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专题 21.13 一元二次方程（全章常考核心知识点分类专题）（培优
练）
考点目录：
【考点1】一元二次方程的定义；
【考点2】一元二次方程的解；
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
【考点6】配方法的应用；
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
一、选择题
【考点1】一元二次方程的定义；
1．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程 的常数项是6，则一次项是（ ）
A． B． C．x D．1
【考点2】一元二次方程的解；
3．已知a是方程 的根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．24．关于x的两个一元二次方程 和 ，其中a，b，c是常数，且 ，如果
是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是方程 的根的是（ ）
A． B． 或2023 C． D． 或
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
5．如图，数轴上点 表示方程 的两个根 ，它们在数轴上的对应点的位置可
以是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知关于 的方程 通过配方可变形为 ，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
7．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程 的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．1 B．11和13 C．11或8 D．13
8．已知 是方程 和方程 的一个实数根，则方程 一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
9．若非负整数 使得关于 的一元二次方程 有实数根，且实数 满足分式方程
，则所有满足条件的 的值的和为（ ）
A． B． C． D．
10．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B．C． D．
【考点6】配方法的应用；
11．已知 与 互为倒数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在直角坐标系中，点 和点 在 轴上，点 在 轴负半轴上， ，
当线段 最长时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
13．若关于x的方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
14．如果关于x的方程 有正数解，且关于x的一元二次方程 有两个实数
根，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
15．已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知a，b是方程 的两个根，则 的值是（ ）
A．14 B． C． D．10【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
17．设 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则m
的值为（ ）
A．1 B． C．3或 D．1或
18．定义 为方程 的特征数．若特征数为 的方程的两实数根的
平方和为12，则k的值为（ ）
A． 或4 B．4 C． D． 或1
【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；
19．如图，四边形 是边长为5的菱形，对角线 ， 的长度分别是一元二次方程
的两实数根， 是 边上的高，则 值为（ ）
A． B． C． D．
20．已知关于x的一元二次方程 ．若方程的两个根 是矩形 相邻的两条边长，
且矩形 对角线长为 ，则m的值为（ ）
A． B．5 C． 或5 D．9或
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
21．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是
知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是
一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
22．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如
果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2
件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）A．45 B．50 C．55 D．60
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
23．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，若点 在直线 上，且 为等腰三角形，
则满足条件的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
24．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北
与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为
3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多
远（ ）
A． 步 B． 步 C． 步 D． 步
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
25．函数 的图象如图所示，则关于 的一元二次方程下 的根的情况是（ ）
A．无实根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法
确定
26．如图1，矩形 中，点E为 的中点，点P沿 从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为
x， ，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则 的长是（ ）
A． B．5 C．6 D．二、填空题
【考点1】一元二次方程的定义；
27．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是 ．
28．方程 化成一般形式为 ，它的二次项系数是 ．
【考点2】一元二次方程的解；
29．已知a是关于x的一元二次方程 的一个根，则 的值等于 ．
30．已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值为 ．
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
31．方程 的根是
32．将一元二次方程 配方后得到 ，则 ．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
33．若点 为线段 上一点，且 ，则 的长为 ．
34．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值是 ．
【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
35．关于x的分式方程 的解是 ．
36．方程 的根为 ．
【考点6】配方法的应用；
37．若 ，则M的最小值为 ．
38．已知 ，则点 关于 轴的对称点坐标是 ．
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
39．当 时，关于 的方程 根的情况是 ．
40．已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示．（1）关于 的不等式组 的解集为 ；
（2）关于 的一元二次方程 的根的情况是 ．（填“有两个不
相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”）
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
41．设 ， 是一元二次方程 的两个根，则 .
42．若a，b是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
43．关于 的一元二次方程 的两实数根分别为 ， ，且 ，则 的值为 ．
44．已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 、 ，且
，则m的值为 ．
【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；
45．平行四边形 的两边 ， 的长是关于x的方程 的两个实数根，当四边形
是菱形，这时菱形的边长为 ．
46．已知矩形 的周长为 ，面积为 ，且 和 的长恰好是方程 的两根，则
．
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
47．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放
的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次
的月平均增长率为 ，则可列方程为 ．
48．为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销
售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设
降价后的销售单价为x元，则可列方程为 ．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
49．如图， 是一面足够长的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地 ，中
间用栅栏隔成同样的三块，若要围成的矩形 面积为60平方米，设垂直于墙的边长为x米，则可列
方程为 ．
50．望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师
的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，
按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的
速度之比为 ．
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
51．函数 的部分图象如图所示，当 时，x的取值范围是 ．
52．对于函数 ，我们定义 （m、n为常数）．
例如 ，则 ．
已知： ．若方程 有两个相等实数根，则m的值为 ．参考答案：
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出 ，求出即可，能熟记一
元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
2．A
【分析】根据一元二次方程定义可得 ， ，可得 的值，再代入原方程，由此即可得结果．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的常数项是6，
∴ ， ，
解得： ，
把 代入原方程可得 ，
∴一次项是 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二
次方程的一般形式是 ，其中， 是二次项， 是一次项， 是常数项．
3．B
【分析】
由a是方程 的根，可得 ，再根据分式的混合运算法则化简 ，
然后将 整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程 的根，
∴ ，即，
，
，
，
．
故选B．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、一元二次方程的解等知识点，理解方程的解的定义是解答本题
的关键．
4．D
【分析】根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解： ， ， ，
，
， ，
， ，
是方程 的一个根，
是方程 的一个根，
，
，是方程 的一个根，
当 时方程 ，
即 是方程 的一个根，
故选：D．
【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题
属于中等题型．
5．D
【分析】本题考查解一元二次方程，用数轴表示实数，先求出方程的两个根，再根据根的符号，进行判断
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴它们在数轴上的对应点的位置可以是D；
故选D．
6．A
【分析】将一元二次方程 进行配方的步骤为第一步∶ ，第二步：，第三步： ， 第四步： ；据此进行运算后
判断，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
解得： ，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的配方，掌握配方的步骤是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的
三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可．
【详解】解方程 得 或 ，
当 时， ，不能构成三角形；
当 时，这个三角形的周长是 ，
故选D．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解
一元二次方程是解题的关键．
由题意知， ， ，则 ，即 ，可求 ，则，即 ，公式法解方程，然后作答即可．
【详解】解：由题意知， ， ，
∴ ，即 ，
解得， ，即 ，
∴ ，即 ，
解得， ， ，
∴方程 一定有实数根 ，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了分式方程的解法，根据一元二次方程根的情况求出字母的取值范围等知识．先解分式
方程求出 ，即可得到关于 的一元二次方程为 ，根据方程有实数根求出 ，
根据 为非负整数且 ，得到 ，问题得解．
【详解】解：解分式方程 ，得 ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ，
∴关于 的一元二次方程为 ，
∵关于 的一元二次方程为 有实数根，
∴ ，
解得 ，
∵ 为非负整数且 ，
∴ ，
∴所有满足条件的 的值的和为 ．
故选：A
10．D
【分析】本题考查解分式方程和无理方程，分别解分式方程和无理方程逐一进行判断即可．【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 无解；不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 无解；不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 是原方程的增根，舍掉，
∴原方程无解；不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故方程 有实数根，符合题意；
故选D．11．D
【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得 ，进而得到 ，
把 代入 ，配方可得 ，再根据非负数的即可求出 的最小值，
由倒数的定义得到 是解题的关键．
【详解】解：∵ 与 互为倒数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选： ．
12．D
【分析】根据A、B点的坐标，表示出 的长，再根据配方法确定出 的最小值；然后再根据三角形的
面积可得 的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答．
【详解】解：∵点 和点 ，
∴ ，
∴ 的最小值为1，此时 最长，
∴ ，
解得 ．
又∵点M在x轴负半轴，∴点M的坐标为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出 最小时， 最长．
13．A
【分析】本题考查一元二次方程的解的情况，分为 时，是一元一次方程有解， 时，方程
为一元二次方程，要求 ，根据两种情况解题即可．
【详解】解：当 时，即 ，这时方程为 ，解得 ；
当 时，方程为一元二次方程，则 ，
解得 且 ，
综上所述，m的取值范围是 ，
故选A．
14．D
【分析】本题考查的是分式方程的解及解法，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，建立方程或不
等式解题是关键，根据根的判别式可得 ．且 ，再根据分式方程的正数解可得 ，且 ，
再进一步可得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ．且 ．
解得 ．且 ．
解关于x的方程 ，
去分母，得 ，
解得 ．
∵关于x的方程 有正数解，
∴ 且 ．
解得 ，且 ，∴a的取值范围为 ．且 ． ，
∴符合条件的整数a的值是 ， ，
即符合条件的所有整数a的和为 ．
故选D
15．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将 变形为 据此可
知 ， 为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到 ， ，整理得
， ，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键．
【详解】解： ，易得 ，方程两侧同除 得：
，
又∵ ，且 ，
∴ ， 为方程 的两个实数根，
∴ ， ，整理得 ， ，
∴ ，
故选： ．
16．A
【分析】本题主要考查根与系数的关系和方程的解的定义，解题的关键是掌握 ， 是方程
的两根时， ， ．根据方程的解的概念和韦达定理得出 ，
，将 先后两次代入 变形得出原式 ，再将 代入计算可得．
【详解】解： ， 是方程 的两个根，
，即 ， ，
则原式，
故选：A
17．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的
关键是掌握一元二次方程 根与系数关系： ．
先根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，再得出
，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
，
解得： 或 ，
当 时，原方程为 ， ，
则原方程有实数根，符合题意；
当 时，原方程为 ， ，
则原方程无实数根，不符合题意；
综上： ．
故选：A．
18．C【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的方程，对于一元二次方程
，若 ， 是该方程的两个实数根，则 ， ．根据方程的两实数根
的平方和为12，得 ， ， ，然后根据 列方程求解
△
即可．
【详解】解：根据题意可知，该方程为 ，
方程的两实数根的平方和为12，
，
，
设两实数根为 ， ，则 ， ，
，
整理得： ，
解得： ， ，
，
，
故选：C
19．B
【分析】根据菱形的性质可得 ， ， ，用勾股定理解 可得
，根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，进而根据
求出m，最后利用菱形面积公式 ，即可求解．
【详解】解： 四边形 是边长为5的菱形，
， ， ，
， ， ，．
对角线 ， 的长度分别是一元二次方程 的两实数根，
， ，
， ，
即 ， ，
，
解得 （舍去）或 ，
，
，
，
．
故选B．
【点拨】本题考查菱形的性质，菱形的面积，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理等，解题的关键是
得出关于m的方程．
20．B
【分析】利用根与系数的关系可用m表示出 和 ，再利用矩形的性质可得到
，可得到关于m的方程，则可求得m的值，再根据实际情况选取符合实际的值．
【详解】解：由题意可知 、 为方程 有两个实数根，
， ，
，
四边形 为矩形，则有 ，
，
整理可得 ，即 ，
解得 或 ，方程 有两个实数根，
当 ， ， ， 、 为正数，符合题意；
当 ， ， 、 不全为正数，不符合题意；
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用矩形的性质得到关于m的方程是解题的关键．
21．C
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为 ，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为 ，
则 ，
解得： ．
故选：C．
22．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价
每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得： ， ，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴ ，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
23．B
【分析】本题主要考查一次函数图像上的点的特征、等腰三角形的定义、解一元二次方程等知识，解题的
关键是学会用分类讨论的思想思考问题．设 ，分 、 、 三种情况，构建方程即可解决问题．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，如下图，
①当时 时，点 在线段 的垂直平分线上，
此时 ；
②当时 时，可有 ，
整理可得 ，
∵ ，
∴该方程无解，即 不符合题意；
③当 时，可有 ，
整理可得 ，
解得 或 ，
∴ 或 ．
综上所述，满足条件的点有3个，
故选：B．
24．C
【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经 秒二人
在 处相遇，可得： ， ， ，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出
甲走的步数．【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走： ，
甲共行走： ，
，
，
又 ，
，
，
解得： （舍去）或 ，
，
，
即甲走了 步，
故选：C．
25．C
【分析】先利用一次函数的性质得 ， ，再计算判别式的值得到 ，于是可判断 ，
然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：根据图象可得 ， ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
也考查了一次函数图象．
26．C
【分析】先利用图2得出当 点位于 点时和当 点位于 点时的情况，得到 和 之间的关系以及
，再利用勾股定理求解即可得到 的值，最后利用中点定义得到 的值．
【详解】解：由图 可知，当 点位于 点时， ，即 ，
如图1所示，连接 ，
∵ ，
∴ 的最大值为 的长，
由图2可知y的最大值为5，
∴ 点位于 点时， ，即 ，则 ，
∵在矩形 中， ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
，即 ，
，
，
点 为 的中点，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理、解一元二次方程、中点的定义和矩形的性质等内容，
解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了
数形结合的思想方法．
27． 且【分析】依据一元二次方程的定义即形如求 解即可．
【详解】解： 关于 的方程 是一元二次方程，
且 ，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点拨】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
28．
【分析】将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为 是常数且 的形式即可．要
注意， 是一次项系数， 是二次项系数．
【详解】解： 可化为：
，
移项合并同类项得：
．
二次项系数是 ．
故答案为： ， ．
【点拨】在一般形式中 叫二次项， 叫一次项， 是常数项．其中 ， ， 分别叫二次项系数，一次
项系数，常数项．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
29．
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数
的值得到 ，进而得到 ，再把所求式子转化为 ，据
此整体代入求解即可．
【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，∴
，
故答案为： ．
30．
【分析】本题考查了整式的整体代入法，将代数式化简整理成已知的整式的形式是解答本题的关键．根据
一元二次方程的解的定义得到 ， ，将代数式化简整理成含有 ， 的式子，最后
整体代入得到答案．
【详解】解： 、 是方程 的两根，
， ，
， ，
代数式
故答案为
31．
【分析】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．移项，系数化成1，再
两次开方即可．
【详解】解： ，
，，
开方得： ，或 （舍去），
开方得： ，
故答案为： ．
32．
【分析】此题考查的是解一元二次方程 配方法，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．先展开，再得
出关于 ， 的方程组，解出 ， 的值，从而可得答案．
【详解】解：由 展开得
一元二次方程 ，
解得
．
33．
【分析】设 ，可得 ，代入 即可求解．
【详解】解：设 ，
∵点 为线段 上一点， ，
则 ，
代入 得： ，解得： （负值舍去），
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查线段的和、差、倍、分，灵活运用线段的和、差、倍、分来转化线段之间的数量关系是
解题的关键．
34．3
【分析】本题考查了同类二次根式及一元二次方程，掌握同类二次根式的含义是关键．两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相等，由此可得关于a的方程，解方程即可．
【详解】解： 最简二次根式 与 是同类二次根式，
，
解得：
当 时， ，
当 时， 不符合题意舍去，
故答案为：3
35．
【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．需注意的是，
分式方程的解一定要进行检验．方程两边同乘以 化成整式方程，再利用因式分解法解一元二
次方程可得 的值，然后进行检验即可得．
【详解】解： ，
方程两边同乘以 ，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
因式分解，得 ，
解得 或 ，
经检验， 不是原分式方程的解， 是原分式方程的解，
故答案为： ．
36．4
【分析】本题考查了无理方程的求解和二次根式的性质，首先根据二次根式的基本性质得出x的取值范围，
将无理方程两边平方取消二次根号，整理得一元二次方程，解一元二次方程，将解代回x的取值范围验算
即可得出答案．
【详解】解：由二次根式性质得： 且 ，
∴ ．将 两边平方得： ，
整理得： ，
分解因式： ，
得： ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：4．
37．2
【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进
行因式分解是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
当 时，原式取最小值2，
故答案为：2．
38．
【分析】本题考查的是配方法的应用，关于 轴、 轴对称的点的坐标，利用配方法把原式化为平方和的
形式，根据偶次方的非负性分别求出 、 根据关于 轴对称的点的坐标特征解答，掌握完全平方公式，
偶次方的非负性是解题的关键．
【详解】解：
∴ ，
∴ ，
则 ， ，解得： ， ，
则点 关于 轴的对称点坐标是 ，
故答案为： ．
39．有两个不相等的实数根
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数 的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
根的判别式 ，当方程有两个不相等的实数根时， ；当方程有两个相
等的实数根时， ；当方程没有实数根时， ．
【详解】解：关于 的方程 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴关于 的方程 有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
40． 有两个不相等的实数根
【分析】（1）根据数轴得到 ，结合大大取大确定解集即可．
（2）根据数轴得到 ，计算根的判别式即可．
【详解】（1）根据数轴得到 ，
∴关于 的不等式组 的解集为 ，
故答案为： ．
（2）根据数轴得到 ，
∵ 的判别式为 ，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点拨】本题考查了数轴比较大小，确定不等式组的解集，计算根的判别式，熟练掌握判别式的计算是解
题的关键．
41．【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由 ， 是一元二次方程 的两个根，得出
， ，再把 变形为 ，即可求出答案．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
42．
【分析】本题考查方程的解的意义，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的解的定义可得 ，
根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，代入化简即可解答．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
，即 ，
∴ ．
故答案为：
43．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程和根的判别式，利用根与系数的关系
求出 ， ，根据 则有 ，最后求解验证即可，解题的关键是熟记：
一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
【详解】解：∵ ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
，，
∴ ，解得 或 ，
当 时， ，方程无实数根，舍去，
∴
故答案为： ．
44．
【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．由一元二次方程根与系数的关系可知
， ，再整体代入 中，求出m的值，代入原方程，判断是否
有两个实数根即可．
【详解】解： 、 是 的两个实数根，
， ，
，
，
，
，
， ，
当 时，原方程为 ， ，
不合题意，应舍去；
当 时，原方程为 ， ，
符合题意；
即m的值为 ．
故答案为： ．
45． /
【分析】
本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到 ，则根据根的判别式的意义得到△ ，根据根与系数
的关系得到 ，然后解方程得到 的值，从而得到 的长．
【详解】
解： 四边形 是菱形，
，
， 的长是关于 的方程 的两个实数根，
△ ， ，
解得 ，
，
即菱形的边长为 ．
故答案为： ．
46．
【分析】根据根与系数的关系可得 ， ，由此解答即可．
【详解】解： 和 的长恰好是方程 的两根，
， ，
矩形 的周长为 ，面积为 ，
， ，
， ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，已知
一元二次方程 、 、 为常数， 的两根为 ， ，则 ， ．
47．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系，列出方程是解题的关键．本题难度适中，
属于中档题．先分别表示出第二个月和第三个月的进书院人次，再根据第一个月的进书院人次加第二和第三个月的进书
院人次等于2850，列方程即可．
【详解】解：设进书院人次的月平均增长率为 ，则第二个月进书院人次为 ，三个月的进书院人
次为 ，由题意得：
．
故答案为： ．
48．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据总利润 单个利润 销售个数，根据题意找出销售一
个电子产品的盈利和销售电子产品的个数，即可解题．
【详解】解：由题可知，销售一个电子产品的盈利为： 元，
该电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个，
销售电子产品的个数为： 个，
根据题意可列出方程： ，
故答案为： ．
49．
【分析】本题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找准等量关系，列
出一元二次方程．
设垂直于墙的边长 为x米，则 米，由矩形的面积公式列出一元二次方程即可．
【详解】解：设垂直于墙的边长 为x米，则 米，
由题意得： ，
故答案为： ．
50．
【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为 ，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为 ，望望的速度为 ，圆形跑道的周长为 ，
根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决
问题．
【详解】解：设王老师的速度为 ，望望的速度为 ，圆形跑道的周长为 ，则
，
整理得 ，
解得 （舍去）或 ．
则王老师的速度与望望的速度之比为 ，
故答案为：
51． 或
【分析】令 求出函数与 轴的交点坐标，结合图象， 轴下方的图象对应的 的范围即为所求．
【详解】解：令 得： ，
，
，
或 或 ，
解得： ， ， ，
函数图像与 轴的交点坐标为： ， ， ，
结合图象，当 时， 的取值范围是： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了函数的图象，考查数形结合思想，令 求出函数与 轴的交点坐标是解题的关键．
52． /【详解】解：由所给定义知， ,
若
=0,
解得m= .
故答案为：
【点拨】一元二次方程的根的判别式是 ,△=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项
系数、一次项系数和常数项.△>0说明方程有两个不同实数解，△=0说明方程有两个相等实数解，△<0说
明方程无实数解.实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是
具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.
