文档内容
2022年陕西省中考数学试卷（副卷）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣21的绝对值为（ ）
A．21 B．﹣21 C． D．﹣
2．（3分）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（ ）
A．42° B．52° C．132° D．142°
3．（3分）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和
飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情
景．其中，数据500000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.5×106 B．50×104 C．5×104 D．5×105
4．（3分）计算：（﹣4a3b）2＝（ ）
A．8a5b3 B．16a6b2 C．﹣8a6b2 D．16a5b2
5．（3分）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶
点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（3分）若方程3x﹣12＝0的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这
个一次函数可以是（ ）
A．y＝3x﹣7 B．y＝﹣3x+12 C．y＝3x﹣12 D．y＝﹣3x+7
7．（3分）如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径．若∠CAD＝∠B，AD＝8，则AC的长为
（ ） ⊙ ⊙
A．5 B． C． D．8．（3分）若二次函数y＝x2+2 x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件
一定是（ ）
A．m＞ B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣ D． ≤m＜2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝ ．
10．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长
为 ．
11．（3分）某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该县2021年粮食总产量达
到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为 ．
12．（3分）将函数y＝﹣ x的图象沿y轴向上平移6个单位后，与反比例函数y＝ 的图象交
于点A（n，3），则k的值为 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠D＝60°．点P为边CD上一点，且不与点C，D
重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为
．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：5×（﹣2）+ × ﹣（ ）﹣1．
15．（5分）求不等式 ﹣1＜ 的正整数解．
16．（5分）解方程： ＝ +1．17．（5分）如图，已知扇形AOB．请用尺规作图，在 上求作一点P，使PA＝PB．（保留作图
痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，点E，F在△ABC的边AC上，且EF＝BC，DE∥BC，∠DFE＝∠B．求证：DE
＝AC．
19．（5分）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾
股定理．如图，在10×15的正方形网格中，将弦图ABCD放大，使点A，B，C，D的对应点分
别为A′，B′，C′，D′．
（1）A′C′与AC的比值为 ；
（2）补全弦图A′B′C′D′．
20．（5分）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面
朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
（1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，
该硬币正面朝上的频率为 ；
（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的
概率．21．（6分）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测
量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角
∠1的度数，然后来到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与
河岸垂直），并且发现∠1与∠2正好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点
在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．
22．（7分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里
的过程中，弹簧测力计的示数F拉力 （N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力 ＝G重力 ；当石块入水后，F拉力 ＝G重力 ﹣F浮力 ．）
23．（7分）某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行
统计，绘制了如下统计图．
（1）这50名学生视力的众数为 ，中位数为 ；
（2）求这50名学生中，视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比；
（3）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数．24．（8分）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接
BC，以O为圆心，OB长为半径作 O，延长BA，与 O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，
与BO的延长线交于点D． ⊙ ⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
（2）求EF的长．⊙
25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂
足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．
26．（10分）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的
最小值为 ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P是边AC
上一点，试求PB+PE的最小值；
问题解决
（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，
CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别
在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最
小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）2022年陕西省中考数学试卷（副卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣21的绝对值为（ ）
A．21 B．﹣21 C． D．﹣
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【解答】解：﹣21的绝对值为21，
故选：A．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，0的绝对值为0，负
数的绝对值等于它的相反数．
2．（3分）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（ ）
A．42° B．52° C．132° D．142°
【分析】两角相加为180°，则两角互补．
【解答】解：180°﹣48°＝132°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了补角的定义，正确把握定义是解题关键．
3．（3分）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和
飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情
景．其中，数据500000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.5×106 B．50×104 C．5×104 D．5×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）计算：（﹣4a3b）2＝（ ）
A．8a5b3 B．16a6b2 C．﹣8a6b2 D．16a5b2
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可．【解答】解：（﹣4a3b）2
＝（﹣4）2（a3）2b2
＝16a6b2；
故选：B．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的运算法
则．
5．（3分）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶
点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】把A，B展到同一个平面内，用勾股定理即可得到答案．
【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图：
∵正方体棱长为1，
∴BC＝1，AC＝2，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴需要爬行的最短路程为 ；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是把A，B展到同一个平面内，求出线段AB
的长度．
6．（3分）若方程3x﹣12＝0的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这
个一次函数可以是（ ）
A．y＝3x﹣7 B．y＝﹣3x+12 C．y＝3x﹣12 D．y＝﹣3x+7
【分析】由3x﹣12＝0得x＝4，再分别求出各选项在x＝4时的函数值，即可得到答案．
【解答】解：由3x﹣12＝0得x＝4，当x＝4时，
y＝3x﹣7＝3×4﹣7＝5，故A符合题；
y＝﹣3x+12＝﹣3×4+12＝0，故B不符合题意；
y＝3x﹣12＝3×4﹣13＝3×4﹣12＝0，故C不符合题意；
y＝﹣3x+7＝﹣3×4+7＝﹣5，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是读懂题意，分别求出各选项在x
＝4时的函数值．
7．（3分）如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径．若∠CAD＝∠B，AD＝8，则AC的长为
（ ） ⊙ ⊙
A．5 B． C． D．
【分析】连接CD，由AD是 O的直径，得∠ACD＝90°，又∠CAD＝∠B，可得∠ADC+∠B
＝90°，而∠ADC＝∠B，故⊙△ACD是等腰直角三角形，即可求出答案．
【解答】解：连接CD，如图：
∵AD是 O的直径，
∴∠ACD⊙＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠ADC+∠B＝90°，
∵ ＝ ，
∴∠ADC＝∠B，
∴∠ADC＝45°＝∠B，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝ ＝ ＝4 ，故选：B．
【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和等腰直角三角形三边
的关系．
8．（3分）若二次函数y＝x2+2 x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件
一定是（ ）
A．m＞ B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣ D． ≤m＜2
【分析】利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，与y轴的交点不在负半轴上，即
Δ＞0，且3m﹣1≥0，然后解不等式组即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2 x+3m﹣1经过第一、二、三象限，
∴Δ＝（2 ）2﹣4（3m﹣1）＞0且3m﹣1≥0，
解得 ≤m＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与
系数的关系是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝ a （ a ﹣ 2 ） 2 ．
【分析】观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方式，
利用完全平方公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣4a2+4a，
＝a（a2﹣4a+4），
＝a（a﹣2）2．
故答案为：a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分解．
10．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长
为 9 ．
【分析】由AD是△ABC的中线，得BD＝CD，又△ACD的周长为8，AC＝3，可得BD+AD
＝5，而AB＝4，即得AB+BD+AD＝9．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周长为8，
∴AC+CD+AD＝8，
∵AC＝3，
∴BD+AD＝5，
∵AB＝4，
∴AB+BD+AD＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的概念和周长的求法．
11．（3分）某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该县2021年粮食总产量达
到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为 10% ．
【分析】设该县这两年粮食总产量的年平均增长率为x，根据2021年粮食总产量＝2019年
粮食总产量×（1+x）2列方程即可解得答案．
【解答】解：设该县这两年粮食总产量的年平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝121，
解得x＝0.1＝10%或x＝﹣2.1（舍去），
答：该县这两年粮食总产量的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
12．（3分）将函数y＝﹣ x的图象沿y轴向上平移6个单位后，与反比例函数y＝ 的图象交
于点A（n，3），则k的值为 1 8 ．【分析】将函数y＝﹣ x的图象沿y轴向上平移6个单位得y＝﹣ x+6，把A（n，3）代入
得n＝6，A（6，3），把A（6，3）代入y＝ 即得答案．
【解答】解：将函数y＝﹣ x的图象沿y轴向上平移6个单位后，得到的图象函数解析式
为y＝﹣ x+6，
把A（n，3）代入y＝﹣ x+6得：3＝﹣ n+6，
解得n＝6，
∴A（6，3），
把A（6，3）代入y＝ 得：
3＝ ，
解得k＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐
标的特征．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠D＝60°．点P为边CD上一点，且不与点C，D
重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为
72 ．
【分析】连接AC，由菱形的性质得AB＝BC＝12，∠ABC＝∠D＝60°，AB∥CD，则△ABC
是等边三角形，过C作CG⊥AB于点G，过P作PH⊥AB于点H，则CG＝PH，得S△ABP ＝
S△ABC ，再由勾股定理得CG＝6 ，然后证四边形BEFP是平行四边形，S平行四边形BEFP ＝S
，即可解决问题．
菱形ABCD
【解答】解：如图，连接AC、AP，∵四边形ABCD是菱形，∠D＝60°，
∴AB＝BC＝12，∠ABC＝∠D＝60°，AB∥CD，
∴△ABC是等边三角形，
过C作CG⊥AB于点G，过P作PH⊥AB于点H，
则CG＝PH，
∵S△ABP ＝ AB•PH，S△ABC ＝ AB•CG，
∴S△ABP ＝S△ABC ，
∵CG⊥AB，
∴BG＝AG＝ AB＝6，
∴CG＝ ＝ ＝6 ，
∵EF∥BP，且EF＝BP，
∴四边形BEFP是平行四边形，
∴S平行四边形BEFP ＝2S△ABP ，
∵S菱形ABCD ＝2S△ABC ，
∴S平行四边形BEFP ＝S菱形ABCD ＝AB•CG＝12×6 ＝72 ，
故答案为：72 ．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角
形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：5×（﹣2）+ × ﹣（ ）﹣1．
【分析】先算乘法，负整数指数幂，求出算术平方根，再算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣10+ ﹣3＝﹣10+4﹣3
＝﹣9．
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．
15．（5分）求不等式 ﹣1＜ 的正整数解．
【分析】解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可．
【解答】解：两边同时乘以4得：2x﹣4＜x+1，
移项得：2x﹣x＜1+4，
合并同类项得：x＜5，
∴不等式的正整数解有：4，3，2，1．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般
步骤．
16．（5分）解方程： ＝ +1．
【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，解得整数方程并检验即可．
【解答】解：两边同时乘以x（x﹣3）得：
（x﹣3）（x+3）＝6x+x（x﹣3），
∴3x＝﹣9，
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入最简公分母得：
x（x﹣3）＝﹣3×（﹣3﹣3）＝18≠0，
∴x＝﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣3．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是能把分式方程化为整式方程，并要检验．
17．（5分）如图，已知扇形AOB．请用尺规作图，在 上求作一点P，使PA＝PB．（保留作图
痕迹，不写作法）
【分析】作∠AOB的角平分线交 于P，则 ＝ ，即知PA＝PB，P即为符合条件的点．
【解答】解：作∠AOB的角平分线交 于P，如图：则点P即为所求的点．
【点评】本题考查尺规作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作角平分线的方法．
18．（5分）如图，点E，F在△ABC的边AC上，且EF＝BC，DE∥BC，∠DFE＝∠B．求证：DE
＝AC．
【分析】由DE∥BC，得∠DEF＝∠C，即可证明△DEF≌△ACB（ASA），从而DE＝AC．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠C，
在△DEF和△ACB中，
，
∴△DEF≌△ACB（ASA），
∴DE＝AC．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
19．（5分）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾
股定理．如图，在10×15的正方形网格中，将弦图ABCD放大，使点A，B，C，D的对应点分
别为A′，B′，C′，D′．
（1）A′C′与AC的比值为 2 ；（2）补全弦图A′B′C′D′．
【分析】（1）观察正方形ABCD和正方形A'B'C'D'的关系可得答案；
（2）按要求补全图形即可．
【解答】解：（1）观察正方形ABCD和正方形A'B'C'D'可知，A'B'＝2AB，B'C'＝2BC，C'D'＝
2CD，A'D'＝2AD，
∴正方形ABCD放大为原来的2倍即得正方形A'B'C'D'，
∴A′C′与AC的比值为2；
故答案为：2；
（2）补全弦图A′B′C′D′如下：
【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是读懂题意，理解弦图证明勾股定理．
20．（5分）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面
朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
（1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，
该硬币正面朝上的频率为 0. 4 ；
（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的
概率．【分析】（1）根据频率＝频数÷数据总数列式计算即可得解；
（2）列出树状图，求出所有等可能的情况总数和所得数字之和是6的情况个数，用概率公
式计算即可得到答案．
【解答】解：（1）硬币正面朝上的频率为 ＝0.4，
故答案为：0.4；
（2）树状图如下：
一共有8种等可能的情况，其中所得数字之和是6的有2种，
∴所得数字之和是6的概率是 ＝ ．
【点评】本题考查列树状图求概率，涉及频数与频率，解题的关键是列出树状图．
21．（6分）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测
量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角
∠1的度数，然后来到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与
河岸垂直），并且发现∠1与∠2正好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点
在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．
【分析】根据∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，可得∠FAO+∠EBO＝90°，又
OF⊥OA，即得∠EBO＝∠AFO，故△EBO∽△AFO，有 ＝ ，求出OB＝20.25，从而可得河宽AB为4.25米．
【解答】解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，
∴∠FAO+∠EBO＝90°，
∵OF⊥OA，
∴∠O＝90°，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，
∴∠EBO＝∠AFO，
∵∠O＝∠O，
∴△EBO∽△AFO，
∴ ＝ ，
∵OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，
∴ ＝ ，
解得OB＝20.25，
∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），
答：河宽AB为4.25米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣俯角问题，涉及相似三角形的判定与性质，解题
的关键是读懂题意，证明△EBO∽△AFO．
22．（7分）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里
的过程中，弹簧测力计的示数F拉力 （N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力 ＝G重力 ；当石块入水后，F拉力 ＝G重力 ﹣F浮力 ．）
【分析】（1）用待定系数法可得AB所在直线的函数表达式；
（2）结合（1），求出石块下降的高度为8cm时，F拉力 的值，即可得到答案．【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为F拉力 ＝kx+b，将（6，4），（10，2.5）代入得：
，
解得 ，
∴AB所在直线的函数表达式为F拉力 ＝﹣ x+ ；
（2）在F拉力 ＝﹣ x+ 中，令x＝8得F拉力 ＝﹣ ×8+ ＝ ，
∵4﹣ ＝ （N），
∴当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为 N．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，难度适中，解题的关键是读懂题意，把实际问题转
化为数学问题．
23．（7分）某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行
统计，绘制了如下统计图．
（1）这50名学生视力的众数为 4. 9 ，中位数为 4. 8 ；
（2）求这50名学生中，视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比；
（3）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数．
【分析】（1）由统计图可知视力为4.9的有12人，人数最多，所以众数为4.9；总人数为50，
得到中位数应为第25与第26个的平均数，而第25个数和第26个数都是4.8，即可确定出
中位数为4.8；（2）用视力低于4.7的人数除以50，再化为百分数即可；
（3）用抽查中视力不低于4.8人数所占的百分比估计400人的情况即可．
【解答】解：（1）由统计图可知众数为4.9；共有50人，中位数应为第25与第26个的平均数，
而第25个数和第26个数都是4.8，
∴中位数是4.8；
故答案为：4.9，4.8；
（2）由统计图可知，50人中视力低于4.7的有8人，
∴视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比为 ×100%＝16%；
（3）由统计图可知，50人中视力不低于4.8的有34人，
∴视力不低于4.8的人数占被抽查总人数的百分比为 ×100%＝68%，
∴400名学生中，视力不低于4.8的人数为400×68%＝272（人），
答：估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为272人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24．（8分）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接
BC，以O为圆心，OB长为半径作 O，延长BA，与 O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，
与BO的延长线交于点D． ⊙ ⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
（2）求EF的长．⊙
【分析】（1）根据题意可得 ，∠OAB＝∠BAC＝90°，以此推出△OAB∽△BAC，根
据相似三角形的性质可得∠BOA＝∠ABC，以此得到∠OBA+∠ABC＝90°，即可证明BC
是 O的切线；
（2⊙）过点O作OG⊥BF于点G，根据题意可证明Rt△BOG≌Rt△BOA，以此得到BD平分
∠FBE，则BD⊥EF，DF＝DE，再根据sin∠OBA＝ ＝ ＝ ，以此即可求解．【解答】（1）证明：∵OA＝2，AB＝4，AC＝8，
∴ ，
∵∠OAB＝∠BAC＝90°，
∴△OAB∽△BAC，
∴∠BOA＝∠ABC，
∵∠OBA+∠BOA＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
即∠OBC＝90°，
∵OB为 O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解⊙：如图，过点O作OG⊥BF于点G，
∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF＝BE，
∴BG＝AB，
∵OB＝OB，
∴Rt△BOG≌Rt△BOA（HL），
∴∠FBD＝∠EBD，即BD平分∠FBE，
∵BF＝BE，即△BEF为等腰三角形，
∴BD⊥EF，DF＝DE，
∵OA＝2，AB＝4，
∴ ，
在Rt△ABO中，sin∠OBA＝ ＝ ，
在Rt△BDE中，sin∠DBE＝ ，
∴DE＝∴EF＝ ．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、
垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．
25．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂
足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝ x2﹣x﹣4；
（2）抛物线y＝ x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，C（0，﹣4），可得△BOC是等腰直角三角
形，根据△PMN和△OBC相似，可得PM＝PN，设P（m， m2﹣m﹣4），即有|m﹣1|＝| m2
﹣m﹣4|，解出m的值，再由点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，即
得P的坐标为（ +2， +1）或（ ，1﹣ ）．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为y＝ x2﹣x﹣4；
（2）如图：
∵y＝ x2﹣x﹣4＝ （x﹣1）2﹣ ，
∴抛物线y＝ x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，
在y＝ x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，
∵△PMN和△OBC相似，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，
∴∠MPN＝90°，PM＝PN，
设P（m， m2﹣m﹣4），
∴|m﹣1|＝| m2﹣m﹣4|，
∴m﹣1＝ m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣ m2+m+4，
解得m＝ +2或m＝﹣ +2或m＝ 或m＝﹣ ，
∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，
∴P的坐标为（ +2， +1）或（ ，1﹣ ）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，相似三角形等
知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
26．（10分）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的
最小值为 ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P是边AC
上一点，试求PB+PE的最小值；问题解决
（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，
CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民
游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别
在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最
小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）
【分析】（1）过B作BP⊥AC于P，由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，由面积
法可得BP＝ ＝ ＝ ；
（2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，由E，E'关于直线AC
对称，可知PB+PE＝PB+PE'，而B，P，E'共线，故此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，
根据∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点，可得CE＝CE'＝1，∠BCE'＝90°，再用勾
股定理可得答案；
（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，
连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，由C，N关于AB
对称，C，M关于AD对称，CE＝NE，CF＝MF，又N，E，F，M共线，知此时CE+EF+CF最
小，根据∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，可得∠ADC＝60°，∠MCD＝∠CMD＝
30°，即得DH＝ CD＝500米，CH＝MH＝ DH＝500 米，CM＝1000 米，由
∠ADC＝60°，∠A＝60°，知△ADG是等边三角形，从而CG＝DG﹣CD＝1000米，同理可
得CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，即得BG＝ CG＝500米，BC＝BN＝
BG＝500 米，故CN＝1000 米＝CM，知∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE＝ ＝ ＝500米，在Rt△MHF中，FH＝ ＝ ＝500米，即得DF＝
FH+DH＝1000米．
【解答】解：（1）过B作BP⊥AC于P，如图：
由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝5，
∵2S△ABC ＝AB•BC＝AC•BP，
∴BP＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ；
（2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，如图：
∵E，E'关于直线AC对称，
∴PE＝PE'，
∴PB+PE＝PB+PE'，
∵B，P，E'共线，
∴此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠ACB＝45°，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝1，
∵E，E'关于直线AC对称，
∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1，
∴∠BCE'＝90°，
在Rt△BCE'中，
BE'＝ ＝ ＝ ，
∴PB+PE的最小值为 ；
（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，如图：
∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，
∴CE＝NE，CF＝MF，
∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF，
∵N，E，F，M共线，
∴此时CE+EF+CF最小，
∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，
∴∠ADC＝60°，
∵C，M关于AD对称，
∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，CD＝MD＝1000米，
∴∠MCD＝∠CMD＝30°，
∴DH＝ CD＝500米，CH＝MH＝ DH＝500 米，
∴CM＝1000 米，
∵∠ADC＝60°，∠A＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴DG＝AD＝2000米，
∴CG＝DG﹣CD＝1000米，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCG＝30°，
∵C，N关于AB对称，∠ABC＝90°，
∴C，B，N共线，CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，
∴BG＝ CG＝500米，BC＝BN＝ BG＝500 米，
∴CN＝1000 米＝CM，
∴∠CNM＝∠CMN，
∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°，
∴∠NCM＝120°，
∴∠CNM＝∠CMN＝30°，
在Rt△BNE中，BE＝ ＝ ＝500（米），
在Rt△MHF中，
FH＝ ＝ ＝500（米），
∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米），
答：BE的长为500米，DF的长为1000米．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及等腰直角三角形，含30°角的直角三角形三边的关系，
解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题．
