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2023-2024学年河北省保定市清苑区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，共38分。1—6小题各3分，7—16小题各2分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3•2a2＝6a5
2．（3分）在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是 5×10﹣5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链
的长是（ ）
A．10﹣2cm B．10﹣1cm C．10﹣3cm D．10﹣4cm
3．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔 B．水涨船高 C．水中捞月 D．缘木求鱼
4．（3分）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．（3分）用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为 3cm和9cm，则第三
根木棒的长度可能是（ ）
A．5cm B．6cm C．10cm D．11cm
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
7．（2分）计算 的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
第1页（共25页）8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
9．（2分）如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，则∠AEF的度数等于（ ）
A．26° B．52° C．54° D．77°
10．（2分）赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，车修好后，因怕耽误
上课时间，如图所示的四个图象中（S为距离，t为时间），符合以上情况的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC
12．（2分）在作业纸上，AB∥EF，点C在AB，要得知两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，无法直接
测量．两同学提供了如下间接测量方案（如表1和表2），对于方案Ⅰ、Ⅱ（ ）方案Ⅰ 方案Ⅱ
①分别测量∠DCE和∠E； ①延长DC交EF于点M；
②计算出∠DCE﹣∠E的大小即可． ②测量∠CME的大小即可．
表1 表2
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．I不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
13．（2分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋
中有红球5个，白球23个 ，则袋中黑球的个数为（ ）
A．27 B．23 C．22 D．18
14．（2分）如图，在3×3的网格中，以AB为一边，使△ABP为等腰三角形的点P有（ ）个．
A．2个 B．5个 C．3个 D．1个
15．（2分）数学课上，同学们用△ABC纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字
说明，线段AD是△ABC中线的是（ ）
A． 沿AD折叠，点C落在BC边上的点E处
B． 沿AD折叠，点C落在AB边上的点E处
C． 沿DE折叠，使点C与点B重合
第3页（共25页）D． 沿AD折叠，点C落在三角形外的点E处
16．（2分）题目：“如图，AE与BD相交于点C，且△ACB≌△ECD，点P从点A出发，沿A→B→A方
向以2cm/s的速度运动，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，P、Q两点同时停止
运动，设点P的运动时间为t（s），当线段PQ经过点C时，求t的值．”对于其答案 ，乙答：
8s，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
二、填空题（本大题共3个小题，17，19每小题3分，18小题每空2分，共10分）
17．（3分）计算 的结果是 ．
18．（4分）如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，直线AB与直线CD的位置关系为 ，
得到这个结论的理由是 ．
19．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠ABD＝∠BCE，AD＝BE，AD＝3，
则DE的长度为 ．三、解答题（本大题共7个小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（20分）计算
（1）（﹣2）2﹣20240+（﹣1）﹣2；
（2）（27a3﹣15a2+6a）÷3a；
（3）1232﹣124×122；
（4）（x﹣2）（x+2）﹣（x+1）（x﹣2）．
21．（8分）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家 200千米的景点旅游，出发前，当行驶150千米
时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油
22．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：
△BDE≌△CDF．
23．（8分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值
（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于
24．（8分）下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务．
执“规”“矩”等分已知角
《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太
阳，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规 ”，“太
第5页（共25页）阳”是被等分的360°角．
要研究等分360°角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借
助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？
办法1 ①以点O为圆心，任意长为半径
作弧，交OA于点M；
②分别以 M，N 为圆心，大于
，两弧交于点C；
③作射线OC．
射线OC即为∠AOB的平分线．
办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重
合于C，一边重合于直线CP；
②以点C为圆心，任意长为半径
作弧，交CD于点M；
③使点M在射线OA上，点N在
射线OB上，调整“矩”直至直
线CP经过点O．
射线OC即为∠AOB的平分线．
经过测量，上述两种办法得到的∠AOC与∠BOC相等，验证OC平分∠AOB成立．要想作为一般性方
法，还需要推理论证．
任务：
（1）嘉淇的“办法1”可由作法判断△OMC≌△ONC，因为全等三角形的对应角相等，所以∠MOC
＝∠NOC ；
（2）请说明嘉淇的办法2的合理性．
25．（10分）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，这是常见的研究数学问题的思路．
问题解决：
（1）填空：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1
（a﹣1）（a2+a+1）＝（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝
猜想：
（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝
总结结论：
（2）填空：当n为正整数时，（a﹣1）（an+an﹣1+an﹣2+⋯+a2+a+1）＝ ．
利用这个结论，请你解决下面的问题：
求22023+22022+22021+⋯+23+22+2+1的值．
26．（12分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M
（1）求证：MN＝AM+BN；
（2）如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M（AM＞BN），（1）中的结论
是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论
第7页（共25页）2023-2024学年河北省保定市清苑区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A C D B C A B B C
题号 12 13 14 15 16
答案 C C B C C
一、选择题（本大题共16个小题，共38分。1—6小题各3分，7—16小题各2分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3•2a2＝6a5
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即
可解答．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a；
B、（a﹣b）6＝a2﹣2ab+b3，故B不符合题意；
C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；
D、7a3•2a5＝6a5，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（3分）在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是 5×10﹣5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链
的长是（ ）
A．10﹣2cm B．10﹣1cm C．10﹣3cm D．10﹣4cm
【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同
的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：5×10﹣5×3×103＝10﹣1cm．故选B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔 B．水涨船高 C．水中捞月 D．缘木求鱼【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、是随机事件；
B、是必然事件；
C、是不可能事件；
D、是不可能事件；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必
然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确
定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】根据三角形具有稳定性，六边形转化成三角形即可得出答案．
【解答】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形．
故答案选：C．
【点评】本题主要考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能
唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
5．（3分）用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为 3cm和9cm，则第三
根木棒的长度可能是（ ）
A．5cm B．6cm C．10cm D．11cm
【分析】首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步根据奇数这一条件分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
9cm﹣3cm＜第三根木棒＜8cm+3cm，即6cm＜第三根木棒＜12cm．
又∵第三根木棒的长选取奇数，
∴第三根木棒的长度可以为8cm或9cm或11cm．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时
并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线
第9页（共25页）段能构成一个三角形．
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
【分析】在正方形中每块阴影部分都可以找到关于AC所在直线对称的图形，所以阴影部分的面积为
正方形面积的一半．
【解答】解：根据轴对称的性质，阴影部分的面积等于正方形面积的一半，
∵正方形的面积＝42＝16（cm7），
∴阴影部分的面积＝ ×16＝5（cm2）．
故选：B．
【点评】得到阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
7．（2分）计算 的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：原式＝（ ）2024×（﹣ ）2023
＝ ×（ ）2023×（﹣ ）2023
＝ ×（﹣ × ）2023
＝ ×（﹣1）2023
＝﹣ ．
故选：C．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【分析】利用垂线段最短分析．
【解答】解：已知，在△ABC中，AC＝3，
根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，AP＝4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质．
9．（2分）如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，则∠AEF的度数等于（ ）
A．26° B．52° C．54° D．77°
【分析】先根据平行线的性质，得到∠GFD的度数，再根据角平分线的定义求出∠EFD的度数，再由
平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FGB+∠GFD＝180°，
∴∠GFD＝180°﹣∠FGB＝26°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GFD＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD＝52°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同
旁内角互补．掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2分）赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，车修好后，因怕耽误
上课时间，如图所示的四个图象中（S为距离，t为时间），符合以上情况的是（ ）
第11页（共25页）A． B．
C． D．
【分析】一开始是匀速行进，随着时间的增多，行驶的距离也将由0匀速上升，停下来修车，距离不
发生变化，后来加快了车速，距离又匀速上升，由此即可求出答案．
【解答】解：由于先匀速再停止后加速行驶，故其行驶距离先匀速增加再不变后匀速增加．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况进行确定．
11．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形全等的判定定理：AAS、ASA分别进行判断即可．
【解答】解：∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
A、在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故选项A不符合题意；
B、在△ABC和△DEF中，
，∴△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF；
D、∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解
题的关键，属于中考常考题型．
12．（2分）在作业纸上，AB∥EF，点C在AB，要得知两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，无法直接
测量．两同学提供了如下间接测量方案（如表1和表2），对于方案Ⅰ、Ⅱ（ ）
方案Ⅰ 方案Ⅱ
①分别测量∠DCE和∠E； ①延长DC交EF于点M；
②计算出∠DCE﹣∠E的大小即可． ②测量∠CME的大小即可．
表1 表2
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．I不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【分析】方案I，延长BM，DM交于点M，过点C作CN∥AB，则∠AMC＝∠MCN，再由AB∥FE可
得CN∥FE，故∠E＝∠ECN，故可得出结论；
方案II，延长BM，DM交于点M，则∠AMC＝∠CME，故测量∠CME的大小即可．
【解答】解：方案I，如图1，
，
延长BM，DM交于点M，则∠AMC＝∠MCN，
第13页（共25页）∵AB∥FE，
∴CN∥FE，
∴∠E＝∠ECN，
∴∠AMC＝∠MCN＝∠DCE﹣∠E，
∴方案正确；
方案II，如图2，
延长BM，DM交于点M，
∴测量∠CME的大小即可，故此方案正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
13．（2分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋
中有红球5个，白球23个 ，则袋中黑球的个数为（ ）
A．27 B．23 C．22 D．18
【分析】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到 ＝ ，然后利用比例性质求出x即可．
【解答】解：设袋中黑球的个数为x，
根据题意得 ＝ ，解得x＝22，
经检验x＝22为原方程的解，
即袋中黑球的个数为22个．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出
现的结果数．
14．（2分）如图，在3×3的网格中，以AB为一边，使△ABP为等腰三角形的点P有（ ）个．A．2个 B．5个 C．3个 D．1个
【分析】分三种情况：当AP＝AB时；当BP＝BA时；当PA＝PB时；即可解答．
【解答】解：分三种情况：
当AP＝AB时，以点A为圆心，交网格的格点为P ；
1
当BP＝BA时，以点B为圆心，交网格的格点为P ；
2
当PA＝PB时，作AB的垂直平分线 ，P ，P ；
6 4 5
所以，使△ABP为等腰三角形的点P有8个，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
15．（2分）数学课上，同学们用△ABC纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字
说明，线段AD是△ABC中线的是（ ）
A． 沿AD折叠，点C落在BC边上的点E处
B． 沿AD折叠，点C落在AB边上的点E处
C． 沿DE折叠，使点C与点B重合
第15页（共25页）D． 沿AD折叠，点C落在三角形外的点E处
【分析】根据作图分别分析选项可得，A选项不可得AD是△ABE的中线；B选项可得ED＝CD；C选
项可得D是BC的中点；D选项可得CD＝DE，由此可判断C为正确答案．
【解答】解：A选项，沿AD折叠，则D是BE的中点，
∴AD不是△ABE的中线，故A选项不符合题意；
B选项，沿AD折叠，
∴ED＝CD，不能得到CD＝BD；
C选项，沿DE折叠使点C与点B重合，
∴BD＝CD，
∴D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，故C选项符合题意；
D选项，沿AD折叠，
∴CD＝DE，不能得到CD＝BD，
∴D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查图形折叠的性质，三角形中线的定义，牢固掌握三角形中线的定义，掌握图形折叠
的性质是解题 的关键．
16．（2分）题目：“如图，AE与BD相交于点C，且△ACB≌△ECD，点P从点A出发，沿A→B→A方
向以2cm/s的速度运动，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，P、Q两点同时停止
运动，设点P的运动时间为t（s），当线段PQ经过点C时，求t的值．”对于其答案 ，乙答：
8s，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
【分析】先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况，当0≤t≤4时，；当4＜t≤8时，
列方程，求解即可．
【解答】解：∵△ACB≌△ECD，
∴AB＝DE，∠A＝∠E，
∴AB∥DE．
当0≤t≤4时，AP＝3t ；
当4＜t≤8时，BP＝（3t﹣8）cm，
则AP＝8﹣（6t﹣8）＝（16﹣2t）cm；
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当7≤t≤4时，2t＝6﹣t，
解得：t＝ ；
当3＜t≤8时，16﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝8；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明
三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，17，19每小题3分，18小题每空2分，共10分）
17．（3分）计算 的结果是 ．
第17页（共25页）【分析】根据实数的运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝1÷9
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．
18．（4分）如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，直线AB与直线CD的位置关系为 平行 ，
得到这个结论的理由是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】由全等三角形的对应角相等判定同位角∠1＝∠2，则AB∥CD．
【解答】解：根据题意，图中的两个三角尺全等，
∴∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：平行．同位角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定熟练掌握同位角相等，两直线平行，并准确识图是解题的关键．
19．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠ABD＝∠BCE，AD＝BE，AD＝3，
则DE的长度为 6 ．
【分析】根据AAS证明△ABD≌△ECB，得出BE＝AD＝3，BD＝BC＝9，即可得出结果．
【解答】解：在△ABD与△ECB中，，
∴△ABD≌△ECB（AAS），
∴BE＝AD＝3，BD＝BC＝9，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝6，
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（20分）计算
（1）（﹣2）2﹣20240+（﹣1）﹣2；
（2）（27a3﹣15a2+6a）÷3a；
（3）1232﹣124×122；
（4）（x﹣2）（x+2）﹣（x+1）（x﹣2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答；
（3）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（4）利用平方差公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（﹣2）2﹣20244+（﹣1）﹣2
＝2﹣1+1
＝7；
（2）（27a3﹣15a2+3a）÷3a
＝27a3÷3a﹣15a2÷3a+4a÷3a
＝9a7﹣5a+2；
（3）1232﹣124×122
＝1232﹣（123+1）×（123﹣5）
＝1232﹣（1232﹣8）
＝1232﹣1232+7
＝1；
（4）（x﹣2）（x+5）﹣（x+1）（x﹣2）
＝x4﹣4﹣（x2﹣x﹣3）
＝x2﹣4﹣x3+x+2
第19页（共25页）＝x﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（8分）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家 200千米的景点旅游，出发前，当行驶150千米
时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油
【分析】（1）根据平均每千米的耗油量＝总耗油量÷行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再
根据剩余油量＝总油量﹣平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式；
（2）代入x＝280求出Q值即可；
（3）根据行驶的路程＝耗油量÷平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点的往返路
程比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（升/千米），
行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝45﹣7.1x；
（2）当x＝280时，Q＝45﹣0.3×280＝17（L）．
答：当x＝280（千米）时，剩余油量Q的值为17L．
（3）（45﹣3）÷0.7＝420（千米），
∵420＞400，
∴他们能在汽车报警前回到家．
【点评】本题考查了函数的关系式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据数量关系列出函数关系式
是解题的关键．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：
△BDE≌△CDF．
【分析】根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝
CD，于是得到结论．
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
23．（8分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值 4 2 ， 3
（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于
【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；
（2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可．
【解答】解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时；
当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件，
故答案为：4；2，2．
（2）根据题意得： ＝ ，
解得：m＝2，
所以m的值为2．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝ ．
24．（8分）下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务．
执“规”“矩”等分已知角
《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太
阳，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规 ”，“太
阳”是被等分的360°角．
要研究等分360°角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借
第21页（共25页）助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？
办法1 ①以点O为圆心，任意长为半径
作弧，交OA于点M；
②分别以 M，N 为圆心，大于
，两弧交于点C；
③作射线OC．
射线OC即为∠AOB的平分线．
办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重
合于C，一边重合于直线CP；
②以点C为圆心，任意长为半径
作弧，交CD于点M；
③使点M在射线OA上，点N在
射线OB上，调整“矩”直至直
线CP经过点O．
射线OC即为∠AOB的平分线．
经过测量，上述两种办法得到的∠AOC与∠BOC相等，验证OC平分∠AOB成立．要想作为一般性方
法，还需要推理论证．
任务：
（1）嘉淇的“办法1”可由作法判断△OMC≌△ONC，因为全等三角形的对应角相等，所以∠MOC
＝∠NOC SS S ；
（2）请说明嘉淇的办法2的合理性．
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可；
（2）根据SAS证明三角形全等即可．
【解答】解：（1）在△OMC和△ONC中，
，∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠MOC＝∠NOC，
∴射线OC平分∠AOB．
故答案为：SSS；
（2）由题意，得CM＝CN，OC＝OC，
∴△OMC≌△ONC（SAS）
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC平分∠AOB．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的应用，角平分线的性质等知识，解题的关键
是正确寻找全等三角形解决问题．
25．（10分）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，这是常见的研究数学问题的思路．
问题解决：
（1）填空：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1
（a﹣1）（a2+a+1）＝ a 3 ﹣ 1
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a 4 ﹣ 1
猜想：
（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a 10 0 ﹣ 1
总结结论：
（2）填空：当n为正整数时，（a﹣1）（an+an﹣1+an﹣2+⋯+a2+a+1）＝ a n + 1 ﹣ 1 ．
利用这个结论，请你解决下面的问题：
求22023+22022+22021+⋯+23+22+2+1的值．
【分析】（1）多项式乘以多项式的法则计算得到结果，归纳总结得到规律即可；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 得 出 一 般 性 规 律 ， 将 22023+22022+22021+⋯ +23+22+2+1 变 形 为 （ 2﹣ 1 ）
（22023+22022+22021+⋯+23+22+2+1），计算即可得解．
【解答】解：（1）（a﹣1）（a+1）＝a4﹣1，
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣3，
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣3，
猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+•••+a2++a+2）＝a100﹣1；
故答案为：a3﹣7；a4﹣1；a100﹣4；
（2）当n为正整数时，（a﹣1）（an+an﹣1+an﹣5+⋯+a2+a+1）
第23页（共25页）＝an+5﹣1，
故答案为：an+1﹣6；
22023+22022+62021+⋯+23+32+2+7＝22024﹣1
∴72023+22022+22021+⋯+73+22+2+1的值为22024﹣1．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
26．（12分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M
（1）求证：MN＝AM+BN；
（2）如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M（AM＞BN），（1）中的结论
是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论
【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠AMC＝∠CNB＝90°，则∠MAC+∠ACM＝90°，又∠ACB＝
90°，则∠ACM+∠NCB＝90°，于是根据等量代换得到∠MAC＝∠NCB，根据“AAS”可证明
△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM＝CN，CM＝BN，则MN＝MC+CN＝AM+BN；
（2）与（1）证明方法一样可得到△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM＝CN，CM＝BN，而MN＝
CN﹣CM＝AM﹣BN．
【解答】证明：（1）∵AM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中，
，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN；
（2）（1）中的结论不成立，MN与AM．理由如下：
∵AM⊥MN于M，过B作BN⊥MN于N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，
∴MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ： 判 定 三 角 形 全 等 的 方 法 有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
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