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2023-2024学年九年级数学上学期期末测试卷02
测试范围：九年级上册+下册第1-2章
一、单选题
1．用配方法解方程 ，下列配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次
项系数一半的平方进行配方即可
【解析】解： ，
移项得 ，
配方得 ，即 ，
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．两条对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【分析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，根据正方形、菱形、矩形的判定定理，逐一
判断各项即可．
【解析】A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
故选：C．
3．抛掷一枚质地均匀的硬币2次“朝上的面不同”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
1【分析】画树状图，共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解析】解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，
∴P(朝上的面不同) ，
故选：C．
【点睛】本题考查树状图法或列表法求概率，准确根据题意列出相应的树状图或表格是解题关键．
4．如图是一个钢块零件，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据几何体的三视图的画法画出它的左视图即可，看不见的棱，
要用虚线，不能用实线．
【解析】解：它的左视图是
故选：C
5．将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
2【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解．
【解析】解：将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线为：
．
故选：D
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．如图，把 缩小后得到 ，则 与 的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出 ， ，根据位似图形的概念解答即可．
【解析】解：由平面直角坐标系可知： ， ，
∴ 与 的相似比为： ，
故选B．
【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形对应边的比是位似比是解题的关键．
7．已知反比例函数 ，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．图象不可能与坐标轴相交
C．y随x的增大而增大 D．图象必经过点
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特点，根据
3小于0判断出反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且图象不可
能与坐标轴相交可判断A、B、C，求出当 时， ，即可判断D．
【解析】解：∵ ，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且图象不可能与坐标轴相交，
故A、C错误，B正确，
当 时， ，
∴图象不经过点 ，故D错误；
故选B．
8．如图，在 中， ，连接CD，若 ，下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据DE BC，可得△ADE∽△ABC，相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，
即可逐一判断．
【解析】解： ∵ ，DE BC，
∴ ， ， ，
∴ ， ，A、B正确，不符合题意；
4∵ ，
∴四边形 的面积 的面积，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，选项C错误，符合题意；
∴ ，选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方，周长的比
等于相似比是解题的关键．
9．如图，在 中， ，点D、E分别在 上， 交于F，若 ，
，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过 作 ，交 的延长线于 ，证明 ，则 ，
证明 ，则 ，解得 ， ，根据 ，计算求解即
可．
【解析】解：如图，过 作 ，交 的延长线于 ，
5∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于
对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．如图，在矩形 中， ，点 从 点出发，沿折线 运动，过点 作对角线
的垂线，交折线 于 ．设点 运动的路程为 的面积为 ，则 关于 的函数图象大致为
（ ）
6A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分 、 、 三段范围，根据证明 ，分别表示出 的面
积，得到函数解析式，再判断图像即可．
【解析】解：如图，当 时，点 在 边上，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴图像是开口向上的抛物线，
7如图，当 时，点 在 边上，点 在 边上，
中 边上的高为2，
此时 的面积随 的增大而增大，且为x的一次函数，
∴ 时，图像是线段，
如图，当 时，点 在 边上，点 在 边上，
在矩形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
8∴ ，
∴
∴当 时，图象是开口向下的抛物线，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，相似三角形的判定和性质，二次函数的图像，解题的关键是根
据点P运动的情况表示出 的面积．
二、填空题
11．抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据顶点式： 的顶点坐标为 即可求出顶点坐标．
【解析】解：由顶点式可知： 的顶点坐标为： ．
故填： ．
【点睛】此题考查的是求抛物线顶点坐标，掌握顶点式： 的顶点坐标为 是解决此题
的关键．
12．若关于x的方程 有一个根为1，则a的值为 ．
【答案】1
【分析】把 代入方程得到关于a的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．
【解析】解：把 代入方程 得 ，
解得 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
9解．
13．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比是 ．
【答案】1:4
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比即可求得.
【解析】∵两相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的面积比是1：4，
故答案为：1：4.
【点睛】本题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键.
14．已知扇形的半径为 ，圆心角的度数为 ，则此扇形的弧长为 ．
【答案】
【解析】试题解析：∵扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，
∴扇形的弧长为： =4πcm.
故答案为4π．
15．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．
【答案】10．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为 ，根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率)，则第
一次降价后的价格是60( )，第二次后的价格是60( )2，据此即可列方程求解．
【解析】设平均每次降价的百分率是 ，则第二次降价后的价格为 元，
根据题意得： ，
即 ，
解得， (舍去)， ．
所以平均每次降价的百分率是0.1，即 ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．如图，一幢居民楼 临近斜坡 ，斜坡 的坡度为 ，小生在距斜坡坡脚A处测得楼顶M
的仰角为 ，当从A处沿坡面行走16米到达P处时，测得楼顶M的仰角刚好为 ，点N、A、B在同一
直线上，则该居民楼的高度为 （结果保留根号）．
10【答案】 米/ 米
【分析】过点P作 于点E， 于点F．由斜坡 的坡度为 ，可得出 ，
结合题意即可得出 米， 米．由所作辅助线结合题意可知四边形 为矩
形，得出 ， ．又易证 是等腰直角三角形，即可设 米，则
米， 米．最后在 中，根据正切的定义可列出关于m的等式，解出m
的值，即可求出 的长．
【解析】解：如图，过点P作 于点E， 于点F，
∵山坡 的坡度为 ， 米，
∴ ．
∵ ，
∴ 米， 米．
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
11∴ ．
由所作辅助线结合题意可知四边形 为矩形，
∴ ， ．
设 米，则 米， 米．
∵在 中， ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ 米．
即该居民楼的高度为 米，
故答案为： 米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．正确连接辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．平面直角坐标系 中，已知点 是函数 图象上的两点，过点 作 轴
的垂线交 的延长线于点 ．若 ，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】求出 的表达式，根据 垂直于y轴，求出点C坐标，再根据 的面积，列式求出 ，
再将点 代入 ，从而求出k值．
【解析】解：设 的表达式为 ，
12将 代入，得： ，
解得： ，
∴ 的表达式为 ，
∵过点 作 轴的垂线交 的延长线于点 ，
∴令 ，则 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 在 上，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题，一次函数，解题的关键是算出点的坐标，表示出 的面
积．
18．在正方形 中， ，E是直线 上的动点，连接 是 上一点，连接 ，使
，则 的值为 ，在E运动的过程中 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】先根据 可得出 ，进而可得出 的值，再判断出点 的运动轨迹，
可得结论．
13【解析】解：连接 ，取 的中点 ，连接 ， ．
， ，
，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
的最小值为 ．
故答案为：4， ．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解
14决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
19．（1）计算： ；
（2）解方程： ．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】（1）按照实数混合运算的法则和顺序进行计算即可；
（2）方程整理后，用因式分解法解一元二次方程即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
∴ ，
∴ ，
则 或 ，
∴ ， ．
【点睛】此题考查了实数的混合运算和一元二次方程的解法，准确计算是解题的关键．
20．关于 的一元二次方程 有两个不等的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 取最小整数时，求 的值．
【答案】(1) 且
15(2) ，
【分析】（1）由 得到关于 的不等式，解之得到 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；
（2）由（1）知 ，还原方程，利用因式分解法求解可得．
【解析】（1）解：由题意得： ，
解得： 且 ；
（2）由（1）知， 最小整数为 ，
此时方程为： ，
解得： ， ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别
式的值之间的关系．
21．如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ， ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）证明 ，进而即可得出 ；
（2）根据（1）的结论，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入数据即可求解．
【解析】（1）解：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
16∵BD平分 ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温.某校开通了两种不同类型的测温通道
共三条.分别为：红外热成像测温( 通道)和人工测温( 通道和 通道)．在三条通道中，每位同学都可随机
选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．
（1）当甲同学进校园时，从人工测温通道通过的概率是______．
（2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】解：(1)共有三个通道，分别是红外热成像测温( 通道)和人工测温( 通道和 通道)，
∴从人工测温通道通过的概率是 ；
故答案为： ；
(2)根据题意画树状图如下：
17共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的有4种情况，则甲、乙两位同学
从不同类型测温通道通过的概率是 ．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，在 中， ，O、D分别是边 、 的中点，过点C作 交 的延长
线于点E，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若四边形 的面积为12， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 证明 ，得出对应边相等 ，证出四边形 是平行四边形，
即可得出四边形 是菱形；
（2）由菱形的性质得出 ，再利用三角函数解答即可．
【解析】（1）证明：∵点O是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
18在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ 是 斜边 上的中线，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：由（1）知，四边形 是菱形，
∴ ，
在 中， ，
设 ，
则 ，
由题意可得： ，
解得： ，
∴ ，
∵O，D分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等，
熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．已知：在正方形 中，点 分别是 延长线上的点，且 ，连接
交 于点 ．
19(1)如图1，当 在一直线上时，求证：点 为 中点；
(2)如图2，当 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，根据正方形的性质得到 ，得出 ，
根据全等三角形的判定和性质即可得 ；
（2）根据正方形的性质得到 ，根据相似三角形的性质得到 ，
根据已知条件得到四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到 ，等量代换得到
，于是得到结论．
【解析】（1）证明：连接 ，∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即点 为 中点
20（2）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的
性质与判定，熟练掌握以上知识并运用是解题的关键．
25．如图，四边形 是矩形，顶点A，C分别在x轴和y轴上， ， ，反比例函数
的图象经过 的中点D，且与 交于点E.
21(1)直接写出点D的坐标；
(2)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(3)点F是 边上一点，若 ，试说明线段 与线段 的关系.
【答案】(1)
(2) ，
(3) ， ，理由见详解
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数的性质及相似
三角形的性质是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由（1）可知 ，然后可得反比例函数解析式，进而问题可求解；
（3）根据相似三角形的性质可直接进行求解．
【解析】（1）解：∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵反比例函数 的图象经过 的中点D， ，
∴ ，
22∴反比例函数解析式为 ，
∵点E在线段 上，
∴点E的纵坐标为8，
∴ ，即 ，
∴ ；
（3）解：设 相交于点H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
26． 中， ， 垂直平分 ，交线段 于点E（点E与点C不重合），点F为直线
上一点，点G为边 上一点（点G与点A不重合），且 ．
(1)如图1，当 时，求证：线段 ；
23(2)如图2，当 时，猜想线段 和 的数量关系，并说明理由；
(3)若 ， ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）如图1，连接 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据等腰直角三角形的性质
得到 ， ， ，根据全等三角形的性质即可得到结
论；
（2）连接 ，先求 ，再由线段垂直平分线的性质得 ，则 ，然后
证 ，进而得出结论；
（3）过 作 于 ，由等腰三角形的在得 ，则 ，分两种情况，①当
在 上时；②当点 在 上时；证 ，得 ，分别求解即可．
【解析】（1）（1）连接 ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
24∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
如图 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
，
在 中， ，
，
，
；
（3）过 作 于 ，
25∵ ， ，
，
，
，
①当 在 上时， 如图 ， 连接 ，
∵ 垂直平分 ，
，
，
，
，
，
， 在 的左侧，
，
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
26，
即 ，
解得: ；
②当点 在 上，如图 ，连接 ，
同①可得， ，
，
，
，
解得： ；
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定
和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，正确的作出辅助线是解题
的关键，属于中考常考题型．
27．如图1，已知抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于C，若 ．
27(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，抛物线的对称轴交x轴于Q，P为第一象限对称轴右侧抛物线上一点，连接 、 ，将线段
绕点B顺时针旋转 得到线段 ，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 交抛物
线对称轴于点M，求M点坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是x轴下方对称轴上一点，在抛物线对称轴右侧作矩形 ，使得
，连接 并延长交第三象限抛物线于H，T为 上一点，连接 ， 交 于
N，若 ， ，求点H的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
(2)设 ，过点P作 轴于点F，过点E作 轴于点H，过点D作 轴于
点G，分别证明 ， ，确定 ， ，确
定直线 得解析式，计算 时的函数值即可．
(3) 设直线 的解析式为 ，确定解析式，利用矩形的性质，三角形相似的判定性质，垂直的条件
计算即可．
28【解析】（1）∵ ，
∴点 ， ，
根据题意，得 ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ．
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，过点P作 轴于点F，过点E作 轴于点H，过点D作 轴于点
G，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
同理可证 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
29设直线 得解析式为： ，
将 ， 代入直线 的解析式得： ，
解得 ，
故直线 的解析式为 ，
当 时，
故 ．
（3）设直线 的解析式为 ，
∵ 直线过点 ，
∴ 即 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，矩形 ，
∴ ， ，
∴
解得 ，
30∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点T作 交 的延长线于点R，交x轴于点U，设 与x轴的交点为S，
则 ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
31解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理，得 ，
32解得 或 （不符合题意，舍去），
此时直线解析式为 ，
由题意，得 ，
解得 （不符合题意，舍去）
故点H的横坐标为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，全等三角形
的判定与性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
33
