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数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题
卡相应位置上）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．6
2．在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
3．2023年4月26日，第十二届江苏园艺博览会在我市隆重开幕．会场所在地园博园分为
“山海韵”“丝路情”“田园画”三大片区，共占地约2370000平方米．其中数据
“2370000”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧
所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的
是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇
形
6．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取
一点 ，则点 落在阴影部分的概率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，鸡马日
行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，
慢马每天行150里，驽马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由
题意得（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形 内接于 ，分别以 为直径向外作半圆．若
，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．20
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，
请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．计算： __________．
10．如图，数轴上的点 分别对应实数 ，则 __________0．（用“>”
“<”或“=”填空）
11．一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是__________．（只填一个即
可）
12．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
__________．
13．画一条水平数轴，以原点 为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点 按逆
时针方向依次画出与正半轴的角度分别为
30、60、90、120、
、330的射线，这样就建立
了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点 的坐标分别
学科网（北京）股份有限公司A6,60、B5,180、C4,330
表示为 ，则点 的坐标可以表示为__________．
14．以正六边形 的顶点 为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形
的顶点 落在直线 上，则正六边形 至少旋转__________ ．
15．如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 在第
一象限，对角线 轴，交 轴于点 ．若矩形 的面积是6，
，则 __________．
16．若 （ 为实数），则 的最小值为__________．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答
时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
学科网（北京）股份有限公司17．（本题满分6分）计算 ．
18．（本题满分6分）解方程组
19．（本题满分6分）解方程 ．
20．（本题满分8分）如图，菱形 的对角线 相交于点 为 的中点，
， ．求 的长及 的值．
21．（本题满分10分）为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取
了50名学生进行问卷调查．
（1）下面的抽取方法中，应该选择（ ）
A．从八年级随机抽取一个班的50名学生 B．从八年级女生中随机抽取50名学生
C．从八年级所有学生中随机抽取50名学生
（2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表：
暑期课外阅读情况统计表
阅读数量（本） 人数
0 5
1 25
2
3本及以上 5
合计 50
学科网（北京）股份有限公司统计表中的 ，补全条形统计图；
（3）若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生
__________
人数；
（4）根据上述调查情况，写一条你的看法．
22．（本题满分10分）如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、
C猪八戒、D沙悟净．
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任
意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为__________；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的
概率．
23．（本题满分10分）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．
如图2，小卓从九孔桥 处出发，沿着坡角为 的山坡向上走了 到达 处的三龙潭
瀑布，再沿坡角为 的山坡向上走了 到达 处的二龙潭瀑布．求小卓从 处的九
孔桥到 处的二龙潭瀑布上升的高度 为多少米？（结果精确到 ）
（参考数据： ）
24．（本题满分10分）如图，在 中， ，以 为直径的 交边
于点 ，连接 ，过点 作 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 作 的切线，交 于点 ；（不写作法，
保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证： ．
25．（本题满分12分）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算
周期设定了如下表的三个气量阶梯：
阶梯 年用气量 销售价格 备注
第一阶梯 （含400）的部分 2.67元
若家庭人口超过4人的，每
增加1人，第一、二阶梯年
第二阶梯
（含1200）的
3.15元 用气量的上限分别增加
部分
．
第三阶梯 以上的部分 3.63元
（1）一户家庭人口为3人，年用气量为 ，则该年此户需缴纳燃气费用为
__________元；
（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为 ，该年此户需缴纳燃气费用为
元，求 与 的函数表达式；
（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为
3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到 ）
26．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶
点为 ．直线 过点 ，且平行于 轴，与抛物线 交于 两点（
在 的右侧）．将抛物线 沿直线 翻折得到抛物线 ，抛物线 交 轴于点 ，顶
点为 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，求点 的坐标；
（2）连接 ，若 为直角三角形，求此时 所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若 的面积为 两点分别在边 上运动，且
，以 为一边作正方形 ，连接 ，写出 长度的最小值，并简要
说明理由．
27．（本题满分12分）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形 中， 是 的中点， ，垂足为 ．设
，试用含 的代数式表示 ．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中， 与 成函数关系，其图像如图2所示．若 取任意实数，此时的
函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．
【数形结合 深度探究】
（3）在“ 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值 随
的增大而增大；②函数值 的取值范围是 ；③存在一条直线与该函数
图像有四个交点；④在图像上存在四点 ，使得四边形 是平行四边形．
其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“ ”改成“ ”，此时 关于 的函数表达式是
__________；一般地，当 取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数
的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
数学试题参考答案及评分建议
一、选择题（每题3分，共24分）
1-4 DCAC 5-8 BBDD
二、填空题（每题3分，共24分）
9．5 10．< 11．如4（大于2小于8的数即可） 12． 13． 14．60
15． 16．
三、解答题（共102分）
学科网（北京）股份有限公司17．原式 ．
18．①+②得 ，解得 ．
将 代入①得 ，解得 ．
∴原方程组的解为
19．方程两边同乘以 ，得 ．解得 ．
检验：当 时， ，∴ 是原方程的解．
20．在菱形 中， ．∵ ，∴ ．
在 中，∵ 为 中点，∴ ．∵ ．∴ ．
∴ ．
∴ ．
21．（1）C；
（2）15；如图所示
（3） （人）
答：八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生约为320人．
（4）答案不唯一，只要合理即可．
22．（1） ；
（2）树状图如图所示：
由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种．
学科网（北京）股份有限公司∴ (至少一张卡片图案为“A唐僧”） ．
答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为 ．
23．过点 作 ，垂足为 ．在 中， ，
∴ ．
过点 作 ，垂足为 ．
在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
答：从 处的九孔桥到 处的二龙潭瀑布上升的高度 约为 ．
24．（1）方法不唯一，如图所示．
（2）∵ ，∴ ．又∵ ，
∴ ，∴ ．
∵点 在以 为直径的圆上，∴ ，
∴ ．
又∵ 为 的切线，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
学科网（北京）股份有限公司∵在 和 中，
∴ ．∴ ．
25．（1）534；
（2） 关于 的表达式为
（3）∵ ，∴甲户该年的用气量达到了第
三阶梯．
由（2）知，当 时， ，解得 ．
又∵ ，
且 ，
∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯．
设乙户年用气量为 ．则有 ，解得 ，
∴ ．
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．
26．（1）∵ ，∴抛物线 的顶点坐标 ．
∵ ，点 和点 关于直线 对称．∴ ．
（2）由题意得， 的顶点 与 的顶点 关于直线 对称，
∴ ，抛物线 ．
∴当 时，可得 ．
①当 时，如图1，过 作 轴，垂足为 ．
∵ ，∴ ．∵ ∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∵直线 轴，∴ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
又∵点 在 图像上，∴ ．
解得 或 ．
∵当 时，可得 ，此时 重合，舍去．当 时，符合题
意．
将 代入 ，得 ．
学科网（北京）股份有限公司②当 时，如图2，过 作 ，交 的延长线于点 ．
同理可得 ．∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
又∵点 在 图像上，
∴ ．解得 或 ．
∵ ,∴ ．此时 符合题意．
将 代入 ，得 ．
③易知，当 时，此情况不存在．
综上， 所对应的函数表达式为 或 ．
（3）如图3，由（2）知，当 时， ，此时 的面积为1，不合
题意舍去．
当 时， ，此时 的面积为3，符合题意．
由题意可求得 ．
取 的中点 ，在 中可求得 ．在 中可求得
．
易知当 三点共线时， 取最小值，最小值为 ．
27．（1）在矩形 中， ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ ．
∴ ，∴ ．
∵ ，点 是 的中点，∴ ．
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
∴ ．∴ ．
∴ 关于 的表达式为： ．
（2） 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称．
理由如下：
若 为图像上任意一点，则 ．
设 关于原点的对称点为 ，则 ．
当 时，
．
∴ 也在 的图像上．
∴当 取任意实数时， 的图像关于原点对称．
函数图像如图所示．
（3）①④
（4） 关于 的函数表达式为 ；
当 取任意实数时，有如下相关性质：
当 时，图像经过第一、三象限，函数值 随 的增大而增大， 的取值范围为
2k y 2k
；
当 时，图像经过第二、四象限，函数值 随 的增大而减小， 的取值范围为
；
函数图像经过原点；
函数图像关于原点对称；
……
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