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2023-2024学年陕西省榆林市定边县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是
1．（3分）榆林市矿产资源丰富．尤其是煤炭、石油、天然气、岩盐等能源矿产资源富集一地，下列有
关矿产资源的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，点P到直线公路MN共有四条路，若要从点P到公路，最快到达的路径是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
3．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，
小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到
“夏至”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（﹣2x）2＝4x2
B．2x6y3+x2y＝2x3y2
C． ﹣2＝﹣2
D．π2 （x2y+xπy2）＝2x3y+2x2y2
5．（3分π）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于点D，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
第1页（共21页）A．10 B．15 C．20 D．30
6．（3分）如图，已知直线AB∥CD，∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD＝BD，若∠DBC＝30°（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
8．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F．已知EF＝EB＝3，则
CF的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）“画一个三角形，它的任意两边之和大于第三边”是一个 事件．（选填“随机”
“必然”或“不可能”）
10．（3分）古语有云：“滴水穿石．”若水珠不断滴在一块石头上，经过450年，石头上会形成一个深为0.0000052cm的小洞 ．
11．（3分）佳佳的爸爸计划用一根长为10m的铁丝围成一个长方形，那么这个长方形的长y（m）与宽x
（m） ．
12．（3分）如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，D是BE的中点，若∠BCD＝20° ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，CE为边作正方形DEFG和正方形EPQC，若这
两个小正方形的面积和为13，则正方形ABCD的面积为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：（3x2y3）2+（2xy•3y4）．
15．（5分）已知a+b＝6，a﹣b＝1，求a2﹣b2的值．
16．（5分）某林业部门要考查一批树苗在一定条件下的移植成活率，实验结果如表：
50 100 200 300 500 800
成活棵数a 46 89 180 273 450 720
0.92 0.89
成活率
（1）将上表补充完整；（精确到0.01）
（2）根据上表估计这批树苗在该条件下的成活率大约是多少？（精确到0.1）
17．（5分）先化简，再求值：[（2x+y）2﹣4x•x+x3y÷x2]÷y，其中x＝﹣ ，y＝3．
18．（5分）如图，已知BE⊥MN，垂足为B，垂足为D，∠1＝∠2．AB与CD平行吗？为什么？
第3页（共21页）19．（5分）如图，已知∠AOB，请用尺规作图的方法在∠AOB内求作射线OC ．
20．（5分）如图，在河对岸的A处有一座亭子，小宇站在点B处（AB），于是他在点B同侧选择了一
点C，测得∠ABC＝65°，然后在D处立了一根标杆，使得∠CBD＝65°，然后用皮尺测得BD＝26m．
请你帮他求出他与亭子之间的距离（AB）．
21．（6分）如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为（3a+2b）米（2a+b）米的长方
形草坪上修建两条宽为b米的小路．
（1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）
（2）若a＝3，b＝2，求这两条小路的总面积．
22．（7分）陕西自然博物馆是国家二级博物馆，荣获全国科普教育基地等多项荣誉称号．自建馆以来，
吸引了大量市民参观．周六上午9：00，在馆内参观2h后，驾车去外婆家．在外婆家停留一段时间后
（km）与离开家的时间x（h）的关系图
（1）如图中的自变量和因变量分别是什么？
（2）点A表示的意义是什么？
（3）他们从家到陕西自然博物馆的平均速度是多少？
（4）他们几点返回到家中？23．（7分）如图，已知AB∥CD，OF是∠AOD 的平分线
（1）∠BOE的补角是 ，∠DOE的余角是 ；
（2）若∠BOE：∠AOF＝2：1，求∠D的度数．
24．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BE是AD的垂直平分线，交AD于点F．
（1）若AB＝9，△CDE的周长为11，求△ABC的周长；
（2）若∠ABC＝34°，∠C＝50°，求∠CAD的度数．
25．（8分）已知AB∥CD，点E是平面内一点．
（1）如图1，若∠D＝65°，∠B＝40°；
（2）如图2，若∠BED＝108°，求∠B+∠D的度数．
26．（10分）在△ABC中，∠ACB和∠BAC的角平分线CE，AD相交于点G．
（1）如图1，若∠B＝40°，求∠AGC的度数；
（2）如图2，H是AC边上一点，连接EH，过点N作BC的平行线NM交AB于点M，且EG＝EM，求
AE+EN的值．
第5页（共21页）2023-2024学年陕西省榆林市定边县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A B C B B
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是
1．（3分）榆林市矿产资源丰富．尤其是煤炭、石油、天然气、岩盐等能源矿产资源富集一地，下列有
关矿产资源的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
据此进行判断即可．
【解答】解：A，B，C不是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）如图，点P到直线公路MN共有四条路，若要从点P到公路，最快到达的路径是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
【分析】从点P到公路，用相同速度行走，最快到达，则需要点P到公路MN的距离最短，根据垂线
段最短得出答案．
【解答】解：∵从点P到公路，用相同速度行走，
∴需要点P到公路MN的距离最短，
∵垂线段最短，
第7页（共21页）∴PB是最快到达的路径．
故选：B．
【点评】本题考查了线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线
段．垂线段的性质：垂线段最短．
3．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，
小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到
“夏至”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据“夏至有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，可以求得从中随机抽取一张恰好抽到“夏
至”概率．
【解答】解：由题意可得，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”概率是 ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（﹣2x）2＝4x2
B．2x6y3+x2y＝2x3y2
C． ﹣2＝﹣2
D．π2 （x2y+xπy2）＝2x3y+2x2y2
【分析π】根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法、单项式乘单项式的法则、负整数指数幂
法则进行解题即可．
【解答】解：A、（﹣2x）2＝7x2，故该项正确，符合题意；
B、2x3y3与x2y不是同类项，不能进行合并，不符合题意；
C、 ﹣2＝ ，故该项不正确；
π
D、5 （x2y+xy2）＝6 x2y+2 xy7，故该项不正确，不符合题意；
故选：πA． π π
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项，单项式乘多项式、负整数指数幂，熟练掌握相
关的知识点是解题的关键．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，交BC于点D，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）A．10 B．15 C．20 D．30
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE＝DC＝3，然后利用三角形的面
积公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积＝AB•DE
＝×10×3
＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
6．（3分）如图，已知直线AB∥CD，∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠EGH＝60°，从而利用平角定义可得∠FGH＝120°，再根据
已知易得：∠F＝30°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
第9页（共21页）∴∠1＝∠EGH＝60°，
∴∠FGH＝180°﹣∠EGH＝120°，
∵∠1＝3∠F，
∴∠F＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠FGH﹣∠F＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD＝BD，若∠DBC＝30°（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ ，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝2∠A，
∴∠BDC+∠DBC+∠C＝3∠A+30°+ ＝180°，
∴∠A＝40°，
∴∠C＝ ＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用三角形内角和公式计算是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F．已知EF＝EB＝3，则
CF的长是（ ）A． B．1 C． D．2
【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAD＝∠BCE，则可根据“AAS”证明△BCE≌△FAE，则CE
＝AE＝4，然后计算CE﹣HE即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠B＝90°，∠BCE+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△BCE和△FAE中，
，
∴△BCE≌△FAE（AAS），
∴CE＝AE＝4，
∴CF＝CE﹣FE＝4﹣6＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BCE≌△FAE．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）“画一个三角形，它的任意两边之和大于第三边”是一个 必然 事件．（选填“随机”
“必然”或“不可能”）
【分析】根据三角形的三边关系可知：“画一个三角形，它的任意两边之和大于第三边”是一个必然
事件．
【解答】解：因为三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，所以“画一个三角形．
故答案是：必然．
【点评】本题考查的是随机事件，熟记随机事件的定义是解题的关键．
10．（3分）古语有云：“滴水穿石．”若水珠不断滴在一块石头上，经过450年，石头上会形成一个深
为0.0000052cm的小洞 5.2×1 0 ﹣ 6 ．
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把
第11页（共21页）原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于
10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：0.0000052＝5.8×10﹣6，
故答案为：5.4×10﹣6．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
11．（3分）佳佳的爸爸计划用一根长为10m的铁丝围成一个长方形，那么这个长方形的长y（m）与宽x
（m） y ＝﹣ x + 5 ．
【分析】运用长方形的周长公式列式并变式、整理．
【解答】解：由题意得2（x+y）＝10，
整理，得y＝﹣x+5，
故答案为：y＝﹣x+3．
【点评】此题考查了函数关系式的确定能力，关键是能准确根据题意列式、整理．
12．（3分）如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，D是BE的中点，若∠BCD＝20° 30 ° ．
【分析】先运用等腰三角形的性质和角平分线的定义求得∠B和∠ACB的度数，再运用三角形的内角
和定理进行求解．
【解答】解：∵CE＝CB，D是BE的中点，
∴CD⊥AB，∠BCE＝2∠BCD＝2×20°＝40°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝5∠BCE＝2×40°＝80°，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣80°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、角平分线和三角形内角和定理的应用能力，关键是能准确理
解并运用以上知识进行正确地求解．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，CE为边作正方形DEFG和正方形EPQC，若这
两个小正方形的面积和为13，则正方形ABCD的面积为 2 5 ．
【分析】结合正方形的性质和面积公式可得：DE2+CE2＝13，DE•CE＝6，利用完全平方公式可求正方
形ABCD的面积．
【解答】解：在正方形DEFG中，∠DEF＝90°．
在正方形PECQ中，EP＝CE．
∵两个小正方形的面积和为13，△DEP的面积为3，
∴DE2+CE2＝13， DE•CE＝5，
∴DE•CE＝6，
∴CD2＝（DE+CE）3
＝DE2+CE2+4DE•CE
＝13+2×6
＝13+12
＝25，
即正方形ABCD的面积为25．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查正方形的性质，三角形的面积以及完全平方公式，解答的关键是熟练掌握相关
知识点．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：（3x2y3）2+（2xy•3y4）．
【分析】运用积的乘方、幂的乘方和单项式乘单项式的计算法则进行求解．
【解答】解：（3x2y7）2+（2xy•2y4）
＝9x8y6+6xy2．
【点评】此题考查了积的乘方、幂的乘方和单项式乘单项式的计算能力，关键是能准确理解并运用以
上知识进行计算．
15．（5分）已知a+b＝6，a﹣b＝1，求a2﹣b2的值．
第13页（共21页）【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：∵a+b＝6，a﹣b＝1，
∴a6﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×8＝6．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
16．（5分）某林业部门要考查一批树苗在一定条件下的移植成活率，实验结果如表：
50 100 200 300 500 800
成活棵数a 46 89 180 273 450 720
0.92 0.89
成活率
（1）将上表补充完整；（精确到0.01）
（2）根据上表估计这批树苗在该条件下的成活率大约是多少？（精确到0.1）
【分析】（1）用成活棵数除以对应的移植棵数即可；
（2）用样本中得到成活率在0.9左右波动，从而可估计这批树苗在该条件下的成活率为0.9．
【解答】解：（1）0.9；4.91；0.9；
（2）根据上表估计这批树苗在该条件下的成活率大约是3.9．
【点评】本题考查了用样本估计整体：一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越
大，这时对总体的估计也就越精确；用样本估计总体是统计的基本思想．
17．（5分）先化简，再求值：[（2x+y）2﹣4x•x+x3y÷x2]÷y，其中x＝﹣ ，y＝3．
【分析】根据完全平方公式、合并同类项、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代
入计算得到答案．
【解答】解：原式＝（4x2+3xy+y2﹣4x3+xy）÷y
＝（5xy+y2）÷y
＝6x+y，
当x＝﹣ ，y＝7时 ）+4＝2．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
18．（5分）如图，已知BE⊥MN，垂足为B，垂足为D，∠1＝∠2．AB与CD平行吗？为什么？【分析】由 BE⊥MN，DF⊥MN 得到∠ABM+∠1＝90°，∠CDM+∠2＝90°，进而得到∠ABM＝
∠CDM，从而得证AB∥CD．
【解答】解：AB与CD平行，理由如下：
∵BE⊥MN，DF⊥MN（已知），
∴∠MBE＝90°，∠MDF＝90°（垂直定义）
即∠ABM+∠1＝90°，∠CDM+∠2＝90°，
又∵∠4＝∠2（已知），
∴∠ABM＝∠CDM（等角的余角相等），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查平行线的判定，垂直的定义，关键掌握等角的余角相等．
19．（5分）如图，已知∠AOB，请用尺规作图的方法在∠AOB内求作射线OC ．
【分析】根据角平分线的作图方法作∠AOB的平分线OC即可．
【解答】解：如图，作∠AOB的平分线OC，
则射线OC即为所求．
【点评】本题考查作图—基本作图，掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．
20．（5分）如图，在河对岸的A处有一座亭子，小宇站在点B处（AB），于是他在点B同侧选择了一
点C，测得∠ABC＝65°，然后在D处立了一根标杆，使得∠CBD＝65°，然后用皮尺测得BD＝26m．
请你帮他求出他与亭子之间的距离（AB）．
第15页（共21页）【分析】根据ASA证明△ABC≌△DBC即可得出结果．
【解答】解：在△ABC与△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB＝BD＝26m．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（6分）如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为（3a+2b）米（2a+b）米的长方
形草坪上修建两条宽为b米的小路．
（1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）
（2）若a＝3，b＝2，求这两条小路的总面积．
【分析】（1）根据长方形的面积和两条小路的面积＝两条小路的面积和减去边长为 b的正方形的面积，
列出算式进行计算即可；
（2）把a＝3，b＝2代入（1）中所求两条小路的总面积，进行计算即可．
【解答】解：（1）两条小路的总面积为：b（2a+b）+b（3a+4b）﹣b2
＝2ab+b7+3ab+2b4﹣b2
＝（2b3+5ab）平方米；
（2）当a＝3，b＝2时
2×25+5×3×3
＝2×4+7×3×2
＝4+30
＝38（平方米）．
【点评】本题主要考查了单项式乘多项式和合并同类项法则，解题关键是注意数形结合，理解两条小
路的总面积＝两条小路的面积和﹣边长为b的正方形的面积．
22．（7分）陕西自然博物馆是国家二级博物馆，荣获全国科普教育基地等多项荣誉称号．自建馆以来，
吸引了大量市民参观．周六上午9：00，在馆内参观2h后，驾车去外婆家．在外婆家停留一段时间后（km）与离开家的时间x（h）的关系图
（1）如图中的自变量和因变量分别是什么？
（2）点A表示的意义是什么？
（3）他们从家到陕西自然博物馆的平均速度是多少？
（4）他们几点返回到家中？
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据函数图象解答即可；
（3）根据“速度＝路程÷时间”可得答案；
（4）根据“时间＝路程÷速度”可得答案．
【解答】解：（1）自变量是离开家的时间x，因变量是离开家的距离y；
（2）点A表示的意义是出发0.5小时后到达陕西自然博物馆；
（3）他们从家到陕西自然博物馆的平均速度是20÷7.5＝40（km/h）；
（4）∵50÷50＝1（h），
∴2+7+1＝17，
答：他们17：00返回到家中．
【点评】本题考查函数的图象和常量与变量，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是
解题的关键．
23．（7分）如图，已知AB∥CD，OF是∠AOD 的平分线
（1）∠BOE的补角是 ∠ AOE ，∠DOE的余角是 ∠ DOF ；
（2）若∠BOE：∠AOF＝2：1，求∠D的度数．
【分析】（1）利用补角和余角的定义即可得出结论；
（2）根据OE⊥OF可知∠BOE+∠AOF＝90°，再由∠BOE：∠AOF＝2：1可设∠AOF＝x，则∠BOE
＝2x可得出x的值，再根据OF是∠AOD 的平分线得出∠AOD的度数，由AB∥CD即可得出∠D的度
第17页（共21页）数．
【解答】解：（1）∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴∠BOE的补角是∠AOE；
∵OE⊥OF，
∴∠DOE+∠DOF＝90°，
∴∠DOE的余角是∠DOF，
故答案为：∠AOE；∠DOF；
（2）∵OE⊥OF，
∴∠DOE+∠DOF＝90°，
∴∠BOE+∠AOF＝90°，
∵∠BOE：∠AOF＝2：1，
∴设∠AOF＝x，则∠BOE＝4x，
∴x+2x＝90°，
解得x＝30°，
∵OF是∠AOD 的平分线，
∴∠AOD＝2∠AOF＝8x＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠AOD＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，余角和补角，垂线，熟知以上知识是解题的关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BE是AD的垂直平分线，交AD于点F．
（1）若AB＝9，△CDE的周长为11，求△ABC的周长；
（2）若∠ABC＝34°，∠C＝50°，求∠CAD的度数．
【分析】（1）结合线段垂直平分线的性质及三角形周长定义求解即可；
（2）结合三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据角的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵BE是AD的垂直平分线，AB＝9，
∴AB＝DB＝9，AE＝DE，
∵△CDE的周长为11，
∴CD+DE+CE＝CD+AE+CE＝CD+AC＝11，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+DB+CD+AC＝4+9+11＝29；
（2）∵∠ABC＝34°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝96°，
∵AB＝DB，
∴∠BAD＝ ×（180°﹣∠ABC）＝ ，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝23°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25．（8分）已知AB∥CD，点E是平面内一点．
（1）如图1，若∠D＝65°，∠B＝40°；
（2）如图2，若∠BED＝108°，求∠B+∠D的度数．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得∠FEB＝∠B＝40°，然后利用平行于同一条
直线的两条直线平行可得EF∥CD，从而利用平行线的性质可得∠FED＝∠D＝65°，再利用角的和差
关系进行计算，即可解答；
（2）过点E作EF∥AB，利用铅笔模型进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，
∴∠FEB＝∠B＝40°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D＝65°，
∴∠BED＝∠FED﹣∠FEB＝25°；
第19页（共21页）（2）过点E作EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D+∠DEF＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°，
∴∠B+∠BED+∠D＝360°，
∵∠BED＝108°，
∴∠B+∠D＝252°．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（10分）在△ABC中，∠ACB和∠BAC的角平分线CE，AD相交于点G．
（1）如图1，若∠B＝40°，求∠AGC的度数；
（2）如图2，H是AC边上一点，连接EH，过点N作BC的平行线NM交AB于点M，且EG＝EM，求
AE+EN的值．
【分析】（1）根据∠B＝40°，可得∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠B＝140°，又因为∠ACB和∠BAC的角平
分线 CE、AD相交于点 G，所以∠GAC+∠ACG＝ （∠BAC+∠ACB）＝70°，故∠AGC＝180°﹣
（∠GAC+∠ACG）＝110°．
（2）根据AG垂直平分HE，所以HG＝EG，AH＝AE，证△AHG≌△AEG（SSS），得到∠CHG＝
∠NEM，证HCG≌△ENM（AAS），得到HC＝EN，可证AC＝AE+EN＝8．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，
∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠B＝140°，
∵∠ACB和∠BAC的角平分线CE、AD相交于点G，∴∠GAC＝ ∠BAC ∠ACB，
∴∠GAC+∠ACG＝ （∠BAC+∠ACB）＝70°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝110°；
（2）如图2，连接HG，
∵AG垂直平分HE，
∴HG＝EG，AH＝AE，
∵AG＝AG，
∴△AHG≌△AEG（SSS），
∴∠AHG＝∠AEG，
∴∠CHG＝∠NEM，
又∵MN∥BC，
∴∠N＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠N，
∵EM＝EG，
∴HG＝EM，
∴△HCG≌△ENM（AAS），
∴HC＝EN，
∵AC＝AH+HC，
∴AC＝AE+EN＝8．
【点评】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，
等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键．
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