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2023-2024学年安徽省宿州市灵璧县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一
个是符合题目要求的．
1．（4分）体育与健康越来越受到人们的重视，下面几幅图片是代表体育项目的图标，其中可以看作是
轴对称图形的是（ ）
A． 乒乓球 B． 跳远
C． 举重 D． 武术
2．（4分）随着科学技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上的某电子元件大约只有面
积0.00000065mm2．用科学记数法表示0.00000065为（ ）
A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+2）2＝a2+4 B．（a5）2＝a10
C．2a2+3a2＝5a4 D．x16÷x4＝x4
4．（4分）△ABC的三边分别为a，b，c，若a＝4，b＝2，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．（4分）如图，下列选项中，判定错误的是（ ）
A．若∠A＝∠3，则AB∥DF
B．若∠4+∠2＝180°，则AC∥DE
C．若AB∥DF，则∠3＝∠4
D．若AC∥DE，则∠A＝∠1
6．（4分）一张长方形纸条折成如图的形状，若∠1＝52°，则∠2为（ ）
第1页（共21页）A．76° B．78° C．52° D．64°
7．（4分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外
完全相同，那么小球最终停留在白砖上的概率（ ）
A． B． C． D．1
8．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠ACB＝∠F B．∠A＝∠D
C．AB∥DE，AC∥DF D．BE＝CF
9．（4分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AD的中点，连接CE，则△CDE的面积为
（ ）
A．2 B．3 C．2.5 D．4
10．（4分）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池
（ ）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，直线a，b相交于点O，则∠3＝ °．
12．（5分）某射击运动员在同一条件下的射击结果如下表：
射击总次 10 20 50 100 200 500 1000
数n
击中靶心 9 16 41 88 168 429 861
的次数m
击中靶心 0.90 0.8 0.82 0.88 0.84 0.858 0.861
的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率是 （结果保留小数点后
两位）．
13．（5分）如图，有两个正方形A，B，将A，分别得到长方形图1与正方形图2，若图1、图2中阴影
的面积分别为14与36 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，C为圆心 为半径作弧，两弧分别交于点
M，N，N作直线MN交AB于点P，连接CP．若△ABC的周长比△BCP的周长大5cm cm．
第3页（共21页）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算： ．
16．（8分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列正方形网格中画
出 3 个位置不同、顶点都在格点上的三角形，并指出这样的格点三角形共有多少个？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）先化简，再求值：[（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷2y，其中x＝2023，y＝﹣1．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，F分别在边BC，AC的延长线上，使CD平分∠ECF．试说明：
AB∥CE．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过
3km时，超过部分每千米收取车费1.4元．
（1）在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？
（2）写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）；
（3）若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BD边上一点，连接CE，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）今年“6.18”互联网促销期间，某网红店开展有奖促销活动，凡进店购物的顾客均有一次
转动圆盘的机会（如图）．如果规定当圆盘停下来时指针指向 8就中“一等奖”；指向6或1就中
“二等奖”，指向其余数字均不中奖．
（1）转动转盘，分别求中一等奖、二等奖、三等奖的概率；
（2）若一名顾客有一次转动圆盘的机会，求他中奖的概率；
（3）6月18日这天约有1600人参与这项活动，估计这天需要准备“一等奖”的奖品约多少份．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，CD是△ABC的角平分线，DF⊥BC于点F，连接DE，∠CDE＝∠DCE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，求∠AED的度数；
（2）若DF＝2，AC＝3，求△ADC的面积．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知，在△ABC中，∠ACB为锐角，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作等腰直角
△ADE，AD＝AE．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
第5页（共21页）①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），请直接写出线段CE与BD之间的数量关系：
，位置关系： ；（只写结论，不用证明）
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立；若成立，写出结
论并加以论证；
（2）如果AB≠AC，∠BAC＜90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时
（ 点 C ， E 重 合 除 外 ） ？ 请 写 出 条 件 ， 并 借 助 图 3 简 述 CE⊥ BD 成 立 的 理 由 ．2023-2024学年安徽省宿州市灵璧县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C C A C A B C
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一
个是符合题目要求的．
1．（4分）体育与健康越来越受到人们的重视，下面几幅图片是代表体育项目的图标，其中可以看作是
轴对称图形的是（ ）
A． 乒乓球 B． 跳远
C． 举重 D． 武术
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的体育项目的图标都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互
相重合；
C选项中的体育项目的图标能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）随着科学技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上的某电子元件大约只有面
积0.00000065mm2．用科学记数法表示0.00000065为（ ）
A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法
不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决
定．
【解答】解：0.00000065＝6.7×10﹣7．
故选：D．
第7页（共21页）【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+2）2＝a2+4 B．（a5）2＝a10
C．2a2+3a2＝5a4 D．x16÷x4＝x4
【分析】根据完全平方公式，幂的乘方的运算法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则解答即可．
【解答】解：A．（a+2）2＝a6+4a+4，原计算错误；
B．（a4）2＝a10，原计算正确，故此选项符合题意；
C．2a5+3a2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D．x16÷x4＝x12，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，幂的乘方的运算法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则，
熟记相关的法则和公式是解题的关键．
4．（4分）△ABC的三边分别为a，b，c，若a＝4，b＝2，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形
的周长．
【解答】解：在△ABC中，a＝4，
∴4﹣4＜c＜4+2，
即8＜c＜6，
∵第三边c的长是偶数，
∴c＝4，
∴△ABC的周长为5+4+4＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小
于第三边是解题的关键．
5．（4分）如图，下列选项中，判定错误的是（ ）A．若∠A＝∠3，则AB∥DF
B．若∠4+∠2＝180°，则AC∥DE
C．若AB∥DF，则∠3＝∠4
D．若AC∥DE，则∠A＝∠1
【分析】根据平行线的判定与性质判断求解即可．
【解答】解：∵∠A＝∠3，
∴AB∥DF，
故A正确，不符合题意；
∵∠4+∠5＝180°，
∴AC∥DE，
故B正确，不符合题意；
∵AB∥DF，
∴∠3＝∠A，
故C错误，符合题意；
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠1，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
6．（4分）一张长方形纸条折成如图的形状，若∠1＝52°，则∠2为（ ）
A．76° B．78° C．52° D．64°
【分析】先根据折叠的性质得到∠ABC＝∠1+∠2，再根据平角的定义求出∠ABC＝128°，则∠2＝
∠ABC﹣∠1＝76°．
【解答】解：
第9页（共21页）由折叠的性质可得，∠ABC＝∠1+∠2，
∵∠ABC+∠3＝180°，∠1＝52°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1＝128°，
∴∠8＝∠ABC﹣∠1＝76°，
故选A．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，正确根据平角的定义求出∠ABC＝128°是解题的关键．
7．（4分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外
完全相同，那么小球最终停留在白砖上的概率（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：白色区域（5块）的面积占总面积（9块）的 ，
则它最终停留在白砖上的概率是 ．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示
所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
8．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）A．∠ACB＝∠F B．∠A＝∠D
C．AB∥DE，AC∥DF D．BE＝CF
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、∠ACB和∠F分别是AB和DE的对边，故A符合题意；
B、由SAS判定△ABC≌△DEF；
C、由AB∥DE，推出∠B＝∠DEF，由AAS判定△ABC≌△DEF；
D、由BE＝CF，由SSS判定△ABC≌△DEF．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，
HL．
9．（4分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AD的中点，连接CE，则△CDE的面积为
（ ）
A．2 B．3 C．2.5 D．4
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△CDE是△ACDE的面积的 ，△ACD的面
积是△ABC的面积的 ，依此即可求解．
【解答】解：∵D是BC的中点，E是AD的中点，
∴ ， ，
∴ ＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积和中线的性质，熟记三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分
是解题的关键．
10．（4分）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池
（ ）
第11页（共21页）A． B．
C． D．
【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢．
【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，增大的速度
是先快后慢．
故选：C．
【点评】此题考查了函数的图象，根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能
根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确
的图象．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，直线a，b相交于点O，则∠3＝ 3 6 °．
【分析】根据对顶角相等可得∠1的度数，再利用邻补角互补可得答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠7+∠2＝288°，
∴∠1＝∠3＝144°，
∴∠3＝180°﹣144°＝36°，
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了对顶角和邻补角，关键是掌握对顶角相等，邻补角互补．
12．（5分）某射击运动员在同一条件下的射击结果如下表：
射击总次 10 20 50 100 200 500 1000
数n
击中靶心 9 16 41 88 168 429 861的次数m
击中靶心 0.90 0.8 0.82 0.88 0.84 0.858 0.861
的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率是 0.86 （结果保留小数点后两
位）．
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【解答】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是0.861，
故答案为：0.86．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个
固定的近似值就是这个事件的概率．
13．（5分）如图，有两个正方形A，B，将A，分别得到长方形图1与正方形图2，若图1、图2中阴影
的面积分别为14与36 4 ．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积，
整体代入即可得出b2，即正方形B的面积．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得，a（a+b）﹣a2﹣b2＝14，（a+b）7﹣a2﹣b2＝36，
即ab﹣b7＝14，ab＝18，
∴b2＝18﹣14＝4，
即正方形B的面积为6，
故答案为：4．
【点评】本题考查了正方形的性质，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确
解答的前提．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，C为圆心 为半径作弧，两弧分别交于点
M，N，N作直线MN交AB于点P，连接CP．若△ABC的周长比△BCP的周长大5cm 8 cm．
第13页（共21页）【分析】由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，可得AP＝CP．根据△ABC的周长比
△BCP的周长大5cm，可得AC＝5cm，即可得AB＝5cm，进而可得答案．
【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴AP＝CP．
∵△ABC的周长比△BCP的周长大5cm，
∴（AB+AC+BC）﹣（BP+BC+CP）＝AP+BP+AC+BC﹣BP﹣BC﹣CP＝AC＝5cm，
∴AB＝7cm，
∴△BCP的周长为BP+CP+BC＝BP+AP+BC＝AB+BC＝5+3＝6（cm）．
故答案为：8．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答
本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算： ．
【分析】首先计算乘方、零指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝﹣1﹣ +1
＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算
一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，
同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16．（8分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列正方形网格中画
出 3 个位置不同、顶点都在格点上的三角形，并指出这样的格点三角形共有多少个？【分析】正方形有4个对称轴，可以作出4个图形；再以AC线段的垂直平分线为对称轴可以作1个，
故可作出5个．据此解答．
【解答】解：作任意三种即可．
这样的格点三角形共有5个．
【点评】此题考查的是利用轴对称设计图案，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性
质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）先化简，再求值：[（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷2y，其中x＝2023，y＝﹣1．
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即
可．
【解答】解：[（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷2y
＝（x7﹣y2﹣x2+4xy﹣y2）÷2y
＝（2xy﹣2y2）÷5y
＝x﹣y，
当x＝2023，y＝﹣1时．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运
算顺序．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，F分别在边BC，AC的延长线上，使CD平分∠ECF．试说明：
第15页（共21页）AB∥CE．
【分析】根据角平分线及对顶角相等可得∠ACB＝∠DCE，再借助已知可得∠B＝∠DCE，根据同位角
相等两直线平行可得结论．
【解答】证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠DCF＝∠DCE．
又∵∠DCF＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠DCE．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DCE．
∴AB∥CE．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解决这类问题关键是熟知平行线的判定方法以及对角的转化．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过
3km时，超过部分每千米收取车费1.4元．
（1）在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？
（2）写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）；
（3）若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义解答即可；
（2）根据“车费＝3km部分的车费+超过3km部分的车费”计算即可；
（3）将y＝15代入（2）中求得的y与x之间的关系式，计算对应x的值即可．
【解答】解：（1）在这个过程中，自变量是行车里程．
（2）根据题意，得y＝8+1.5（x﹣3）＝1.4x+3.8，
∴y与x之间的关系式为y＝3.4x+3.2．
（3）将y＝15代入y＝1.4x+5.8，得1.5x+3.8＝15，
∴他乘坐了3km的里程．【点评】本题考查函数关系式、一元一次方程的应用、常量与变量，掌握自变量、因变量的定义和一
元一次方程的解法是解题的关键．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BD边上一点，连接CE，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【分析】（1）由 AB∥CD，得∠ABD＝∠EDC，而∠1＝∠2，AD＝EC，即可根据“AAS“证明
△ABD≌△EDC；
（2）由全等三角形的性质得AB＝ED＝2，则DB＝CD＝BE+ED＝5，所以CD的长是5．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS）．
（2）解：由（1）得△ABD≌△EDC，
∵AB＝5，BE＝3，
∴AB＝ED＝2，
∴DB＝CD＝BE+ED＝5+2＝5，
∴CD的长是4．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明
△ABD≌△EDC是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）今年“6.18”互联网促销期间，某网红店开展有奖促销活动，凡进店购物的顾客均有一次
转动圆盘的机会（如图）．如果规定当圆盘停下来时指针指向 8就中“一等奖”；指向6或1就中
“二等奖”，指向其余数字均不中奖．
（1）转动转盘，分别求中一等奖、二等奖、三等奖的概率；
第17页（共21页）（2）若一名顾客有一次转动圆盘的机会，求他中奖的概率；
（3）6月18日这天约有1600人参与这项活动，估计这天需要准备“一等奖”的奖品约多少份．
【分析】（1）由题意知，共有8种等可能的结果，其中中一等奖的结果有1种，中二等奖的结果有2
种，中三等奖的结果有3种，利用概率公式可得答案．
（2）由题意知，共有8种等可能的结果，其中中奖的结果有6种，利用概率公式可得答案．
（3）用1600乘以中一等奖的概率即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有8种等可能的结果，中二等奖的结果有2种，
∴中一等奖的概率为 ，中二等奖的概率为 ＝ ．
（2）由题意知，共有8种等可能的结果，
∴他中奖的概率为 ＝ ．
（3）1600× ＝200（份）．
∴估计这天需要准备“一等奖”的奖品约200份．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，CD是△ABC的角平分线，DF⊥BC于点F，连接DE，∠CDE＝∠DCE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，求∠AED的度数；
（2）若DF＝2，AC＝3，求△ADC的面积．
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝70°，再根据角平分线的定义和∠CDE＝
∠DCE，可得DE∥BC，从而可以求得结论．
（2）根据角平分线的性质，得出△ADC的AC边上的高与DF相等，据此可解决问题．【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
又∵∠CDE＝∠ECD，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝70°．
（2）∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，
∴点D到AC边的距离等于2，
∴ ．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积，熟知角平分线的性质及三角形的面积公式
是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知，在△ABC中，∠ACB为锐角，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作等腰直角
△ADE，AD＝AE．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．
①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），请直接写出线段CE与BD之间的数量关系：
CE ＝ BD ，位置关系： CE ⊥ BD ；（只写结论，不用证明）
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立；若成立，写出结
论并加以论证；
（2）如果AB≠AC，∠BAC＜90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时
（ 点 C ， E 重 合 除 外 ） ？ 请 写 出 条 件 ， 并 借 助 图 3 简 述 CE⊥ BD 成 立 的 理 由 ．
第19页（共21页）【分析】（1）①根据△ABC和△ADE均是等腰直角三角形，证明△ABD≌△ACE，进而得出∠ACE
＝∠B，CE＝BD，即可得出结论．
②同理①证明△ABD≌△ACE，可得出∠ACE＝∠B，CE＝BD．
（2）过点 A 作 AF⊥AC 交 CB 的延长线于 F，通过构造直角三角形 CAF，根据 AAS 证明
△AFD≌△ACE得出AC＝AF，得出△ACF是等腰直角三角形，得出∠ACB＝45°，即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1，由题意可知．
∴∠B＝∠BCA＝45°，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠EAC+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，AE＝AD，AC＝AB，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴CE＝BD，∠ECA＝∠B，
∴∠ECB＝∠ECA+∠BCA＝∠B+∠BCA＝90°．
∴CE⊥BD．
故CE和BD的数量关系是CE＝BD，位置关系为CE⊥BD．
②结论：①中的结论依然成立，如图2，
当点D在线段BC的延长线上时，∠EAC﹣∠CAD＝∠BAD﹣∠CAD＝90°，
同理（1）①，可通过SAS证明△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，∠ECA＝∠B．
故①中的结论依然成立．
（2）如图，过点A作AF⊥AC交CB的延长线于F．∵CE⊥BD，
∴∠BCE＝90°，
∵∠ACB+∠AFC＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠AFC＝∠ACE，
又∵∠DAF+∠CAD＝∠CAE+∠CAD＝90°，
∴∠DAF＝∠CAE，
又∵AD＝AE，
∴△AFD≌△ACE（AAS），
∴AC＝AF，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
故当△ABC满足∠ACB＝45°时，CE⊥BD成立．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质．通过等腰直角三角形建立
“手拉手”全等模型是解答本题的关键．
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