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第一章整式的乘除 综合素质评价
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．计算a3 ⋅a3结果正确的是（ ）
A．2a3 B．a6 C．2a6 D．a9
2．[2024广元]下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．a6÷a3=a2
C．(a+b) 2=a2+b2 D．(ab2 ) 2=a2b4
3．母题教材P8随堂练习T2 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为
0.000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为
（ ）
A．3.7×10−5克 B．3.7×10−6克
C．3.7×10−7克 D．3.7×10−8克
4．计算：(−2x y3 ) 2=(−2) 2 ⋅x2 (y3 ) 2=4x2y6，其中第一步运算的依据是（ ）
A．幂的乘方法则 B．乘法分配律
C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则
5．若x2−2x−m=(x+n)(x−3)，则m+n的值为（ ）
A．4 B．8 C．−4 D．6
⏟2a+2a+⋯+2a=⏟2b×2b×⋯×2b
6．[2024河北]若a，b是正整数，且满足 ，则a与
8个2a相加 8个2b相乘
b的关系正确的是（ ）
A．a+3=8b B．3a=8b C．a+3=b8 D．3a=8+b
7．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来
解释一些代数恒等式，例如图①可以用来解释(a+b) 2−(a−b) 2=4ab.那么通过
图②面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．(a−b)(a+2b)=a2+ab−2b2 B．a2−b2=(a+b)(a−b)
C．(a+b) 2=a2+2ab+b2 D．(a−b) 2=a2−2ab+b2
8．若m=275，n=345，则m,n的大小关系正确的是（ ）
1/8A．m>n B．m0且a≠1)，则m=n.设5m=3，5n=15，
5p=75.现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n；②m+n=2p−1；
③n2−mp=1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10． 如图，长为ycm，宽为xcm的大长方形被分割为7小块，除
阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其宽为5cm，下列
说法中正确的是（ ）
①小长方形的长为(y−15)cm；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为(x−y+5)cm；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x=15时，阴影A和阴影B的面积和为定值.
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
11．计算：(−x3 y) 2=____________.
7 0
12．计算:−3−2+(− ) =________
8
13．母题教材P11习题T18 “先看到闪电，后听到雷声”，那是因为在空气中光
的传播速度比声音快.科学家发现，光在空气里的传播速度约为3×108米/秒，而
声音在空气里的传播速度大约为3×102米/秒.在空气中光速约是声速的
__________倍.
14． 设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下：
a∗b=(a+b) 2−(a−b) 2，则下列结论：①a∗b=0，则a=0或b=0；②不存在实
数a，b，满足a∗b=a2+4b2；③a∗(b+c)=a∗b+a∗c；④a∗b=8，则
(10ab3 )÷(5b2 )=4.其中正确的是____.
15．若(x−3)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项，则a+b的值为__.
三、解答题（共 75 分）
16．（6分）计算：
2/85 2
（1） 99 ×(−100 )；
7 7
（2） 12342−1234×268+1342.
17．（9分）计算：
（1） 2a2 ⋅a4+(−2a2 ) 3−a8÷a2;
（2） 2x(x−3 y)+(5x y2−2x2y)÷ y；
（3） (2x−3 y−1)(2x+3 y−1).
18．（10分） 已知关于x的二次三项式A满足A−(x−1)(x+1)=(x+1) 2.
（1） 求整式A；
1
（2） 若B=3x2+4x+2，当x=− 时，求B−A的值.
2
19．（10分） 如图，某小区有一块长为(3a+b)米，宽为(a+3b)
米的长方形空地，计划在中间边长(a+b)米的正方形空白处修建一座文化亭，
b
左边空白部分是长为a米，宽为 米的长方形小路，剩余阴影部分用来绿化.
10
（1） 请用含a，b的代数式表示绿化面积（结果需化简）.
（2） 若a=3,b=2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
20．（12分）用图①中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图②所
示的正方形.
① ②
（1） 根据图②中阴影部分的面积关系，直接写出代数式(a+b) 2,a2+b2,2ab之间
的数量关系：__________________________________;
3/8（2） 根据完全平方公式的变形，解决下列问题.
① 已知m+n=5,mn=4，求m2+n2和(m−n) 2的值;
② 已知(x−98) 2+(100−x) 2=34，求(98−x)(100−x)的值.
21．（12分） 观察下列各式：
(x−1)÷(x−1)=1；
(x2−1)÷(x−1)=x+1；
(x3−1)÷(x−1)=x2+x+1；
(x4−1)÷(x−1)=x3+x2+x+1；
…
(x8−1)÷(x−1)=x7+x6+⋯+x+1.
（1） 根据上面各式的规律填空：
①
(x2026−1)÷(x−1)=____________________________________；
② (xn−1)÷(x−1)（n为正整数）=____________________________；
（2） 利用（1）中①的结论，求22025+22024+⋯+2+1的值；
（3） 若1+x+x2+⋯+x2024=0，求x2025的值.
22．（16分）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：
1
( x+4)(2x+5)(3x−6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：
2
1
x⋅2x⋅3x=3x3 ，常数项为：4×5×(−6)=−120，那么一次项是多少呢？要解
2
决这个问题，就是要确定该一次项的系数.根据尝试和总结，他发现：一次项系
1
数就是： ×5×(−6)+2×(−6)×4+3×4×5=−3，即一次项为−3x.
2
请你认真领会小东同学解决问题的思路和方法，仔细分析上面等式的结构特征.
结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题.
（1） 计算(x+2)(3x+1)(5x−3)所得多项式的一次项系数为________；
1
（2） 计算( x+6)(2x+3)(5x−4)所得多项式的二次项系数为____；
2
（3） 若计算(x2+x+1)(x2−3x+a)(2x−1)所得的多项式不含一次项，求a的值；
（4） 若(x+1) 2026=a x2026+a x2025+a x2024+⋯+a x+a ，请直接写出a 的
0 1 2 2025 2026 2025
值.
4/8【参考答案】
第一章综合素质评价
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．B
2．D
3．D
4．C
5．A
6．A
7．D
8．A
9．B
【点拨】因为5m=3，
所以5n=15=5×3=5×5m=51+m，5p=75=52×3=52×5m=52+m.
所以n=1+m，p=2+m.所以p=n+1.
①m+p=n−1+n+1=2n，故此结论正确；
②m+n=p−2+p−1=2p−3，故此结论错误；
③n2−mp=(1+m) 2−m(2+m)=1+m2+2m−2m−m2=1，故此结论正确；
故正确的是①③.故选B.
10．A
【点拨】①因为大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，所以小长方形的
长为y−3×5=(y−15)cm，说法①正确；②因为大长方形的宽为xcm，小长方
形的长为(y−15)cm，小长方形的宽为5cm，所以阴影A的较短边为
x−2×5=(x−10)cm，阴影B的较短边为x−(y−15)=(x−y+15)cm，所以阴影A
的较短边和阴影B的较短边之和为x−10+x−y+15=(2x+5−y)cm，说法②错误；
③因为阴影A的较长边为(y−15)cm，较短边为(x−10)cm，阴影B的较长边为
3×5=15(cm)，较短边为(x−y+15)cm，所以阴影A的周长为
2(y−15+x−10)=2(x+ y−25)cm，阴影B的周长为
2(15+x−y+15)=2(x−y+30)cm，所以阴影A和阴影B的周长和为
2(x+ y−25)+2(x−y+30)=2(2x+5)cm，所以若x为定值，则阴影A和阴影B的
周长和为定值，说法③正确；④因为阴影A的较长边为(y−15)cm，较短边为
(x−10)cm，阴影B的较长边为15cm，较短边为(x−y+15)cm，所以阴影A的面
5/8积为(y−15)(x−10)=(xy−15x−10 y+150)cm2，阴影B的面积为
15(x−y+15)=(15x−15 y+225)cm2，所以阴影A和阴影B的面积和为
xy−15x−10 y+150+15x−15 y+225=(xy−25 y+375)cm2，当x=15时，
xy−25 y+375=375−10 y，说法④错误.
综上所述，正确的说法有①③.故选A.
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
11．x6 y2
8
12．
9
13．106
14．①③④
【点拨】①因为a∗b=0，所以(a+b) 2−(a−b) 2=0.所以
a2+2ab+b2−(a2−2ab+b2 )=0.所以4ab=0.所以a=0或b=0.故①正确；
②因为a∗b=(a+b) 2−(a−b) 2=4ab，a∗b=a2+4b2，所以a2+4b2=4ab.所以
a2−4ab+4b2=(a−2b) 2=0，所以a=2b，所以存在实数a，b，满足
a∗b=a2+4b2.故②错误;
③因为a∗(b+c)=(a+b+c) 2−(a−b−c) 2=4ab+4ac，a∗b+a∗c=4ab+4ac,所
以a∗(b+c)=a∗b+a∗c.故③正确;
④因为a∗b=8，所以4ab=8.所以ab=2.所以(10ab3 )÷(5b2 )=2ab=4.故④正确.
15．12
【点拨】原式=x3+ax2+bx−3x2−3ax−3b=x3+(a−3)x2+(b−3a)x−3b，由积
中不含x的二次项和一次项，得到a−3=0，b−3a=0，解得a=3，b=9，则
a+b=3+9=12.
三、解答题（共 75 分）
5 2
16．（1） 【解】99 ×(−100 )
7 7
2 2
=−(100− )×(100+ )
7 7
2 2
=−[1002−(
) ]
7
4
=−(10000− )
49
45
=−9999 .
49
（2） 12342−1234×268+1342
6/8=12342−2×1234×134+1342
=(1234−134) 2
=11002
=1210000.
17．（1） 【解】2a2 ⋅a4+(−2a2 ) 3−a8÷a2
=2a6−8a6−a6
=−7a6.
（2） 2x(x−3 y)+(5x y2−2x2y)÷ y
=2x2−6xy+5xy−2x2
=−xy.
（3） (2x−3 y−1)(2x+3 y−1)
=[(2x−1)−3 y][(2x−1)+3 y]
=(2x−1) 2−(3 y) 2
=4x2−4x+1−9 y2.
18．（1） 【解】因为A−(x−1)(x+1)=(x+1) 2,所以
A=(x+1) 2+(x+1)(x−1)=x2+2x+1+x2−1=2x2+2x.
（2） 因为B=3x2+4x+2，A=2x2+2x,
所以B−A=3x2+4x+2−(2x2+2x)=3x2+4x+2−2x2−2x=x2+2x+2.
1 1 2 1 5
当x=− 时，B−A=(− ) +2×(− )+2= .
2 2 2 4
19．（1） 【解】依题意,得
b ab 79ab
(3a+b)(a+3b)−(a+b) 2−a× =3a2+9ab+ab+3b2−a2−2ab−b2− =2a2+2b2+
10 10 10
.
79ab
所以绿化面积是(2a2+2b2+
)平方米.
10
79×3×2
（2） (2×32+2×22+ )×100=7340（元）.
10
所以完成绿化共需要7 340元.
20．（1） a2+b2=(a+b) 2−2ab
（2） ① 【解】因为m+n=5,mn=4，
所以m2+n2=(m+n) 2−2mn=25−2×4=17，
所以(m−n) 2=m2+n2−2mn=17−2×4=9.
② 因为98−x−100+x=−2，
(98−x) 2+(100−x) 2=(x−98) 2+(100−x) 2=34,
7/8所以[(98−x)−(100−x)] 2=34−2(98−x)(100−x)，
即4=34−2(98−x)(100−x)，所以(98−x)(100−x)=15.
21．（1） ① x2025+x2024+⋯+x+1
② xn−1+xn−2+⋯+x+1
（2） 【解】因为(x2026−1)÷(x−1)=x2025+x2024+⋯+x+1，
所以22025+22024+⋯+2+1
=(22026−1)÷(2−1)
=22026−1.
（3） 因为(x2025−1)÷(x−1)=x2024+x2023+⋯+x+1=0，
因为x−1≠0，即x≠1.所以x2025−1=0.
所以x2025=1.
22．（1） −11
（2） 63.5
（3） 【解】由题意可得1×a×(−1)+(−3)×1×(−1)+2×1×a=a+3=0,所以
a=−3.
（4） a =2026.
2025
8/8
