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第21 章 一元二次方程（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如果0是关于 的一元二次方程 的一个根，那么 的值是（ ）
A．3 B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程 时，配方的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程 ，其中较大的一个根为 ，下列最接近 的范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若m是方程 的根，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．若关于x的方程 有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
6．在平面直角坐标系xOy中，若已知点 ，则下列结论一定不成立的是
A． B． C． D．
7．若使函数 的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一块直径为 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当 时，剩下的钢板
面积的最大值是（ ）A． B． C． D．
9．已知等腰 的一条边为 ，其余两边的边长恰好是方程 的两个根，则
的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
10．使得关于x的不等式组 有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程
有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35 B．30 C．26 D．21
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若方程 有一个解为 ，则方程 的解为 ．
12．方程 的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ．
13．若实数x满足 ，则代数式 的值是 ．
14．已知平行四边形 的两条邻边长 ， 的长分别是关于x的方程 的两个实
数根，当 时，四边形 是菱形．
15．已知关于 的一元二次方程 有实数根，设此方程的一个实数根为 ，令
，则 的取值范围为 ．
16．如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入 中得到一个y值，再把得到的y值
代入 中，又求出一个新的x值．如：把 代入 中得到 ；再把 代入中求得 ．
（1）把 代入 中，最后求出的x值为 ；
（2）小明发现，给x一个整数并把它代入 中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是
．
17．若关于 的方程 为正整数）的两根分别记为 ， ，如：当 时，方程的两
根记为 ， ，则 ．
18．已知点 为线段 上一点．如果 的比值为关于 的方程 的解，那么点 为
的 阶黄金分割点．
已知 阶黄金分割点作法如下：
步骤一：如图，过点 作 的垂线 ，在垂线 上取 ，连接 ；
步骤二：以点 为圆心， 为半径作弧交 于点 ；
步骤三：以点 为圆心， 为半径作弧交 于点 ；
结论：点 为线段 的 阶黄金分割点．
（1）作法步骤一中，当 时，点 为线段 的 阶黄金分割点；
（2）作法步骤一中，当 （结果用 的代数式表示）时，点 为线段 的 阶黄金分割点．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）用指定方法解下列一元二次方程
（1） 配方法 （2） 公式法
20．（8分）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
（2）若该方程的两个根分别为 ，当 时，求 的值．
21．（10分）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够
长），另两边 和 由总长为80米长的篱笆组成．
（1）若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求 的长；
（2）能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
22．（10分）若m，n为正实数， ，t是关于x的方程 的一正实根．
（1）求证： ．（2）若 ，求 的值．
（3）用含k的代数式表示 ．
23．（10分）根据以下素材，解决生活问题
【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶，进价为每箱40元．若每箱售价为60元，每天可销售50箱．
超市也可采取降价促销措施来提高利润，经过营销部的市场调研反馈：若A款牛奶单价每降1元，每天
可多售出5箱．
【问题解决】
思考1：第一天超市决定按原价每箱60元出售，则第一天售出A款牛奶所获利润为______元．
思考2：第二天超市采取降价促销措施，为了使第二天的利润比第一天增加 ，又要让顾客实现最优惠，
问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元？
思考3：第三天超市仍采取降价促销措施，既要销售完这批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，问
销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元？
24．（12分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化
为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方
程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可
能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思
想――转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因
式分解把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解．
（1）问题：方程 的解是______；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪 的长 ，宽 ，小华把一根长为10m的绳子的一端
固定在点B，沿草坪边沿 走到点P处，把长绳 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求 的长．参考答案：
1．A
【分析】把 代入一元二次方程 得 ，解方程得 ，然后根据
一元二次方程的定义得到 的值．
【详解】解：把 代入一元二次方程
得 ，
解得 ，
而 ，
所以 的值为3．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．也考查了一元二次方程的定义．
2．D
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，解题的关键熟练掌握配方法解方程．
【详解】解：
，
，
故选： ．
3．A
【分析】先利用配方法解一元二次方程求得 ，再根据 ，即可求解．
【详解】解： ，
∴ ，
配方得， ，
∴ ，
∵较大的一个根为 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合
代入计算即可．
【详解】解：
，
，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了方程有解的情况，以及一元二次方程根的判别式，根据 以及 分别讨论
求解，即可解题．
【详解】解： 关于x的方程 有解，
当 时，方程为 ，解得 ，时，方程有解；
当 ，即 时，方程为 有解，
即 ，
，
解得 ，
综上所述，关于x的方程 有解，k的取值范围是 ，
故选：A．
6．A
【分析】由勾股定理可得： ，再利用配方法求解 的最小值，再求解 的最小值，从
而可得答案．
【详解】解：由勾股定理可得：
当 时， 有最小值
∴ 的最小值为
所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意；
故选A
【点拨】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．
7．A
【分析】本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．函数表达式是分式时，考虑分式的
分母不能为0．
函数 的自变量 取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程 无解．
即 ，即可解得 、 的关系．【详解】解：∵函数 的自变量 取值范围是一切实数，
∴分母一定不等于0，
∴ 无解，
即 ，
解得： 或 ．
当 时，一定满足要求．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据
题意可得 ，然后根据图形写出剩下的钢板面积 ，然后利用配方法可把代
数式配成 的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ，
根据图形可得：剩下的钢板面积
；
∵ ，
∴ ，即剩下的钢板面积 ，
∴剩下的钢板面积的最大值为 ，只有选项B符合；
故选：B．
9．B【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，
分 为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键．
【详解】解： 当 为底时，由题意得 ，
解得 ，
此时一元二次方程为 ，
解得 ，
∵ ，
∴ 不能构成三角形，
∴ 不合，舍去；
当 为腰时，将 代入方程得，
，
解得 或 ，
当 时，一元二次方程为 ，
解得 ， ，
三边长为 ，可以构成三角形；
当 时，一元二次方程为 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ 不能构成三角形，
∴ 不合，舍去，
综上， ，
故选： ．
10．B
【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定
a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．
【详解】解：整理不等式组得：由①得： ，
由②得：x<4
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，
∴ ，
解得： ，
∵ 有实数根，
∴
解得：a≤9，
∵方程 是一元二次方程，
∴a≠5
∴ ，且a≠5，
满足条件的整数有：6、7、8、9；
∴6+7+8+9=30，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练掌握解不等式的性质和不
等式解集的写法是解题发关键．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出 ，进而解方程
，即可求解．
【详解】解：∵方程 有一个解为 ，
∴
∴
即∴
解得：
故答案为： ．
12． 或4
【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
【详解】解:解方程 得： 或5，
即直角三角形的两边为3或5，
当5为直角边时，第三边为： ；
当5为斜边时，第三边为： ；
故答案为： 或4．
13．2
【分析】本题考查了解一元二次方程．设 ，则 ，利用因式分解法求得即可．
【详解】解：设 ，则 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
即 或 （方程无解，舍去），
∴代数式 的值是2，
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到 ，则根
据根的判别式的意义得到 ，然后解关于m的方程即可解题．【详解】解：由题可得： ，
则方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
15． /
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质．由一元二次
方程根的判别式先求解 ，根据一元二次方程的解的定义得出 代入代数式，进而即可求解．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
△ ，
解得： ，
设此方程的一个实数根为 ，
，
，
，
，即 ．
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程．
（1）根据题意运算法则计算即可求解；
（2）设这个数为 ，依题意得 ，解一元二次方程求得整数解即可．【详解】解：（1）把 代入 中， ，
再把 代入 中，求得 ；
经检验 是原方程的解，
故答案为： ；
（2）设这个数为 ，依题意得 ，
整理得 ，
解得 （舍去）， ，
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．利用根与系数的关系得到 ， ； ， ；
， ．把原式变形，再代入，即可求出答案．
【详解】解： ， ，2，3， ，2020，
由根与系数的关系得： ， ； ， ； ，
，
原式
．故答案为： ．
18． 1/一 /
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，根式的化简，解题的关键是熟练掌握勾股定理，公
式法解一元二次方程．
（1）根据勾股定理得出 ，求出 ，根据
的比值为关于 的方程 的解，得出 ，求出 ，
即可得出答案；
（2）根据勾股定理得出 ，求出 ，解
方程 得出 ，根据 的比值为关于 的方程 的解，且
的比值大于0，得出 ，求出k的值即可．
【详解】解：（1）当 时， ，
根据勾股定理得：
，
∴ ，
∴ ，
∵ 的比值为关于 的方程 的解，∴ ，
解得： ，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，点 为线段 的1阶黄金分割点；
故答案为：1；
（2）∵ ，
根据勾股定理得：
，
∴ ，
∴ ，
解方程 得： ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 的比值为关于 的方程 的解，且 的比值大于0，
∴ ，
∴ ，
令 ，则
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
19．(1) ，
(2) ，
【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，
再开方，即可得出结果；
（2）先求解 ，再利用求根公式计算即可．
【详解】（1）解：
移项，化“1”得： ，
配方，得： ，即 ，
由此可得： ，
， ；
（2）解：
， ， ，
，
方程有两个不等的实数根，
，
即 ， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一
元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
20．(1) 且 ；
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运
用所学知识是解题的关键．
（1）根据题意得到 ， ，进而求解即可；
（2）首先得到方程 ，然后利用根与系数的关系得到 ， ，然后利用完全平方
公式的变形求解即可．
【详解】（1）由题意得 ，该方程有两个不相等的实数根
，即 ，
解得 ，
则 的取值范围为 且 ；（2）当 时， ，
，
．
21．(1) 的长为20米或60米
(2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，
（1）设 的长为 米，则 的长为 米，依题意列出方程，解方程即可求解；
（2）根据题意，列出方程，由方程解的情况即可得解；
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键．
【详解】（1）设 的长为 米，则 的长为 米，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得： ，
答： 的长为20米或60米．
（2）不能，理由如下：
根据题意，得 ，
整理，得 ，
，
该方程无实数根，
不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地．
22．(1)见解析
(2)(3)
【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程：
（1）根据t是关于x的方程 的一正实根得到 ，配方即可得出结论；
（2）根据 ，得到 ，即可得到 ，两边同时除以 ，将方程转化为 ，解方
程即可；
（3）同法（2）进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵t是关于x的方程 的一正实根，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍掉）；
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ 或 （不合题意，舍掉）．
故： ．
23．思考1：1000；思考2：54元；思考3：3240元
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用：
思考1：售价与进价之差为每箱利润，乘以销量即为总利润；
思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，则销量为 箱，每箱利润为 元，根据
第二天的利润比第一天增加 列一元二次方程，解方程即可；
思考3：先求出剩余牛奶的箱数，降价后的销量刚好等于该数时，可以使超市利益最大化，由此可解．
【详解】解：思考1： （元），
即第一天售出A款牛奶所获利润为1000元，
故答案为：1000；
思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，
由题意得： ，
整理得 ，
解得 ， ，
要让顾客实现最优惠，
第二天A款牛奶的每箱售价为54元．
思考3： 第一天销量为：50箱，第二天销量为： （箱），
第三天销量为： （箱），
设第三天A款牛奶的每箱售价为y元，
则 ，
解得 ，
第三天售出A款牛奶所获利润为： （元），
（元），即销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为3240元．
24．(1) ， ，
(2) ；
(3)AP的长为4m
【分析】（1）先将该方程转化成 ，然后再求解即可；
（2）由 可得 且 ，然后解出x即可；
（3）设 ，则 ，然后根据勾股定理求得 和 ，然后再根据 列方程求
出x即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
所以 或 或 ，
， ， ；
（2）解： ，
方程的两边平方，得 ，
即 ，
，
或 ，
， ，
当 时， ，
所以 不是原方程的解．所以方程 的解是 ；
（3）解：因为四边形 是矩形，
所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，
， ，
∴ ，
∴ ，
两边平方，得 ，
整理，得 ，
两边平方并整理，得 ；即 ，
所以 ．
经检验， 是方程的解．
答：AP的长为4m．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键．
