文档内容
21.2.3 解一元二次方程（因式分解法）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次
方程”21.2.3 因式分解法第1课时，内容包括：利用因式分解法解一元二次方程。
2.内容解析
本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上展开的，通过之前的学习我们了解
到配方法和公式法是所有一元二次方程的通用解法，但是对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法
解起来较为简单。同时利用因式分解法求解一元二次方程，既可以复习之前所学因式分解的知识，又为后
续处理有关一元二次方程的问题提供了一些求解的思路与方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：利用因式分解法解一元二次方程。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）利用因式分解法解一元二次方程；
（2）能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法；
（3）通过学生讨论解一元二次方程的方法， 理解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解
起来较为简单，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。让学生再次体会“降次”的思想，从
而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
2.目标解析
本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上，进一步学习如何利用因式分解法
求解一元二次方程的过程，这一方法仅针对形如 A•B=0的方程形式，利用因式分解将一元二次方程转化为
两个一次因式乘积的形式，并求解得出答案。
通过之前的学习我们了解到配方法和公式法是所有一元二次方程的通用解法，但是对于某些特殊的一
元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单。不管选用什么方法，解一元二次方程的基本思路是：将二
次方程化为一次方程，即降次的思想。
通过学生讨论解一元二次方程的方法， 使其理解因式分解法局限性，让学生再次体会“降次”的思
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
达成1）目标的标志是：熟练运用因式分解法解一元二次方程。
达成2）目标的标志是：能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。
达成3）目标的标志是：使学生理解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。三、教学问题诊断分析
解一元二次方程的方法：
1.配方法 解形如(x+m)2=n (n≥0)的方程
2.公式法 利用一元二次方程的求根公式 −b±❑√b2−4ac 求解
x= (b2−4ac≥0)
2a
3.因式分解法 解形如A•B=0的方程
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解
法。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法？
师生活动：师生共同回忆解一元二次方程的方法。
【提问】多项式因式分解的方法有哪些？
师生活动：师生共同回忆因式分解的方法。
【问题】
1.如果a×b=0，则a=_____或b=_______.
2.如果两个因式的________，那么这两个因式中_____________；反之，如果两个因式中_________为
0，那么它们的_____________。
师生活动：学生积极回答，教师引导与归纳，从而引出本节课所学内容。
【设计意图】先回顾解一元二次方程和因式分解的相关知识，为本节课学生学习因式分解法解一元二
次方程做好铺垫。
（二）探究新知
【问题】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地
面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
师：尝试用配方法和公式法求方程的解？
师生活动：学生积极思考，学生板演，教师引导与纠正。
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
师生活动：学生积极回答，允许学生有不同的观点。教师负责引导，得出：可以将方程
10x-4.9x2=0，通过因式分解变形为：x(10-4.9x)=0。
师：尝试用因式分解求方程的解？师生活动：学生积极思考，学生板演。
【提问】解方程①时，二次方程是如何降为一次的？
师生活动：学生积极思考，教师引导与总结：先因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等
于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
【设计意图】将学生放置在实际问题的背景下，激发学生的主动性和求知欲。本题数量关系较简单，
学生很容易列出相应的方程。通过配方法和公式法可以求得方程答案，但通过观察方程结构，原方程可以
转化为A•B=0的形式，从而引出了通过因式分解求解一元二次方程的方法。再通过提问环节，引导学生初
步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。
（三）典例分析
例1 解下列方程？
(1)x(x-2)=0 (2)(x+2)(x-3)=0 (3)(3x+6)(2x-4)=0 (4)x2=x
答案：1) x=0，x=2；
1 2
2) x=-2，x=3 ；
1 2
3) x=-2，x=2；
1 2
4) x=0，x=1.
1 2
1 3
例2 解下列方程：(1) x(x﹣2)+x﹣2=0 (2) 5x2﹣2x﹣ =x2﹣2x+
4 4
1)解： 因式分解得 (x﹣2)(x+1)=0
于是得x-2=0，或x+1=0
∴x=2，x=﹣1
1 2
2) 移项、合并同类项得4x2﹣1=0
因式分解得 (2x+1)(2x-1)=0
于是得2x+1=0或2x﹣1=0
∴x=0.5，x=﹣0.5
1 2
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。
【设计意图】加深学生对因式分解法求解一元二次方程的理解与掌握。
（四）知识归纳
【提问】简述通过因式分解法解一元二次方程的步骤。
1.移项：使一元二次方程等式右边为0；
2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式；
3.赋值：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解。
【归纳】左分解，右化零，两因式，各求解。
[针对训练]
1．一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式x2+px+q可分解为（ ）
A．(x+3)(x−4)B．(x−3)(x+4)
C．(x−3)(x−4) D．(x+3)(x+4)
答案：C
2．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（
）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
答案：A
师生活动：学生思考，独立完成，教师借助多媒体展示具体求解过程。
[能力提升]
1 已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-2
答案：C
2．已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，则该三角形为
_____三角形．
答案：直角或等腰
3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（
）
A．x＝﹣1，x＝3 B．x＝﹣1，x＝﹣3
1 2 1 2
C．x＝1，x＝3 D．x＝1，x＝﹣3
1 2 1 2
答案：C
【设计意图】教师引导学生归纳因式分解法解一元二次方程的步骤，通过配套练习，加深学生对本节
课所学知识的理解与掌握，同时需重点强调：利用因式分解法求解一元二次方程的局限性。
（四）新知讲解
【填空】师生活动：学生思考，积极回答问题，教师借助多媒体展示答案。从而得出：解一元二次方程的基本
思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。
[典例分析]
例2 填空
①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0 ④ x2-4x=2
⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0；
⑨ (x-2)2=2(x-2).
1）适合运用直接开平方法 ；
2）适合运用因式分解法 ；
3）适合运用公式法 ；
4）适合运用配方法 .
【提示】每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！
答案：1）2、6 2）3、5、9 3）1、7、8 4）4
师生活动：学生思考，积极回答问题，教师借助多媒体展示答案。
【设计意图】通过配套练习，使学生能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。
五）直击中考
1 （2022 云南中考真题）方程2x2+1=3x的解为_______
1
答案：x =1,x = ．
1 2 2
2．（2022 贵港中考真题）若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m
的值分别是（ ）
A．0，−2 B．0，0 C．−2，−2 D．−2，0
答案：B
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点。
（六）归纳小结1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述分解因式法解一元二次方程的基本步骤吗？
2. 解一元二次方程的基本思路是什么？
3. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？
（七）布置作业
P16：习题21.2：第6题、第10题、第11题
五、教学反思
