文档内容
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．探索一元二次方程的根与系数的关系．
2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．
一、情境导入
一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式
求出它的两个解x、x，算一算x＋x、x·x的值，你能得出什么结果？
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二、合作探究
探究点：一元二次方程根与系数的关系
【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值
已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则＋的值为( )
A．－1 B. C．－ D．1
解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入
计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝，mn＝－1，＋＝＝＝－.
故选C.
方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实
数根时，判别式大于或等于0.
【类型二】根据方程的根确定一元二次方程
已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0
解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x，x，则x＋x＝－1，x·x＝－20.如果
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令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D.
方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系
确定一元二次方程一次项系数和常数项．
【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解
(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个
根为________．
解析：设另一根为x，则由根与系数的关系得x＋4＝3，∴x＝－1.故答案为x＝－1.
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方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．
【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数
(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是
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A．－1或5 B．1
C．5 D．－1
解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数
的关系解决．设方程两根为x，x，由题意，得x＋x＝5.∴(x＋x)2－2xx＝5.∵x＋x＝a，
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xx＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a＝5，a＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程
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无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a＝－1.故选D.
方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形
式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件
Δ≥0，导致解答不全面．
【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用
已知x、x是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
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(1)是否存在实数a，使－x＋xx＝4＋x成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说
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明理由；
(2)求使(x＋1)(x＋1)为负整数的实数a的整数值．
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解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，
∴a≠6.由根与系数关系得：x＋x＝－，xx＝.由－x＋xx＝4＋x得x＋x＋4＝xx，∴－
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＋4＝，解得a＝24.经检验a＝24是方程－＋4＝的解．即存在a＝24，使－x＋xx＝4＋x成
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立．
(2)原式＝x＋x＋xx＋1＝－＋＋1＝为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a
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＝7或8，9，12.
三、板书设计
教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确
定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.
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