 ， 平面 ，故 ， ，
且 ， 平面 ，故 平面 ，，故 ， ，则 ，
故 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，如图所示：
， ，故 ，交线长为： .
故答案为：
典例11.（2022秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）如图为某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一
个正方体截去八个一样的四面体得到的，它的表面是由正三角形和正方形组成，设被截正方体的棱长为2a，
若球О以该几何体的中心为球心，且与正三角形表面相切，则该球被其中一个正方形表面截得的截面面积为
__________.
【答案】
【分析】由题意，建立空间直角坐标系，根据球的性质，求得半径，利用勾股定理，结合圆的面积计算公式，
可得答案.
【详解】如图建系， ， ， ， ，，
四面体OABM为正四面体，O到平面ABM距离 ，
易知球心 到正方形 所在平面的距离为 ，
球被正方体ABCD截得的圆为圆 ， ， .
故答案为： .
典例12.（2022秋·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）球体在工业领域有广泛的应用，某零件
由两个球体构成，球 的半径为 为球 表面上两动点， 为线段 的中点.半径为2的球
在球 的内壁滚动，点 在球 表面上，点 在截面 上的投影 恰为 的中点，若 ，则
三棱锥 体积的最大值是___________.
【答案】15
【分析】作出图形，在球 中求得三角形 的面积的最大值为3，作出图形，求得点 为到平面 的
距离最大值为15，根据锥体的体积公式即可求得答案.
【详解】解：如图一所示：在圆 中，因为点 在截面 上的投影 恰为 的中点，且 ，
所以 为直角三角形，且 ，
又因为 ，
所以可得 ，
设 ，
则有 ，
所以 ，
所以 ，当 时，等号成立，
所以 ；
如图二所示：
因为球 的半径为 ， 为线段 的中点，所以 ，
当 三点共线且为如图所示的位置时，点 为到平面 的距离最大，
即此时三棱锥 的高 最大，此时 ,
所以此时 ,
即三棱锥 体积的最大值是15.
故答案为：15.
【规律方法】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多
面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体
确定直径解决外接问题．
3.几何体的外接球
一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体
的顶点的距离等于球的半径.
4.几何体的内切球
求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用
多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.
