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第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·山东青岛·高一期末）下列命题正确的为（ ）
A．两条直线确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点
D．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线
【答案】D
选项A：两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，两条异面直线不能确定一个平面，A错误.
选项B：当点在直线上时，则不能确定一个平面，B错误.
选项C：直线和平面的关系分为线在面内、线面平行、线面相交，当线面相交时，有一个公共点，C错误.
选项D：两条直线的关系可以分为相交、平行、异面，若两条直线没有公共点，则这两条直线是平行直线
或异面直线，D正确.
故选：D.
2．（2022·北京通州·高一期末）如图，在长方体 中，则下列结论正确的是（ ）
A．点 平面 B．直线 平面
C．直线 与直线 是相交直线 D．直线 与直线 是异面直线
【答案】D
在长方体 中，
直线 平面 ，点 ，且 不重合，即点 平面 ，A不正确；
点 平面 ，点 平面 ，即直线 平面 ，B不正确；
直线 平面 ，则 与平面 无公共点，直线 平面 ，
所以直线 与直线 没有公共点，C不正确；
直线 平面A B C D ，即直线 与平面A B C D 无公共点，直线 平面A B C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1则直线 与直线 没有公共点，又 ，直线 ，即直线 与直线 不平行，
因此直线 与直线 是异面直线，D正确.
故选：D
3．（2022·黑龙江哈尔滨·高一期末）若 ， 是空间中两条不相交的直线，则过 且平行于 的平面
（ ）
A．有且仅有一个 B．有一个或无数个 C．至多有一个 D．有无数个
【答案】B
∵ ， 是空间中两条不相交的直线，∴ ， 只可能平行或者异面．
当 ， 平行时，则过直线 且平行于直线 的平面有无数个；
当 ， 异面时，如图，
在 上取一点O，过O作 ，则 , 确定平面 ，
∴ ，此时过直线 且平行于直线 的平面有且只有一个．
故选：B．
4．（2022·北京·高一期末）如图，在正方体 中，与直线 互为异面直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
对于选项A， ，故A不正确；
对于选项B， ，故B不正确；
对于选项C，直线 与直线 相交，故C不正确；
对于选项D，因为直线 与直线 不同在任意一个平面，所以直线 与直线 是异面直线，故D
正确.
故选：D.5．（2022·广西钦州·高一期末）如图，长方体 的12条棱中与 异面的共有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【答案】C
由题意，长方体 的12条棱中与 异面的有 共6条
故选：C
6．（2022·四川宜宾·高一期末）在正方体 中，E、F分别是 、 的中点，则异面直
线AE与BF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
取 中点 ，连接 ，如图，
因为 是 中，所以 与 平行且相等，又 与 平行且相等，所以 与 平行且相等，从
而 是平行四边形， ，
所以异面直线AE与BF所成角是 或其补角，
设正方体棱长为 ，则 ， ，
中， ．
所以异面直线AE与BF所成角的余弦是 ．
故选：A．7．（2022·湖北·高一期末）如图，在三棱锥 中， 平面
为 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 平面 平面 ， 平面
所以 ， ，又 ，
所以 两两垂直，将三棱锥 置于一个长方体中，如图所示，
易知 ，所以直线 与 所成角即为 与 所成角为 （或其补角），
由题意可知， ，
在 中，由余弦定理，得，
所以直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：D.
8．（2022·四川达州·高二期末（理））正方体 的棱长为1，点P在正方体内部及表面上运
动，下列结论错误的是（ ）
A．若点P在线段 上运动，则AP与 所成角的范围为
B．若点P在矩形 内部及边界上运动，则AP与平面 所成角的取值范围是
C．若点P在 内部及边界上运动，则AP的最小值为
D．若点P满足 ，则点P轨迹的面积为
【答案】B
连接 ,则 为等边三角形，当点 与 重合时，AP与 所成角最小为 ，当点 在
的中点 时，AP与 所成角最大为 ，故A对.
连接 交 于 ,故 ,则 平面 ,故当 与 重合时，AP与平
面 所成角最大为 ，当 与 重合时,此时 长度最大，此时AP与平面 所成角最小，
最小角为 ,故 AP与平面 所成角的取值范围是 ，故B错误.
四面体 是正四面体，棱长为 ，等边 的中
线长为 ，故四面体的高为 ，当 平面 时，此时 的最小
值为 .故C对.点P满足 时，此时 在以 为球心，半径为1的球面上，又因为点P在正方体内
部及表面上运动，故点 在 的球面上运动，故面积为 ，故D对.
故选:B二、多选题
9．（2022·贵州黔东南·高一期末）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正
确的是（ ）
A．直线 与直线 共面 B．直线 与直线 异面
C．直线 与直线 共面 D．直线 与直线 异面
【答案】ACD
如图，点 与点 重合，则 与 相交，故A正确；
在正方体中， 且 ，故四边形 为平行四边形， ，
则 、 共面，故B错误；
因为 ，故 、 共面，故C正确；
由图可知， 、 不在同一个平面，且 、 既不平行也不相交，
、 为异面直线，故D正确.故选：ACD.
10．（2022·山东日照·高一期末）已知正方体 ， 为对角线 上一点（不与点 ， 重
合），过点 作垂直于直线 的平面 ，平面 与正方体表面相交形成的多边形记为 ，下列结论正确
的是（ ）
A． 只可能为三角形或六边形
B．直线 与直线BD所成的角为
C．当且仅当 为对角线 中点时， 的周长最大
D．当且仅当 为对角线 中点时， 的面积最大
【答案】ABD
∵正方体 ，体对角线 与平面 垂直，则 平面 ， 若向点 方向平移,则
为三角形， 若向点 方向平移,则 可能为六角形，A正确；
∵ 平面 ，∴直线 与直线BD的夹角为 ，B正确；
∵当 为对角线 中点时， 为正六边形PQRSTW，
而三角形 为等边三角形，根据中位线定理， ，易得两个截面周长相等，故C错误；
对于D，当 为对角线 中点时， 为正六边形PQRSTW，
设边长 ，面积为 ，当 向下移动时， 为六边形 ，
结合图形可知两邻边一条增大，一条减小，且变化量相等，
设 ， ， ，
而且所有六边形的高都相等，且等于 ，两邻边夹角都为120°，
则当 为三角形时，面积最大为 ，而 ，
∴当且仅当 为对角线 中点时， 的面积最大，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
11．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一阶段练习）已知a，b表示两条不同的直线， 表示平面，
给出下列四个命题：①若 ， ，则 ，②若 ， ，则 ，③若a和 相交， ，
则b和 相交，④若 ， ，则a不可能和b互为异面直线，命题正确的序号是______．
【答案】③④
①若 ， ，则 或 ，故错误；
②若 ， ，则 ，相交或异面，故错误；
③因为 ，假设b与 平行，则a与 平行或a在 内，与a和 相交矛盾，故b与 不平行；
若b在 内，则a与 平行或a在 内，与a和 相交矛盾，故b不在 内，所以b和 相交，故正确；
④若 ， ，由异面直线的定义知，a不可能和b互为异面直线，故正确.
故答案为：③④
12．（2022·河南·濮阳一高高一阶段练习（文））如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱
的中点，则A、B、C、D四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
图①：取GD的中点F，连结BF、EF，
∵B、F均为相应边的中点，则： ∥
又∵ ∥ ，则 ∥ 即ABFE为平行四边形
∴AB∥EF
同理: CD∥EF
则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确；图②：显然AB与CD异面，图②不正确；
图③：连结AC,BD,EF,
∵BE∥DF即BDFE为平行四边形
∴BD∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；
图④：连结AC,BD,EF,GH,
∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
同理：BD∥GH
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．
故答案为：①③④．
四、解答题
13．（2022·广东珠海·高一期末）如图，在长方体 中， ， .求(1)求直线 和直线 所成的角的大小；
(2)求直线 与平面 所成的角的大小.
【答案】(1) (2)
(1)在长方体 中， ，则 ,
因为 ∥ ，
所以 为直线 和直线 所成的角，
在 中， ，
因为 为锐角，
所以 ，
所以直线 和直线 所成的角的大小为 ，
(2)连接 ，在长方体 中， ， ，则 ，
因为 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
在 中， ，
因为 为锐角，
所以14．（2022·广东韶关·高一期末）如图，已知正方体 的棱长为2，E，F分别是AB， 的
中点．
(1)求直线 与直线 所成角的正切值；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)2(2)1
(1)解：在正方体 中，有 ，
所以 即为直线 与直线 所成角，
在 中，易知 ， ，
所以 ，
所以直线 与直线 所成角的正切值为2．
(2)解：在正方形 中，
有 ，
又 平面 ．
所以 ，
即三棱锥 的体积为1．
B 能力提升
1．（多选）（2022·天津一中高一期末）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱
称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四
面体称为“鳖膈”．如图在堑堵 中， ，且 ．下列说法不正确的是
（ ）A．四棱锥 为“阳马”、四面体 为“鳖膈”
B．若平面 与平面 的交线为 ，且 与 的中点分别为M、N，则直线CM、 、 相交于
一点
C．四棱锥 体积的最大值为
D．若F是线段 上一动点，则AF与 所成角的最大值为90°
【答案】ABD
由题意可知， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，四棱锥 是“阳马”，
又 ， 是直角三角形，显然 是直角三角形，
是直角三角形， ，
∴ 也是直角三角形，∴四面体 是“鳖膈”，A正确；
由题意可知，MN是 的中位线， ，即MN与 共面，
，连接CM和 并延长，必交于一点P，
则有 平面 ， 平面 ，平面 平面 =l，，故B正确；
设BC=m，AC=n，则有 ，
四棱锥 的体积 ，
当且仅当m=n时成立，即四棱锥 的体积的最大值为 ，故C错误；
过点A作 的垂线，得垂足H， 平面 ， 平面 ， ，
平面 ，即 ，
即当F点与H点重合时，异面直线AF与 的夹角 可以取到 ，故D正确；
故选：ABD.
2．（多选）（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数
不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱
的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为 ，则关于该半正多面
体的下列说法中正确的是（ ）
A．AB与平面BCD所成的角为 B．
C．与AB所成的角是 的棱共有16条 D．该半正多面体的外接球的表面积为
【答案】AC
补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为 ，
由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成.
则由半正多面体的表面积为 ，
得 ，解得 ，
∵ ，
因为 平面 ， 为AB与平面BCD的夹角，
因为 为直角三角形，且 ，所以
所以AB与平面BCD所成的角为 ，故A正确；∴ ，故B错误；
在与 相交的6条棱中，与AB所成的角是 的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，
故与AB所成的角是 的棱共有16条，故C正确；
由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体
对角线的中点 ，点 在平面 的投影点为 ，
则有 ， ，所以 ，
故该半正多面体的外接球的半径为 ，面积为 ，故D错误；
故选：AC.
3．（多选）（2022·吉林毓文中学高一期中）已知矩形 ， ， ，将 沿对角线
进行翻折，得到三棱锥 ，则在翻折的过程中有下列结论：（ ）
A．三棱锥 的体积最大值为
B．三棱锥 的外接球体积不变
C．异面直线 与 所成角的最大值为
D． 与平面 所成角的最大值为
【答案】AB
对于A，当平面 平面 时，点 到平面 的距离最大，此时三棱锥 的体积最大，
作 ，垂足为 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
， ，
又 ， ，
即三棱锥 的体积最大值为 ，A正确；
对于B， 和 均为以 为斜边的直角三角形，
中点到 四点的距离相等，即 中点为三棱锥 的外接球球心，
三棱锥 的外接球半径 ，
三棱锥 的外接球体积 ，为定值，B正确；
对于C，假设异面直线 与 所成角的最大值为 ，则此时 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ， 是以 为斜边的直角三角形，
，与已知矛盾， 假设错误，C错误；
对于D，设 与平面 所成角为 ，点 到平面 距离为 ，则 ，
当点 到平面 距离最大时， 与平面 所成角最大，
当平面 平面 时，点 到平面 距离最大，此时 ，
即 ， ，D错误.
故选：AB.
C 综合素养
1．（2022·安徽蚌埠·高一期末）底面是菱形的直四棱柱 中， ，且 ，
.
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)若 为线段 的中点，求三棱锥 的体积.【答案】(1) (2)
(1)因为直四棱柱 ，则 ，
所以四边形 为平行四边形，∴ ，
所以 即为异面直线 与 所成角，
因为菱形 中， ，且 ，易得 ，
又 ，易得 ，
所以
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
(2)
∵
又 平面 ， 平面
∴ 平面 ，
，
∴ .
2．（2022·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AA 与AC，AB所成的角均为 ，
1 1 1 1
∠BAC＝ ，且AB＝AC＝AA，E是BC 的中点，则直线AE与BC所成的角为________，直线AB与
1 1 1 1
AC 所成角的余弦值为________.
1【答案】 ##
如图所示，连接AB，因为AA 与AC，AB所成的角均为 ，且 ，所以AC ＝AB，又因为E是
1 1 1 1
BC 的中点，所以AE⊥BC ，又BC BC ，所以AE⊥BC，即直线AE与BC所成的角为 .
1 1 1 1 1 1
如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－ABDC ，连接BD，AD，AD，
1 1 1 1 1 1 1
由四棱柱的性质知BD AC ，则∠ABD 就是异面直线AB与AC 所成的角或补角.
1 1 1 1 1 1
设AB＝a，∵AA 与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA，
1 1
∴AB＝a，BD＝AC ＝2AA·cos 30°＝ a.
1 1 1 1
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝ a，
∴AD＝ a，
1 1∴ ，∴∠BAD＝ ，
1 1
∴在直角三角形 中，cos ∠ABD＝ .
1 1
故答案为： ；
3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，
香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2
所示.则图2中两线段 与 ，在图1的六面体中实际所成的角为________，若该六面体的正视图由一
菱形与其两条对角线组成（如图3所示），则这个菱形的面积为________.
【答案】 ## ##
根据题意，六面体为两个正四面体的叠加，
如图 与 ，是对棱，由对称性知 与 垂直，
故六面体中实际所成的角 ，
由六面体的正视图为菱形，可得正视图对应长度为：则 的正投影为 中点，
作 平面 于 ， 为 中心，
的俯视图在 点，
由棱长为 得 ，
所以 ，
所以菱形的面积为 .
故答案为： ， .
4．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知四棱锥 的底面ABCD是边长为3的正方形， 平
面ABCD， ，E为PD中点，过EB作平面 分别与线段PA、PC交于点M，N，且 ，则
________；四边形EMBN的面积为________.
【答案】
延伸平面 ，交 所在的平面 于 ，即平面 平面 ，
又 平面 平面 ，
，即 三点共线，
又 ，由线面平行的性质定理可得 ，
则 ，即 ，
点 为 的中点，又E为PD中点，
则 ，
，
，又 ，
，则 ，过 作 交 于点 ，
，
则 ，
；
连接 ，
由 同理可得 ，
，
又 平面ABCD， 平面ABCD，
，又 ，
面 ，又 面 ，
， ，
，
，
又 ，
所以四边形EMBN的面积为 .
故答案为： ； .
