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专题 8.3 利用传统方法求角度和距
离
题型一 求异面直线的夹角
题型二 求直线与平面的夹角
题型三 求平面与平面的夹角
题型四 已知夹角求距离
题型五 求几何体的体积
题型六 利用等体积法求点到面的距离
题型一 求异面直线的夹角
例1．（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体 中， 为底面
A
1
B
1
C
1
D
1
的中心， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是________.
例2．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥 中， ， ，且
，点E，F分别为 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为
__________， 与 所成角的余弦值为__________.
练习1．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体 中，
是 的中点，P是线段 上的动点，则直线 和 所成角的大小（ ）A．一定为 B．一定为 C．一定为 D．与P的位置有关
练习2．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥
中， 平面 ，四边形 为平行四边形， 且 为
的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
练习3．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， 是等边三
角形， ，D，E，F分别是棱 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成
角的余弦值是______.
练习4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱 中，
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
练习5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，正方体 中，E，F分别是
，DB的中点，则异面直线EF与 所成角的正切值为（ ）A． B． C． D．
题型二 求直线与平面的夹角
例3．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥
中， 平面 ， ，且 平分 ， 为 的中点，
， .
(1)证明 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正切值.
例4．（2022秋·浙江杭州·高二统考期末）如图，在三棱锥 中， 是 的中点，
平面 ， ， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）如图，已知点 是正方形 所在平面外一点， ， 分别是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 中点为 ，求证：平面 平面 .
(3)若 平面 ， ，求直线 与面 所成的角.
练习7．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代
官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正
四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球
心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
练习8．（2023·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ，
，则 与平面 所成角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．
练习9．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD-ABC D 中，
1 1 1 1
AA=2AB，E、F分别为AA、AC的中点.
1 1(1)求证：EF∥平面CDA B；
1 1
(2)求EF与平面DBB D 夹角的余弦值.
1 1
练习10．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面 平面 ，
平面 ， 是边长为2的正三角形， ， ．
(1)点 为线段 上一点，求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
题型三 求平面与平面的夹角
例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，正四棱柱 中，
，E，F分别为 ， 的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． 平面BEF
B．直线 与直线BF所成的角为
C．平面BEF与平面ABCD的夹角为
D．直线 与平面ABCD所成的角为
例6．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知四面体ABCD，
D在面ABC上的射影为 ， 为 的外心， ， .(1)证明：BC⊥AD；
(2)若E为AD中点，OD=2，求平面 与平面 夹角的余弦值．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，四边形 为正方
形， 平面 ， ，求平面 与平面 所成二面角的大小．
练习12．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱 中，
，延长 至 ，使 .
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
练习13．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，在圆柱 中， ，
为圆 上一定点， 为圆 上异于点 的一动点， ，过点 作平面 的垂线，
垂足为 点.(1)若 ，求证： .
(2)若 为等边三角形，求二面角 的余弦值.
练习14．（2023春·吉林·高三校联考期中）如图，四棱柱 的底面 是
菱形， 平面 ， ， ， ，点 为 的中点.
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
练习15．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在圆锥 中，已知 底面 ，
， 的直径 ， 是 的中点， 为 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求二面角 的余弦值.
题型四 已知夹角求距离
例7．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，已知顶点为 的圆锥其底面圆 的半径为8，点为圆锥底面半圆弧 的中点，点 为母线 的中点.
(1)若母线长为10，求圆锥的体积；
(2)若异面直线 与 所成角大小为 ，求 、 两点间的距离.
例8．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD
中， ， ，E为边AB的中点，将 沿直线DE翻折为 ，
若F为线段 的中点．在 翻折过程中，
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 ，求 与面 所成角的正弦值.
练习16．（2023·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯
形， ， ， ， ， 分别为棱 中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若平面 平面 ，直线 与平面 所成的角为 ，且 ，求二面
角 的大小．练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图，正四棱柱 中， ，点
E、F分别是棱BC和 的中点．
(1)判断直线 与 的关系，并说明理由；
(2)若直线 与底面ABCD所成角为 ，求四棱柱 的全面积．
练习18．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）如图所示，三棱台 中，
底面 ， ．
(1)证明： 是直角三角形；
(2)若 ，问 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ？
练习19．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥
的底面是正方形， 底面 ， 是 上一点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)当 的值为多少时，二面角 的大小为 .练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥 中， 底面ABCD，
， ， ，且二面角 为 ，则四棱锥
的侧面积为（ ）
A． B．10 C． D．11
题型五 求几何体的体积
例9．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，
平面 ，平面 平面 ．
(1)证明：四边形 是正方形；
(2)若 ， 为 上一点，且满足 ，求三棱锥 的体积．
例10．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长
为2的菱形， ，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分
别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求三棱锥 的体积．
练习21．（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除 中，底面 是边长
为2的正方形， .
(1)证明：平面 平面 .
(2)求四棱锥 的体积.
练习22．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）如图，在正方体
中 ， 分别是棱 的中点，设 是线段 上一动点.
(1)证明： //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
练习23．（2023·青海海东·统考模拟预测）如图，四棱锥 的底面是等腰梯形，
， ， ， 底面ABCD， 为棱 上的一点.
(1)证明： ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求 的值.
练习24．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱
中， ， ， ， ，点D为棱AB的中点，点E为棱上一点.
(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求直线 与平面 所成角的余弦值.
练习25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形 与四
边形 是全等的矩形， ，若 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)如果 ，求三棱锥 与多面体 的体积比值.
题型六 利用等体积法求点到面的距离
例11．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱
中各条棱长均为2，点 分别为棱 的中点．
(1)求异面直线 和 所成角的正切值；
(2)求点 到平面 的距离．例12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直角三角形 中，
，将 沿 折起到 的位置，使
平面 平面 ，点 满足 .
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离.
练习26．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图在多面体 中，
， 平面 ， 为等边三角形， ， ，
，点M是AC的中点.
(1)若点G是 的重心，证明：点G在平面 内；
(2)求点G到 的距离.
练习27．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在正三棱柱
中， 为 上一点， ， ， 为 上一点，三棱锥
的体积为 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
练习28．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）如图，在四棱锥
中，平面 平面 ，已知底面 为梯形， ，
， .
(1)证明： .
(2)若 平面 ， ，求点 到平面 的距离.
练习29．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面
平面 是正三角形， 是棱 上一点，且 ．
(1)求证： ；(2)若 且二面角 的余弦值为 ，求点 到侧面 的距离．
练习30．（2023·陕西西安·统考一模）在斜三棱柱 中， 是边长为2的
正三角形，侧棱 ，顶点 在平面 的射影为 边的中点 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
