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2023-2024学年河北省邯郸市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（3分）若x＞y，则﹣2x□﹣2y，□中应该填入的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．≤
2．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ）
①4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1；② ；③a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（3分）一滴水的质量约0.0000512kg，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.512×10﹣8 B．5.12×10﹣7
C．512×10﹣5 D．5.12×10﹣5
4．（3分）代入法解方程组 时，代入正确的是（ ）
A．y﹣2y+1＝4 B．3y﹣1﹣2y＝4
C．y﹣2（3y﹣1）＝4 D．2y﹣1﹣3y＝4
5．（3分）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，过直线l外一点A作直线l的平行线AB，其直接依据是（ ）
第1页（共24页）A．两直线平行，同位角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，AD为边BC上的高，BE平分∠ABC交AC于点E，则
∠AFE的度数是（ ）
A．60° B．70° C．30° D．50°
8．（3分）如图，在长3m，宽2m的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分）（0＜x＜1）的
小路（图中空白部分），则花园的面积为（ ）
A．（2x2﹣8x+6）m2 B．（4x2﹣10x+6）m2
C．（4x2+10x﹣6）m2 D．（2x2﹣7x+6）m2
9．（3分）下面是甲、乙两位同学因式分解﹣x3+x的结果，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式＝﹣x（x+1）（x﹣1）
乙同学：原式＝x（1+x）（1﹣x）
A．只有甲的结果正确B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果都正确
D．甲、乙的结果都不正确
10．（3分）手工课上，同学们用图1中的彩色和白色正方形纸片拼成如图2中的甲、乙两种图案．现有
50个彩色正方形纸片和130个白色正方形纸片，若拼成两种图案（两种图案都要拼），恰好将所有正
方形纸片用完，设拼成了x个甲图案，则所列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）关于x的不等式组 有解，且其解都是不等式3x≤15的解（ ）
A．a＜ B．﹣1≤a＜ C．﹣2＜a≤ D．﹣2≤a＜
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AB上的一个动点，连接CD，得到△CDE．关于
结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当CD为∠ACB的平分线时，DE⊥AC；
结论Ⅱ：当△CDE的三边与△ABC的三边中有一组边平行时，∠CDB的度数为45°或75°
A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确
C．Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．Ⅰ、Ⅱ都正确
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
第3页（共24页）13．（3分）把x2﹣2x因式分解得 ．
14．（3分）如图，直线a，b，c交于一点，平移直线a到直线d的位置，若∠1＝25° ．
15．（3分）若关于x的不等式m﹣2x≥1的解集如图所示，则m的值为 ．
16．（3分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，FH．
将乙纸片放到甲的内部得到图 2．已知甲、乙两个正方形边长之和为 8，图2的阴影部分面积为6
．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）按要求完成下列各小题．
（1）解方程组 ；
（2）解不等式组 ，并求其整数解．
18．（8分）按要求完成下列各小题．
（1）计算：a2•a3+（﹣a4）3÷a7+335×（ ）34；
（2）因式分解：4x（x﹣3y）+9y2；
（3）利用乘法公式简便计算：1005×995﹣10002．
19．（8分）如图，已知BD∥GE，∠AFG＝∠1＝50°．
（1）试判断AF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若AQ平分∠FAC，交BD的延长线于点Q，且∠Q＝20°
20．（8分）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型
卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形．
（1）请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；
（2）请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简，b＝3时该大长方形的面积．
21．（9分）观察：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3．
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
验证：
（1）（6+3）2﹣62的结果是3的 倍；
（2）设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除；
延伸：
（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由．
22．（9分）如图1，图2，在△ABC中，E为线段BD上一点．
（1）若AE为△ABD的中线，BE＝2，AD＝7；
（2）若AE平分∠BAD，∠CAE＝∠CEA．
①试判断∠DAC与∠B相等吗？并说明理由；
②如图2，F是线段AE上的动点（不与点A，E重合），过点F作FH⊥AE交射线EC于点H，用含
的代数式表示∠FHE的度数． α
第5页（共24页）23．（10分）某商场计划新建地上和地下两类充电桩以缓解电动汽车充电难的问题．已知新建 1个地上
充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
（1）求新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
（2）若该商场计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地上充电桩的数量不超过20个，求
共有几种建造方案？并列出所有方案．
24．（12分）射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．
如图1，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2
【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，且∠1＝50°，求∠2的度
数；
【猜想验证】如图2，任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，入射光线m与反射光线n平行，
求两平面镜a；
【拓展探究】如图3，有三块平面镜a，b，c，入射光线m与镜面a的夹角∠1＝30°，b组成的∠ 为
120°，镜面b和c连接（连接点可以在b上任意一点，组成的∠ 也可以改变），经过k（k为正整数α，
k≤3）次反射，当m∥n时，请直接写出镜面b和c组成的∠ （β0°到180°之间）
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参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B D B D B A D C B D
题号 12
答案 A
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（3分）若x＞y，则﹣2x□﹣2y，□中应该填入的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．≤
【分析】根据不等式的性质即可得．
【解答】解：∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y（不等式的两边乘以同一个负数，不等号的方向改变），
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．（3分）下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ）
①4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1；② ；③a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【解答】解：①右边不是乘积形式，不属于因式分解；
②左边不是多项式，不属于因式分解；
③从左边到右边的变形属于因式分解；
∴从左到右的变形是因式分解的有③，只有一个，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解是关键．
3．（3分）一滴水的质量约0.0000512kg，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.512×10﹣8 B．5.12×10﹣7
C．512×10﹣5 D．5.12×10﹣5
第7页（共24页）【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000512用科学记数法表示为5.12×10﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）代入法解方程组 时，代入正确的是（ ）
A．y﹣2y+1＝4 B．3y﹣1﹣2y＝4
C．y﹣2（3y﹣1）＝4 D．2y﹣1﹣3y＝4
【分析】将①代入②即可求解．
【解答】解： ，
将①代入②得：3y﹣6﹣2y＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了代入法解二元一次方程组，掌握代入法是解题的关键．
5．（3分）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进
行依次分析即可．
【解答】解：A.2+4＝7，两边之和没有大于第三边；
B．3+3＝4，所以不能围成三角形；
C．2+3＜2；所以不能围成三角形；
D．2+5＞5，任意两边之和大于第三边；故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的
任意两边的差一定小于第三边．
6．（3分）如图，过直线l外一点A作直线l的平行线AB，其直接依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
【分析】根据图形，可以发现直线l和直线AB之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行，本题
得以解决．
【解答】解：由图可知，直线l和直线AB之间的内错角相等，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，AD为边BC上的高，BE平分∠ABC交AC于点E，则
∠AFE的度数是（ ）
A．60° B．70° C．30° D．50°
【 分 析 】 先 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 ∠ ABC ＝ 60° ， 再 根 据 角 平 分 线 定 义 求 出
，进而根据AD⊥BC得△BDF为直角三角形，由此可得∠BFD的度数，即可
根据∠AFE＝∠BFD求解．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝50°，
第9页（共24页）∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴ ，
∵AD⊥BC，
∴△BDF为直角三角形，
∴∠BFD＝90°﹣∠CBE＝60°．
∴∠AFE＝∠BFD＝60°
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运
用．
8．（3分）如图，在长3m，宽2m的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分）（0＜x＜1）的
小路（图中空白部分），则花园的面积为（ ）
A．（2x2﹣8x+6）m2 B．（4x2﹣10x+6）m2
C．（4x2+10x﹣6）m2 D．（2x2﹣7x+6）m2
【分析】表示出花园的长和宽，再计算即可．
【解答】解：由题意可得，花园的长为（3﹣2x），
∴花园的面积为（5﹣2x）（2﹣x）＝8x2﹣7x+4，
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式，熟练掌握多项式乘多项式是关键．
9．（3分）下面是甲、乙两位同学因式分解﹣x3+x的结果，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式＝﹣x（x+1）（x﹣1）
乙同学：原式＝x（1+x）（1﹣x）
A．只有甲的结果正确
B．只有乙的结果正确C．甲、乙的结果都正确
D．甲、乙的结果都不正确
【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：﹣x3+x＝﹣x（x2﹣5）＝﹣x（x+1）（x﹣1）；
﹣x2+x＝x﹣x3＝x（1﹣x3）＝x（1+x）（1﹣x）；
故甲、乙的结果都正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键．
10．（3分）手工课上，同学们用图1中的彩色和白色正方形纸片拼成如图2中的甲、乙两种图案．现有
50个彩色正方形纸片和130个白色正方形纸片，若拼成两种图案（两种图案都要拼），恰好将所有正
方形纸片用完，设拼成了x个甲图案，则所列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设拼成了x个甲图案，y个乙图案，根据等量关系式：甲图案的白色纸片+乙图案的白色纸片
＝130张，甲图案的彩色纸片+乙图案的彩色纸片＝50张，列出方程组即可．
【解答】解：设拼成了x个甲图案，y个乙图案
，
故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出题目中的等量关系，是解题的关键．
11．（3分）关于x的不等式组 有解，且其解都是不等式3x≤15的解（ ）
第11页（共24页）A．a＜ B．﹣1≤a＜ C．﹣2＜a≤ D．﹣2≤a＜
【分析】分别解不等式组和不等式，根据题意列关于a的不等式组并求解即可．
【解答】解：解不等式组，得 ≤x＜7﹣a，
解不等式3x≤15，得x≤5，
根据题意，得 ，
解得﹣2≤a＜ ．
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式，掌握一元一次不等式组和一元一次不等
式的解法是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AB上的一个动点，连接CD，得到△CDE．关于
结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当CD为∠ACB的平分线时，DE⊥AC；
结论Ⅱ：当△CDE的三边与△ABC的三边中有一组边平行时，∠CDB的度数为45°或75°
A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确
C．Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．Ⅰ、Ⅱ都正确
【分析】根据折叠的性质及角平分线的定义判断结论Ⅰ，分二种情况：当 CE∥AB时和DE∥BC，结
合折叠的性质分别计算可判定结论Ⅱ求解．
【解答】解：∵CD为∠ACB的平分线，
∴∠DCA＝∠DCB，
∵将△CDB沿着CD翻折，得到△CDE，
∴∠DCE＝∠DCB＝∠DCA，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴A、E、C三点共线，
∵∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故结论Ⅰ正确；
当CE∥AB时，如图，
由折叠可知：∠ECD＝∠BCD，
∵CE∥AB，
∴∠CDB＝∠ECD＝∠BCD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝∠BCD＝45°，
当DE∥BC时，如图，
由折叠可知：∠EDC＝∠BDC，
∵CE∥AB，
∴∠BCD＝∠EDC＝∠BDC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝∠BCD＝45°，
∴∠CDB的度数为45°
故结论Ⅱ错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查翻折问题，平行线的性质，三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）把x2﹣2x因式分解得 x （ x ﹣ 2 ） ．
【分析】提取公因式x，整理即可得解．
【解答】解：x2﹣2x＝x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，找出公因式x然后提取即可，是基础题，比较简单．
14．（3分）如图，直线a，b，c交于一点，平移直线a到直线d的位置，若∠1＝25° 65 ° ． ．
第13页（共24页）【分析】根据对顶角相等、垂直定义及平行线的性质、角的和差关系即可求解．
【解答】解：如图，
∵b⊥c，
∴∠3+∠4＝90°，
∵∠6＝25°，
∴∠1＝∠4＝25°，
∴∠4＝90°﹣25°＝65°，
∵平移直线a到直线d的位置，
∴a∥d，
∴∠2＝∠3＝65°，
故答案为：65°．
【点评】此题考查了平移的性质、平行线的性质，熟记性质定理是解题的关键．
15．（3分）若关于x的不等式m﹣2x≥1的解集如图所示，则m的值为 5 ．
【分析】由图象可以知道，x≤2，只需要根据m﹣2x≥1写出x的解集，即可求出m的值．
【解答】解：∵m﹣2x≥1，
∴ ，
由图象可知x≤2，
∴ ，
解得m＝8，故答案为：5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能从读取图象的信息，会解
含有参数的不等式，用参数表示不等式的解是解题的关键．
16．（3分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，FH．
将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6 1 9
．
【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得： ，根据完全平方
和公式得到a2+b2，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去△ADH和△HEF的面积，
即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，
根据题意可得： ，
∴（a+b）2＝64，
∴2（a4+b2）＝（a+b）2+（a﹣b）3＝70，
∴a2+b2＝35，
∵H是AE的中点，
∴ ，
∴S△AHD ＝ AD•AH＝ ，S△EFH ＝ EF•HE＝ ．
∴S阴影 ＝S甲+S乙 ﹣S△AHD ﹣S△EFH ＝a2+b2﹣6a﹣2b＝（a2+b2）﹣2（a+b）＝19．
故答案为：19．
【点评】本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）按要求完成下列各小题．
第15页（共24页）（1）解方程组 ；
（2）解不等式组 ，并求其整数解．
【分析】（1）采用适当的方法解方程组即可；
（2）解不等式组并取其整数解即可．
【解答】解：（1） ，
由②，得y＝6x③，
把③代入①，得4x﹣9x﹣10＝5，
解得x＝﹣2，
把x＝﹣2代入③，得y＝﹣4，
∴原方程组的解为 ．
（2） ，
解不等式①，得x＜1；
解不等式②，得x≥﹣8，
∴原不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
∴x的整数解为x＝﹣7，﹣2，0．
【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，掌握二元一次方程组和一元一次不等式
组的解法是解题的关键．
18．（8分）按要求完成下列各小题．
（1）计算：a2•a3+（﹣a4）3÷a7+335×（ ）34；
（2）因式分解：4x（x﹣3y）+9y2；
（3）利用乘法公式简便计算：1005×995﹣10002．
【分析】（1）先根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方分别计算，然后合并同类项即可；
（2）先展开，然后根据完全平方公式分解因式即可；
（3）将1005×995写成（1000+5）×（1000﹣5），然后利用平方差公式计算，最后合并即可．【解答】解：（1）
＝
＝
＝5×134
＝3×3
＝3；
（2）4x（x﹣3y）+9y2
＝4x2﹣12xy+9y8
＝（2x﹣3y）4；
（3）1005×995﹣10002
＝（1000+5）×（1000﹣6）﹣10002
＝10002﹣42﹣10002
＝﹣25．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及整式的运
算法则是解题的关键．
19．（8分）如图，已知BD∥GE，∠AFG＝∠1＝50°．
（1）试判断AF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若AQ平分∠FAC，交BD的延长线于点Q，且∠Q＝20°
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据三角形外角性质求出∠AHD＝70°，根据平行线的性质求出∠FAH＝∠AHD＝70°，根据角平
分线定义求出∠CAQ＝∠FAH＝70°，再根据三角形内角和定理及垂直的定义求解即可．
【解答】解：（1）AF∥DE，理由如下：
∵BD∥GE，
∴∠E＝∠1，
∵∠AFG＝∠1，
第17页（共24页）∴∠AFG＝∠E，
∴AF∥DE；
（2）∵∠AHD＝∠7+∠Q，∠1＝50°，
∴∠AHD＝70°，
∵AF∥DE，
∴∠FAH＝∠AHD＝70°，
∵AQ平分∠FAC，
∴∠CAQ＝∠FAH＝70°，
∵∠ACQ＝180°﹣∠Q﹣∠CAQ＝90°，
∴AC⊥BQ．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
20．（8分）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型
卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形．
（1）请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；
（2）请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简，b＝3时该大长方形的面积．
【分析】（1）结合图形进行分析即可求解；
（2）结合（1），利用长方形的面积公式即可求解；
【解答】解：（1）由题意得：B型卡片的长为：a+b，宽为：a﹣b；
（2）所拼成的长方形的面积为：（a+a+b）（a+a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）＝7a2﹣b2，
当a＝6，b＝3时，
4a8﹣b2＝4×42﹣35＝4×25﹣9＝100﹣6＝91．
【点评】本题考查了多项式乘多项式、列代数式及代数式求值，解题的关键是掌握多项式的乘法法则．
21．（9分）观察：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3．
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
验证：
（1）（6+3）2﹣62的结果是3的 1 5 倍；
（2）设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除；
延伸：（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由．
【分析】（1）计算出92﹣62的结果，即可；
（2）由题意得偶数为2n，比偶数大3的数为（2n+3），再利用平方差公式计算，即可；
（3）设这个数为n，比n大3的数为n+3，再利用平方差公式计算，即可．
【解答】解：（1）（6+3）5﹣62＝81﹣36＝45＝4×15，
∴（6+3）7﹣62是5的15倍；
故答案为：15；
（2）由题意得偶数为2n，比偶数大3的数为（8n+3），
∴（2n+6）2﹣（2n）7＝（2n+3+8n）（2n+3﹣4n）＝3（4n+2），
∵4n+3为整数，
∴2（4n+3）能被8整除；
（3）余数为3，理由如下：
设这个数为n，比n大3的数为n+8，
（n+3）2﹣（n）5＝（n+3+n）（n+3﹣n）＝2n+9＝6（n+7）+3，
所以6（n+7）+3被6整除余3，余数为3．
【点评】本题主要考查了平方差公式的应用；掌握平方差公式是关键．
22．（9分）如图1，图2，在△ABC中，E为线段BD上一点．
（1）若AE为△ABD的中线，BE＝2，AD＝7；
（2）若AE平分∠BAD，∠CAE＝∠CEA．
①试判断∠DAC与∠B相等吗？并说明理由；
②如图2，F是线段AE上的动点（不与点A，E重合），过点F作FH⊥AE交射线EC于点H，用含
的代数式表示∠FHE的度数． α
【分析】（1）根据中线可得S△ABD ＝2S△ABE ，计算即可；
（2）①由角平分线可得∠BAE＝∠DAE，由外角可得∠CAE＝∠DAC+∠DAE，∠CEA＝
∠BAE+∠B，结合∠CAE＝∠CEA即可得到∠DAC＝∠B；
第19页（共24页）② 由 垂 直 得 到 ∠ DAC ＝ ∠ B ＝ 90°﹣ ， ∠ BAE ＝ 90°﹣ ∠ B ＝ ， 由 角 平 分 线 可 得
α α
，即可根据外角得到 ，再由FH⊥AE
求出∠FHE的度数．
【解答】解：（1）∵BE＝2，AD＝7，
∴ ，
∵AE为△ABD的中线，
∴S△ABD ＝2S△ABE ＝14；
（2）①∠DAC＝∠B，理由如下：
∵AE平分∠BAD，
∴ ，
∵∠CAE＝∠DAC+∠DAE，∠CEA＝∠BAE+∠B，
∴∠DAC＝∠B；
②∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠DAC＝∠B＝90°﹣ ，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝α，
∵AE平分∠BAD， α
∴ ，
∴ ，
∵FH⊥AE，
∴∠EFH＝90°，
∴ ．
【点评】本题考查三角形的中线、高线、角平分线，三角形的外角与内角，三角形的面积等知识，解
题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）某商场计划新建地上和地下两类充电桩以缓解电动汽车充电难的问题．已知新建 1个地上
充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
（1）求新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？（2）若该商场计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地上充电桩的数量不超过20个，求
共有几种建造方案？并列出所有方案．
【分析】（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个
地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列
二元一次方程组求解即可；
（2）设新建m个地上充电桩，根据“用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩”列一元一次不等式，
求出a的取值范围，即可得解．
【解答】解：（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，
依题意得 ，
解得 ，
答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.5万元和0.3万元；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为（60﹣m）个，
由题意得：6.2m+0.2（60﹣m）≤16.3，
解得：m≥17，
又∵m≤20，
∴整数m的值为17、18、20．
∴一共有4种方案，分别为：方案①新建17个地上充电桩；方案②新建18个地上充电桩；方案③
新建19个地上充电桩；方案④新建20个地上充电桩．
答：一共有7种方案，分别为：方案①新建17个地上充电桩；方案②新建18个地上充电桩；方案
③新建19个地上充电桩；方案④新建20个地上充电桩．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组和
不等式是解题关键．
24．（12分）射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．
如图1，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2
【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，且∠1＝50°，求∠2的度
数；
【猜想验证】如图2，任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，入射光线m与反射光线n平行，
求两平面镜a；
【拓展探究】如图3，有三块平面镜a，b，c，入射光线m与镜面a的夹角∠1＝30°，b组成的∠ 为
α
第21页（共24页）120°，镜面b和c连接（连接点可以在b上任意一点，组成的∠ 也可以改变），经过k（k为正整数，
k≤3）次反射，当m∥n时，请直接写出镜面b和c组成的∠ （β0°到180°之间）
β
【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠4＝50°，再利用平角的定义得∠7＝80°，然后利
用平行线的性质计算出∠2＝100°；
（2）∠6＝40°，再利用三角形内角和定理计算∠3；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及
△GCH内角和，可得∠BCD＝90°+ °；②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则∠BCD＝
90°，与题意不符；则只能在CD边反α射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠＝∠ ﹣60°，由
EF∥HK，且由（1）的结论可得∠ ＝150°． β
【解答】解：（1）如图2， β
根据题意可知：∠1＝∠2＝50°，∠5＝∠6，
又∵∠3＝180°﹣∠1﹣∠4＝80°，m∥n，
∴∠4＝180°﹣∠7＝100°，
故答案为：100°；
（2）∵∠2＝180°﹣∠8＝100°，
∴∠5＝∠6＝（180°﹣100°）÷2＝40°．
∵三角形内角和为180°，∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠3＝90°；
故答案为：90°；
（3）90°+ °或150°．
理由如下：α①当k＝3时，如图3：
∵∠BEG＝∠2＝30°，
∴∠BGE＝∠CGH＝180°﹣∠B﹣∠BEG＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣60°＝120°，
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
∴∠GHK＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴∠GHC＝30°，
由△GCH内角和得∠BCD＝180°﹣∠GHC﹣∠CGH＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当k＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图4所示：
第23页（共24页）∵∠GBC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠G＝∠BCD﹣∠GBC＝∠BCD﹣60°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝∠BCD﹣60°＝90°，
则∠BCD＝150°．
综上所述：∠ 的度数为120°或150°．
【点评】本题β考查了平行线的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意
分类讨论思想的利用．
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