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8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
思维导图
知识点总结
1.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共
直线.
(2)“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系(2)空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面 、直线与平面 三种情况.
(3)空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有 、 两种情况.
3.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 .
(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .
4.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′
所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围： .
[常用结论]
1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3；
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两
异面直线所成的角，也可能等于其补角.
典型例题分析
考向一 基本事实的应用
例1 如图所示，在正方体ABCD－A B C D 中，点E，F分别是AB，AA 的中点，连接D F，
1 1 1 1 1 1
CE.求证：
(1)E，C，D ，F四点共面；
1
(2)CE，D F，DA三线共点.
1感悟提升 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
考向二 空间两直线位置关系的判断
例2 (1)(多选)已知A，B是不在平面α内的任意两点，则( )
A.在平面α内存在直线与直线AB异面
B.在平面α内存在直线与直线AB相交
C.存在过直线AB的平面与平面α垂直
D.在平面α内存在直线与直线AB平行
(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直
线的图形的序号为________.感悟提升 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定
可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线
面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
考向三 求异面直线所成的角
例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A B C D 中，P为B D 的中点，则直线PB与AD
1 1 1 1 1 1 1
所成的角为( )
A. B.
C. D.(2)
(1)在长方体ABCD－A B C D 中，AB＝BC＝1，AA ＝，则异面直线AD 与DB 所成角
1 1 1 1 1 1 1
的余弦值为( )
A. B.
C. D.
感悟提升 综合法求异面直线所成角的步骤：
(1)作：通过作平行线得到相交直线；
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求
出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
基础题型训练一、单选题
1．已知 ， ， ，则与 两边方向相同的 等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对
2．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为
A． B． C． D．
3．异面直线 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )
A．20 B．9 C． D．
4．已知 、 是不同的直线， 、 是不同的平面，下列命题中真命题为（ ）
A．若 ∥ ，则 ∥ B．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
C．若 ∥ ， ，则 ∥ D．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
5．平面 的斜线l与平面 交于点A，且斜线l与平面 所成的角是 ，则 与平面 内所有不过点A的直
线所成的角的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正四棱锥 中，设直线 与直线 、平面 所成的角分别为 、 ，二面角
的大小为 ，则（ ）A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列命题中正确的是（ ）
A．如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行
D．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行
8．已知m，n为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 ；
B．若 ， ， ，则 ；
C．若 ， ，则 ；
D．若 ， ， ，则 ；
三、填空题
9．正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为________．
10．如图所示，正方形 的边长为 ，已知 ， 将直角 沿 边折起，折起后 点在平面 上的射影为 点，则翻折后的几何体 中 与 所成角的正切值为_____．
11．下列命题正确的有______
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线 上有无数个点不在平面α内,则 ∥α;
③若直线 与平面α相交,则 与平面α内的任意直线都是异面直线;
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
⑤若直线 与平面α平行,则 与平面α内的直线平行或异面;
⑥若平面α∥平面β,直线a α,直线b β,则直线a∥b.
12．三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°， 和 均为边长为2的正三角形，则三棱锥P
－ABC外接球的半径为______．
四、解答题
13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？
14．在四面体 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别是边 ， 上的点，且
．求证：
(1) ， ， ， 四点共面；
(2)直线 ， ， 相交于一点．
15．空间四边形 中， ，点 分别为对角线 、 的中点.（1）若直线 与 所成角为 ，求直线 与 所成角的大小；
（2）若直线 与 所成角为 ，求直线 与 所成角的大小.
16．如图，在三棱柱ABC A B C 中，BB ⊥平面ABC，∠BAC ，AC AB AA ，E是BC的中点．
1 1 1 1 1
- =90° = =
（ ）求证：AE⊥B C；
1
（1）求异面直线AE与A C所成的角的大小；
1
（2）若G为C C中点，求二面角C AG E的正切值．
1
3 - -
提升题型训练
一、单选题
1．给出下列三个命题：
①若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点；
②若直线 与平面 所成角为 ，则经过 有且只有一个平面与 垂直；
③平行于同一条直线的两个平面平行.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设m、n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
3．给出以下结论：（1）直线 ∥平面 ，直线b⊂ ，则a∥b； （2）若a⊂ ，b ，则a、b无公共点；
（3）若a ，则a∥ 或a与 相交； （4）若a∩ ＝A，则a .
正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在长方体 中， ，且 为 的中点，则直线 与 所成
角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题：
①若m α，则m与α内的任何直线平行；
②若α⊥β，b α，m β，且b⊥m，则b⊥β；
③若m α，n α，且m β，n β，则α β；
④若m α，n α，且a⊥m，a⊥n，则a⊥α；
⑤若l∩l=P，l∩l=Q，l∩l=S(P、Q、S是不同的三点)，则l，l，l 共面；
1 2 2 3 3 1 1 2 3
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD所成角为 ，点E，F分别为BC，AD的中点，则直
线AB与EF所成角为（ ）A． 或 B． C． D． 或
二、多选题
7．给出以下说法,其中正确的是
A．不共面的四点中,其中任意三点不共线
B．若点 共面,点 共面,则点 共面
C．若直线 共面,直线 共面,则直线 共面
D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
8．如图，在长方体 中， ，M，N分别为棱 的中点，则下列
说法正确的是（ ）
A．M，N，A，B四点共面 B．直线 与平面 相交
C．直线 和 所成的角为 D．平面 和平面 的夹角的正切值为2
三、填空题
9．设 与 的两边分别平行，若 ，则 ___________.
10．若向量 ， ， ，且 共面，则 ____.
11．如图，在正方体 中， ， 中点为P，则过P､A､C三点的截面面积为
___________.12．已知a、b是异面直线，M为空间一点，M∉a，M∉b．给出下列命题：①存在一个平面α，使得
b⊂α，a∥α；②存在一个平面α，使得b⊂α，a⊥α；③存在一条直线l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b；④存在一条直
线l，使得M∈l，l与a、b都相交．其中真命题的序号是_____．（请将真命题的序号全部写上）
四、解答题
13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？
14．空间四边形 中， 分别在 上，且满足 ，
．
求证： 三线共点．
15．如图，在四面体 中， ， ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小．16．已知S是矩形 所在平面外一点， ， ， 与 所成角大小为 ， 与 所
成角大小为 ， ，分别求直线 与 的距离及 与 的距离．
