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21.2.3 解一元二次方程（因式分解法） 分层作业
基础训练
1．方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【详解】解： ，
或
解得：
故选B
2．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 的两根，则该等腰三角形的底边长为
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【详解】解：x2－6x+8=0
（x－4）（x－2）=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
故选：A．
3．若分式 的值为0，则（ ）
A．x＝1或x＝3 B．x＝3 C．x＝1 D．x≠1且x≠2
【详解】解：∵分式 的值为0，∴
解得，
故选：B
4．若关于x的方程 有实数根，则 的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
【详解】解：设 ，则原方程可化为 ，
解得： ， ，
当 时， ，即 ，△ ，方程无解，
当 时， ，即 ，△ ，方程有实数根，
的值为2，
故选： ．
5．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
【详解】解：方程变形得： ，
解得： ， ，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，
故选：B．
6．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．4 C．25 D．5
【详解】解：解方程 ，得 ，
即 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，由勾股定理得 ，
即菱形的边长为 ，
故选： ．
7．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
【详解】A：等式右边为0，分解正确，符合题意；
B：等式右边≠0，不符合题意；
C：等式右边≠0，不符合题意；
D：x(x+2)=0 ，∴x+2=0或x=0；
故答案为：A
8．在平面直角坐标系中，点 与点 关于 对称，则 的值为（ ）
A．1 B．3或1 C． 或1 D．3或
【详解】解：∵ 、 两点关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
故选：C．
9．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A、∵ ，∴ ，即 最适合用公式法来解，故本选项不符合题意；
B、 ，
∴ ，
∴ 最适合用因式分解法来解，故本选项符合题意；
C、 最适合用公式法来解，故本选项不符合题意；
D、 ，
∴ 最适合用直接开平方法来解，故本选项不符合题意；
故选：B.
10．对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为________．
【详解】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为： 或2．
11．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－x－1＝0；
(2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－2 x＋1＝0；
(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
【详解】（1）解： a＝1，b＝－1，c＝－1
∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5
∴x＝ ＝
即原方程的根为x＝ ，x＝
1 2（2）解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，
即（3x－1）（x－2）＝0，
∴x＝ ，x＝2．
1 2
（3）解：配方，得（x－ ）2＝1，
∴x－ ＝±1．
∴x＝ ＋1，x＝ －1．
1 2
（4）解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，
即（x＋4）（x＋5）＝0，
∴x＝－4，x＝－5．
1 2
能力提升
1．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程 一个实数根，则该三角形的面积
是（ ）
A．24 B．48 C．24或 D．
【详解】解： ，
，
或 ，
所以 ， ，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高 ，此时三角形的面积
，
当第三边长为10时，∵ ,
∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积 ．
故选C．2．若 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5
【详解】 ，
∴
解得： 或
因为 是方程的两根
∴ 当 时，
当 时，
综上： 或
故选：C．
3．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016．
【详解】解：设x-2013 = t，则x-2014=t-1，
∴t（t-1）=2015×2016，即t2-t-2015×2016=0，
∴（t-2016）（t+2015）=0
解得：t=2016，t=-2015，
1 2
∴x－2013 =2016或x－2013 =-2015，
解得：x＝4029或-2，
1
∴原方程的解为x＝4029，x＝-2．
1 2
4．已知 ， ， ，求值 ．
【详解】∵
∴
∴ 或
∵
∴∴ 或
∵
∴当 时， ；当 时， 或
∴ 或13或10．
5．阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是
将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：
一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为 ，解一元一次方程 和一
元二次方程 ，可得 ， ， ．
再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程） ，可以通过方程两边平方把它转化为 ，
解得 ．
（1）解下列方程：
①
②
（2）根据材料给你的启示，求函数 的最小值．
【详解】（1）①∵
∴
∴ ， ，
②∵
∴ ，即
∴∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴ （舍去）
∴ 的解为：
（2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得 ，
当 时，
∵x为实数
∴
∴ 且 ；
当 时，得： ，方程有解（x的值存在）；
∴
∴ ．
6．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
详解】（1）证明：依题意得：
，，
∴ ．
∴方程总有两个实数根；
（2）由 ，
可化为：
得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴a的最小值为0．
拔高拓展
1．若等腰三角形三边的长分别是 ， ，3，且 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，
则满足上述条件的 的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【详解】解：①当a，b是等腰三角形的两条腰，则a=b．
∵a，b是关于x的一元二次方程 的两个根，
∴ ．
∴m=4．
∴ ．
∴ ．
∴a=2，b=2．
此时2，2，3能够构成等腰三角形．
故m=4符合题意．
②当3是等腰三角形的一条腰时，则等腰三角形的另一条腰的长度是3．
∵a，b是关于x的一元二次方程 的两个根，把x=3代入 得 ．
∴m=3．
∴ ．
∴ ， ．
此时1，3，3能够构成等腰三角形．
∴m的值为4或3，共2个值．
故选：B．
