文档内容
21.2.3 解一元二次方程（因式分解法） 导学案
学习目标
1.利用因式分解法解一元二次方程；
2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法；
3.通过学生讨论解一元二次方程的方法， 理解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较
为简单，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。让学生再次体会“降次”的思想，从而培养
学生主动探究的精神与积极参与的意识。
重点难点突破
★知识点1： 使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程
的方法叫做因式分解法。
★知识点2： 通过因式分解法解一元二次方程的步骤：
1.移项：使一元二次方程等式右边为0；
2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式；
3.赋值：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解。
【归纳】左分解，右化零，两因式，各求解。
★知识点3：
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。
核心知识
1. 使一元二次方程转化为___________________________的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
2. 通过因式分解法解一元二次方程的步骤：
1）移项：使一元二次方程等式右边为___________；
2）分解：把左边运用因式分解法化为 _ ________________________ _的形式；
3）赋值：令每个因式等于0，得到 _ _________________________ _；
4）求解： _ _____________________ _，最后得到方程的解。
【归纳】左分解，右化零，两因式，各求解。
3.
解一元二次方程的基本思路是：_________________________________，即降次。
思维导图
复习巩固
【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法？【提问】多项式因式分解的方法有哪些？
【问题】
1.如果a×b=0，则a=_____或b=_______.
2.如果两个因式的________，那么这两个因式中_____________；反之，如果两个因式中_________为0，
那么它们的_____________。
新知探究
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高
度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
【问题】尝试用配方法和公式法求方程的解
【提问】1.观察所列方程结构，能否找到更简单的方法求解方程 ？并尝试求解
2.解方程时，二次方程是如何降为一次的？
典例分析例1 解下列方程？
(1)x(x-2)=0 (2)(x+2)(x-3)=0 (3)(3x+6)(2x-4)=0 (4)x2=x
1 3
例2 解下列方程:(1) x(x﹣2)+x﹣2=0 (2) 5x2﹣2x﹣ =x2﹣2x+
4 4
【提问】简述通过因式分解法解一元二次方程的步骤。
【针对训练】
1．一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式x2+px+q可分解为（ ）
A．(x+3)(x−4) B．(x−3)(x+4)
C．(x−3)(x−4) D．(x+3)(x+4)
2．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
【能力提升】
1 已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-2
2．已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，则该三角形为
_____三角形．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（
）
A．x＝﹣1，x＝3 B．x＝﹣1，x＝﹣3
1 2 1 2
C．x＝1，x＝3 D．x＝1，x＝﹣3
1 2 1 2
新知讲解解一元二次方程的方法
典例分析
例2 填空
①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0 ④ x2-4x=2
⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0；
⑨ (x-2)2=2(x-2).
1）适合运用直接开平方法 ；
2）适合运用因式分解法 ；
3）适合运用公式法 ；
4）适合运用配方法 .
【提示】每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！
直击中考
1 （2022 云南中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
2．（2022 贵港中考真题）若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的
值分别是（ ）
A．0，−2 B．0，0 C．−2，−2 D．−2，0
归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述分解因式法解一元二次方程的基本步骤吗？
2. 解一元二次方程的基本思路是什么？3. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？
【参考答案】
核心知识
1. 使一元二次方程转化为 两个一次式乘积等于 0 的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做
因式分解法。
2.通过因式分解法解一元二次方程的步骤：
1.移项：使一元二次方程等式右边为0；
2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式；
3.赋值：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解。
【归纳】左分解，右化零，两因式，各求解。
3.
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。
复习巩固
【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法：x2=a (a≥0)
配方法：(x+m)2=n (n≥0)
公式法： −b±❑√b2−4ac
x= (b2−4ac≥0).
2a【提问】多项式因式分解的方法有哪些？
① 提公因式法： pa+ pb + pc=p(a+b+c)
② 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
③ 完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2
④ “十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)
【问题】
1.如果a×b=0，则a=__0___或b=____0___.
2.如果两个因式的 积为 0 ，那么这两个因式中 至少有一个等于 0 ；反之，如果两个因式中任何一个
为0，那么它们的 积也等于 0 。
新知探究
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高
度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
【问题】尝试用配方法和公式法求方程的解
设物体经过x秒落回地面，即 10x-4.9x2=0 ①
方法一：配方法
解：移项得， 4.9x2 -10x=0
100
系数化为1得，x2 - x=0
49
配方得，x2 -100x+(50) 2 =(50) 2
49 49 49
整理得， ( 50) 2 =(50) 2
x−
49 49
50 50
由此可得， x− =±
49 49
100
则x =0，x = ≈2.04
1 2 49
这两个根中，x≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时
2 1
物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
方法二：公式法
解：移项得， 4.9x2 -10x=0a=4.9，b=-10，c=0
Δ=b2-4ac=100>0
方程有两个不等的实数根
−b±❑√b2−4ac= 10±10
x=
2a 2×4.9
100
即x=0，x= ≈2.04
1 2
49
这两个根中，x≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时
2 1
物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
【提问】1.观察所列方程结构，能否找到更简单的方法求解方程？并尝试求解
方法三：因式分解法
解：因式分解得 x(10-4.9x)=0
∴x=0或10﹣4.9x=0
100
即x=0，x= ≈2.04
1 2
49
这两个根中，x≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时
2 1
物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
2.解方程时，二次方程是如何降为一次的？
因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的
方法叫做因式分解法。
典例分析
例1 解下列方程？
(1)x(x-2)=0 (2)(x+2)(x-3)=0 (3)(3x+6)(2x-4)=0 (4)x2=x
答案：1) x=0，x=2；
1 2
2) x=-2，x=3 ；
1 2
3) x=-2，x=2；
1 2
4) x=0，x=1.
1 2
1 3
例2 解下列方程:(1) x(x﹣2)+x﹣2=0 (2) 5x2﹣2x﹣ =x2﹣2x+
4 4
1)解: 因式分解得 (x﹣2)(x+1)=0于是得x-2=0，或x+1=0
∴x=2，x=﹣1
1 2
2) 移项、合并同类项得4x2﹣1=0
因式分解得 (2x+1)(2x-1)=0
于是得2x+1=0或2x﹣1=0
∴x=0.5，x=﹣0.5
1 2
【提问】简述通过因式分解法解一元二次方程的步骤。
1.移项：使一元二次方程等式右边为0；
2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式；
3.赋值：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解。
【针对训练】
答案：C；A
【能力提升】
答案：C；直角或等腰；C
新知讲解
解一元二次方程的方法
典例分析
答案：1）2、6 2）3、5、9 3）1、7、8 4）4
直击中考1
答案：1）x =1,x = ． 2）B
1 2 2
归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述分解因式法解一元二次方程的基本步骤吗？
2. 解一元二次方程的基本思路是什么？
3. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？
