文档内容
第 03 讲 空间直线、平面的平行 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线与平面平行的判定与性质
角度1：直线与平面平行的判定
角度2：直线与平面平行的性质
题型二：平面与平面平行的判定与性质
角度1：平面与平面平行的判定
角度2：平面与平面平行的性质
题型三：平行关系的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义
直线 与平面 没有公共点，则称直线 与平面 平行.
2、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
3、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述： ， ，
知识点二：平面与平面平行
1、平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
2、平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
//
a ⊂ β,b ⊂ β ¿ }a ∩ b = P ¿ } ¿¿⇒ α β ¿
符号表述：
3、平面与平面平行的性质定理
3.1性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号语言
3.2性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面
符号语言：第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）若平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，则 ．( )
（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．( )
【答案】 × √
（1）l与m 可以平行或异面，故错误；
（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等，故正确.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知长方体 ，平面 平面 ，平面 平面
，则 与 的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【答案】A
平面 平面 ，平面 平面 ，由面面平行的性质定理可得 与 平行，
故选A
3．（2022·全国·高一课时练习）在正方体 中，下列四对截面彼此平行的一对是
( )
A．平面 与平面 B．平面 与平面
C．平面 与平面 D．平面 与平面
【答案】A
由正方体可得 ， ， ， ，由面面平行的判定定理可知平
面 与平面 平行，故选A.
4．（2022·全国·高一课时练习）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个
平面的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交 C．平行或相交 D．以上判断都不对
【答案】C
一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，若两条直线相交则两个平面平行，若两条直
线平行这两个平面可能相交，故选：C
5．（2022·全国·高一课时练习）直线 平面 ， 内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平
行的直线( )A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
【答案】C
由直线 平面 ， 内有n条直线交于一点，故过该点的直线与 的只有一条
故选：C
6．（2022·全国·高二课时练习）若平面 平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是____________．
【答案】平行
， ， 与 没有公共点， 与 的位置关系是平行.
故答案为：平行
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与平面平行的判定与性质
角度1：直线与平面平行的判定
典型例题
例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，三棱柱 的侧棱与底面垂直， ，
， ， ，点 是 的中点
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与直线 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)设 与 的交点为 ，连接 ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，∴
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .(2)由（1）可得直线 与直线 所成角为 ，又在直三棱柱 中，因为 ，
， ，则 ，所以 ，故 ， ，
，故 ，即直线 与直线 所成角的余弦值为
例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））已知直三棱柱 中， 为正方形， ， 分
别为 ， 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 是边长为2正三角形，求四面体 的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)连接 ， ，则 交 于点P，
因为 分别为 ， 的中点，
所以在 中, ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .(2)连接 ， ,
，
所以四面体的体积为 .
题型归类练
1．（2022·四川成都·高一期末（理））在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面
PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且 ， ．
(1)求证： 平面PCD；
【答案】(1)证明见解析
证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ．在 中，点 ， 分别为 ， 的中点，
∴ 且 ．
在矩形 中，点 为 的中点，
∴ 且 ，∴ 且 ．
∴.四边形 是平行四边形，
∴ ．
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
2．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图，正三棱柱 的所有棱长均为2， 为线段 的
中点， 为正方形 对角线的交点．
(1)求证： 面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)见解析(2)
(1) 为正方形 对角线的交点，即 为 的中点， 为线段 的中点，在 中 为中位线，
可得 ， 面 ， 面 ，
由线面平行的判定定理可得 面 ；(2) 为等边三角形，且边长为2，可得 ,
因为棱柱为正棱柱，则 面 ，
3．（2022·河北石家庄·高一期末）如图，在直三棱柱 中， ， ．
， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)证明：设 与 的交点为 ，连接 ，
∵四边形 为正方形，∴ 是 的中点，
又 是 的中点，
∴ ．
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
(2)解：∵ ，
∴ 为 与 所成的角（或其补角）．
在 中， ，
∴ ．
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
4．（2022·四川南充·高二期末（文））如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ， ，
分别为 ， 的中点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)证明：取 中点 ，连接 、 ，四棱锥 中，底面 是正方形，
， 分别是棱 ， 的中点．
，
又 为 中点，
四边形 为平行四边形
平面 ， 平面 ，
平面 ．
(2)解：如图，取PA中点M，AD中点N，连接MF，FN
∵F，M为PD，PA中点
∴
∵矩形 ，∴ ，
又 平面 ，∴ ，
平面
平面 ，即 平面
∵F，N为PD，AD中点平面
故三棱锥 的体积为 .
角度2：直线与平面平行的性质
典型例题
例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD为长方形， 平面
， ， ，点 、 分别为 、 的中点．设平面 平面 ．
(1)证明： 平面PBE；
(2)证明： ；
(3)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
(1)取PB中点 ，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点
所以 ， ，因为四边形ABCD为长方形，所以 ，且 ，所以 ，
，所以四边形DEGF为平行四边形，所以
因为 平面PBE， 平面PBE， 平面PBE(2)由（1）知 平面PBE，又 平面PDC，平面 平面
所以
(3)因为 平面ABCD，所以PD为三棱锥 的高，
所以 ．
例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））如图，三棱锥 中， ， ， 两两垂
直， ， ， 分别是 ， 的中点， 的面积为 ，四棱锥 的体积为 .
（1）若平面 平面 ，求证： ；
（2）求三棱锥 的表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
（1）证明： ， 分别是 ， 的中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
又平面 平面 ， 平面 ， .
（2）解： ， ， 两两垂直， ， ， 平面 ，
平面 ，即 是四棱锥 的高.
， ， ， .
， 分别是 ， 的中点， ，
，即 .
， ， .
的面积为 .
三棱锥 的表面积 .
题型归类练
1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）如图所示，在四棱锥 中，底面是直角梯形， ，
， 和 相交于点 ，面 面 ， ， ， ．(1)在线段 上确定一点 ，使得 面 ，求此时 的值；
【答案】(1)点 为 的三等分点且 ，此时 (2)
(1)点 为 的三等分点且 ，此时
证明：连接 ，在直角梯形 中 ， ，
∴ ，又 ∴
∴
又 面 ， 面 ∴ 面
2．（2022·安徽池州·高一期末）在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 平面 ，
，设平面 与平面 的公共直线为l.
(1)写出图中与l平行的直线，并证明；【答案】(1)图中与l平行的直线为 和 ，证明见解析(2)证明见解析
(1)图中与l平行的直线为 和 ，
因为底面 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为平面 与平面 的交线l， 平面 ，
所以 ，即 ，进一步由平行线的传递性得， ；
3．（2022·全国·高三专题练习）刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著
《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，
上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.
刍甍字面意思为茅草屋顶 ”现有一个刍甍如图所示，四边形 为长方形， 平面 ，
和 是全等的等边三角形.求证： ∥ ；
【答案】证明见解析
五面体 中，因为 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 .
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图1，在矩形 中，点E在边 上， ，将
沿 进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面 平面 ，如图2．
(1)若点F在棱 上，且 平面 ，求 ；
【答案】(1)如图，在 上取点 ，使得 ，连接 ， ，
则 ．
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ．
又因为 ，所以 ．
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形， ， 为
等边三角形，G是线段SB上的一点，且 平面 .求证：G为SB的中点
【答案】证明见解析
如图，连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ ，
而 为 的中点，
∴ 为 的中点.
题型二：平面与平面平行的判定与性质
角度1：平面与平面平行的判定
典型例题
例题1．（2022·北京延庆·高一期末）如图，已知正方体 的棱长为 分别是 的
中点.(1)求证：平面 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3) .
(1)由正方体的性质可得 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
同理可得 平面 ，又 ，
∴平面 平面 ；
(2)由题可知 ，又 ，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
(3)由题可知三棱锥 的体积为
.
例题2．（2022·山东山东·高一期中）如图，在长方体 中， ， ，点 ，
分别为边 ， 的中点.(1)求三棱锥 的体积；
(2)证明：平面 平面BDE.
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)显然三棱锥 与三棱锥 的体积相等，即 ，
∵长方体 ，
∴三棱锥 的高为 ，且三棱锥 的底面面积即 的面积为 ，
△
∴ 三棱锥 的体积 .
(2)∵长方体 ，
∴ ， ，
∵点 ， 分别为边 ， 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，如图，连接 交 于点 ，连接 ，
∴点 为 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ，
∴平面 平面 .
例题3．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图①，在棱长为 的正方体 木块中，
是 的中点.
(1)求四棱锥 的体积；
(2)要经过点 将该木块锯开，使截面平行于平面 ，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作
图，并写出画法，不必说明理由）.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
(1)在正方体 中，连接 ，如图，
且 ，则四边形 为平行四边形，有 ，三棱锥 的体积 ，
所以四棱锥 的体积 .
(2)取棱 的中点 ，连接 、 、 ，则 就是所求作的线，如图：
在正方体 中，连 ，因 是 的中点， 为 的中点，则 ，且
，
于是得四边形 是平行四边形，有 ，而 平面 ， 平面 ，
因此 平面 ，又 ， ，即四边形 为平行四边形，
则 ，又 平面 ， 平面 ，于是有 平面 ，
而 ， 平面 ，从而得平面 平面 ，
所以 就是所求作的线.
题型归类练
1．（2022·甘肃武威·高一期末）如图，在三棱柱 中， ， 分别为线段 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ．
(2)在线段 上是否存在一点 ，使平面 平面 请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析
(1)证明：因为 ， 分别为线段 的中点所以 A.因为 ，所以 B.又因为
平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
(2)取 的中点 ，连接 ， 因为 为 的中点所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得， 平面 ，又因为 ， ， 平面 ，所以平面 平面
故在线段 上存在一点 ，使平面 平面 ．
2．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱 中，四边形ABCD是正方形，E，F，
G分别是棱 ， ， 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心， ，求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：连接EG， .
因为E，G分别是棱 ， 的中点，所以 ， .
因为 ， ，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，则 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为E，F分别是棱 ， 的中点，所以 .
因为 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ， 平面 ，且 ，所以平面 平面 .
(2)连接AC，BD，记 ，连接 ，则 平面ABCD.
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，
则四棱柱 的体积 .
故三棱锥 的体积 ，
即三棱锥 的体积为 .
3．（2022·湖南衡阳·高一期末）如图：正方体ABCD－ABC D 棱长为2，E，F分别为DD ，BB 的中点.
1 1 1 1 1 1
(1)求证：CF//平面AEC ；
1 1
(2)过点D做正方体截面使其与平面AEC 平行，请给以证明并求出该截面的面积.
1 1
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析，
(1)取 中点M，连接
由 ，可得四边形 为平行四边形，则
由 ，可得四边形 为平行四边形，则
则 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ；(2)取AA，CC 中点G，H，连接DG，CB ，BH，HD，
1 1 1 1
因为四边形ADHF为平行四边形，所以AF//DH
因为四边形AFBG为平行四边形，所以GB//AF，所以GB //DH
1 1 1
所以GDHB 即为过点D长方体截面，
1
∵DG//AE， 平面AEC， 平面AEC，∴DG//平面AEC
1 1 1 1
∵DH// C E， 平面AEC， 平面AEC，∴DH//平面AEC
1 1 1 1
又∵ ，∴平面DHB G//平面AEC.
1 1
角度2：平面与平面平行的性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱 中，
（1）若 分别是 的中点，求证：平面 平面 .
（2）若点 分别是 上的点，且平面 平面 ，试求 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1.
（1）∵ 分别是 的中点，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ ， 平面 ，
∴平面 平面 ；
（2）连接 交 于O，连接 ，
由平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 平面 ，
∴ ，
则 ，
又由题设 ，∴ ，即 .
例题2．（2022·辽宁锦州·高一期末）如图，已知四棱锥 中，平面 平面 ，底面
为矩形，且 ， ， ， 为棱 的中点，点 在棱 上，且 ．(1)证明： ；
(2)在棱 上是否存在一点F使 平面 ？若存在，请指出点 的位置并证明；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，F为线段PB上靠近点B的三等分点；证明见解析
(1)连接OE，OC，OP，
四棱锥 中， ，O为AB的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面PAB
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
在矩形 中， ， ， ， ， ，
因为 ， ，
所以 ，所以
又 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以
(2)存在，F为线段PB上靠近点B的三等分点．
取BC的三等分点M（靠近点C），连接AM，
易知 ， ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
取BM中点N，连接ON，所以 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面
因为N为BM中点，所以N为BC的三等分点（靠近点B），
连接OF，NF，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
题型归类练
1．（2022·江苏·高一课时练习）在三棱柱 中，点 、 分别是 、 上的点，且平面
平面 ，试求 的值.
【答案】
【详解】
解：连接 交 于点 ，连接 ，如下图所示：
由棱柱的性质可知，四边形 为平行四边形，所以， 为 的中点，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
，则 为 的中点，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以， ，
又因为 ，所以，四边形 为平行四边形，
所以， ，因此， .
2．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，
BF//CE，BF⊥BC，BF＜CE，BF=2，AB=1，AD= ．(1)求证：BC⊥AF；
(2)求证：AF//平面DCE；
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(1)四边形ABCD为矩形，即AB⊥BC，又BF⊥BC， 平面ABF， ，
则有BC⊥平面ABF，而 平面ABF，
所以BC⊥AF.
(2)因 ， 平面CDE， 平面CDE，则 平面CDE，
矩形ABCD中， ， 平面CDE， 平面CDE，则 平面CDE，
又 平面ABF， ，于是得平面 平面CDE，而 平面ABF，
所以 平面DCE.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ， ， ．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) (2)存在；
(1)取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
∵ ，∴ ．
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ,
∴ 平面 ，即 是四棱锥 的高．
∵ ， ，∴ ，∴ ， ．
在四边形 中， ， ， ， ，
梯形ABCD的高为 ，
故 ，
∴四棱锥 的体积 ．
(2)在线段 上存在点 ， ,使得 平面 ，
理由如下：
过点 作 交 于点 ，则 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，则 ．
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
又∵ ， ， 平面 ，∴平面 平面 ．
∵ 平面 ，∴ 平面 ．
所以在 上存在点 ，使得 平面 ，且 ．4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）如图所示正四棱锥 ，
，P为侧棱 上的点．且 ，求：
(1)正四棱锥 的表面积；
(2)侧棱 上是否存在一点E，使得 平面 ．若存在，求 的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1) ；
(2)在侧棱 上存在一点 ，使 平面 ，满足 ．
(1) 正四棱锥 中， ， ，
侧面的高 ，
正四棱锥 的表面积 ．
(2)
在侧棱 上存在一点 ，使 平面 ，满足 ．
理由如下：
取 中点为 ，因为 ，则 ，
过 作 的平行线交 于 ，连接 ， ．
在 中，有 ，平面 ， 平面 ， 平面 ，
由于 ， ．
又由于 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 平面 ，得 平面 ，
题型三：平行关系的综合应用
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中， 、 、 为所在棱的中点，则能得出平面
平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
对于A选项，若平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
由图可知 与平面 相交，故平面 与平面 不平行，A不满足条件；
对于B选项，如下图所示，连接 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，在正方体 中， 且 ，
故四边形 为平行四边形，所以， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可证 平面 ， ，因此，平面 平面 ，B满足条件；
对于C选项，如下图所示：
在正方体 中，若平面 平面 ，且平面 平面 ，
则平面 平面 ，但这与平面 与平面 相交矛盾，
因此，平面 与平面 不平行，C不满足条件；
对于D选项，在正方体 中，连接 、 、 ，如下图所示：
因为 且 ，则四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
同理可证 平面 ， ，所以，平面 平面 ，
若平面 平面 ，则平面 平面 ，
这与平面 与平面 相交矛盾，故平面 与平面 不平行，D不满足条件.
故选：B.
例题2．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）在棱长为4的正方体 中，点 分别是
棱 的中点， 是侧面四边形 内（不含边界）一点，若 平面 ，则线段 长度的
最小值是___________.【答案】
如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，并连接 ，
由于点 分别是棱 的中点，
所以 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
与 ， 平行且相等，则 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ，即 点轨迹是线段 ，
正方形棱长为4，则 ， ，
所以 的最小值即为 底边 上高等于 ．
故答案为： ．
例题3．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）正方体 的棱长为1，点 ， 分别
是棱 ， 的中点，动点P在正方形 （包括边界）内运动，且 平面AMN，则 的长度范
围为___．【答案】
连接 ，分别取 的中点 ，连接 ， ，则 ∥ ，
因为 ∥ ，
所以 ∥ ，
因为点M，N分别是棱BC， 的中点，
所以 ∥ ， ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ， ∥平面 ，
因为 ，
所以平面 ∥平面 ，
因为 ∥ ，
所以平面 平面 ，
因为动点P在正方形 （包括边界）内运动，且 平面AMN，
所以点 轨迹为 ，
所以 的最大值为 ，最小值为点 到 的距离为 ，
所以 的长度范围为 ，
故答案为：题型归类练
1．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知正方体 的棱长为 分别是棱 ､ 的
中点，点 为底面四边形 内（包括边界）的一动点，若直线 与平面 无公共点，则点 的轨
迹长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
取 的中点 ，连接 ，如图所示：
分别是棱 ､ 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ，所以平面 平面 .
因为点 为底面四边形 内（包括边界）的一动点，直线 与平面 无公共点，
所以 的轨迹为线段 ，则 .
故选：B
2．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二期末）在棱长为2的正方体ABCD-ABC D 中，N为BC的中点．
1 1 1 1
当点M在平面DCC D 内运动时，有MN//平面ABD则线段MN的最小值为（ ）
1 1 1A．1 B． C． D．
【答案】B
在正方体中 分别是 的中点，
由正方体性质易知： ，而 ， ，则 ，
由 面 ， 面 ，则 面 ，同理有 面 ，
由 ， 面 ，故面 面 ，
所以面 中的直线平行于面 ，
由 面 ，则 在直线 上运动，要使 最小，只需 ，
延长 、 交于 ，故只需求出△ 底边 上的高即可，
由已知可得： ，则△ 为边长为 的等边三角形，
所以底边 上的高为 ，即 最小值为 .
故选：B
3．（2022·湖南·株洲二中高一期末）在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ，
的中点，动点 在正方形 包括边界 内运动 若 ∥平面 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解：取 的中点 ， 的中点 ，连结 ， ， ，取 中点 ，连结 ，
点 ， 分别是棱长为 的正方体 中棱 ， 的中点，
， ， ， ，
平面 平面 ，
动点 在正方形 包括边界 内运动，且 面 ，
点 的轨迹是线段 ， ， ， ，
当 与 重合时， 的长度取最小值，为 ，
当 与 或 重合时， 的长度取最大值，为 ．
故选：C．
4．（2022·北京通州·高一期末）如图，在正方体 中，E为 的中点，F为正方体棱的中
点，则满足条件直线 平面 的点F的个数是___________.
【答案】
分别取 的中点 ，连接 ，
，
在正方体 中， ， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，同理 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
平面 内的任意一条直线都与平面 平行，
则满足条件直线 平面 的点 可以是 的任何一个，
点F的个数是 个.
故答案为： .
5．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，E
为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，若PC//平面BEF，则λ的值为_________.
【答案】3
设AC交BE于G点，连接FG,如图：由于E为AD的中点，故 ,
因为底面ABCD是平行四边形，故 ,则 ,
故 ，所以 ，
又因为PC//平面BEF， 平面PAC，平面PAC 平面BEF=FG,
故 ,所以 ,即有 ，
故答案为：3
6．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））在正三棱柱 中， ， ， 分别为 ，
， 的中点， ， 为 的中点，则下列说法正确的是______．
① ， 为异面直线；② 平面 ；③若 ，则 ；④若 ，则直线
与平面 所成的角为45°．
【答案】②③
对于①：如图，连接EF，由题意得 ，所以A，B，E，F四点共面，所以AF，BE不是异面直线，
①错误；对于②：取DA的中点N，连接FN，MN，得 ， ，所以 ， ，则四边
形EFNM是平行四边形，所以 ，因为 面AFD，所以 面ADF，②正确；
对于③：取AB的中点Q，连接CQ，FQ，由 平行且相等知：四边形EFQB为平行四边形，则有
，又 ，即 ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ，解得 ，③正确；
对于④：由 ， ，可知 BCE为正三角形， ，连接 ，
易知 平面 ，故 即直线△ 与平面 所成的角，
， ，所以④错误.
故答案为：②③第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知长方体 中， ， ， ， 分别
为棱 和 的中点， 为长方体表面上任意一点．若 平面 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
如图所示，取 ， 分别为棱 和 的中点，连接 ,
由题意易知 ，
所以 ；
又易知 ，
故可以证明平面 平面 ；
又 平面 ，由面面平行的性质可知 平面 ，
所以由题意可知 在等腰梯形 四条边上运动，
过点 作 ，交 于点 ，
由题意可知 ,
所以 ,
所以 ，
又 ，
所以故当 与 点重合时， 的值为最大值，此时 ；
故选：C
2．（2022·全国·高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
3．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所
示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所
在的平面都与平面 垂直．(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
(1)如图所示： ，
分别取 的中点 ，连接 ，因为 为全等的正三角形，所以 ，
，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面
，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形
为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．(2)如图所示： ，
分别取 中点 ，由（1）知， 且 ，同理有， ，
， ，由平面知识可知， ， ，
，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积
的 倍．
因为 ， ，点 到平面 的距离即为点 到直线 的
距离 ， ，所以该几何体的体积
．
4．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形 中， ， ， 于E，将
沿 翻折到 ，使 ，如图2．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)在线段 上是否存在一点F，使 ∥平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) (2)存在， .
(1)解：由题可知在菱形 中， ， ， ，
故 ，
所以在四棱锥 中， ，又 ，所以 平面 ，且 ，
连接 ，因为 则 ,
所以 .
故棱锥 的体积为 .
(2)解：设线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，连接 ，
因为点 为 的中点，点 为 的中点，
所以 ，
又由（1）得， ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ,
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，此时点 为 的中点，
故 .
