全册教案（8下）_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_8下-初中数学人教版（2026春新版持续更新）_旧版-可参考_04教案（多套）

二次根式的概念 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解二次根式的概念，并利用 (a≥0)的意义解答具体题目；2.同 时理解 (a≥0)具有双重非负性. (二)过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. (三)情感态度与价值观：通过本节的学习，培养学生准确计算的严谨的科学精神，发展学 生观察、分析、发现问题的能力. 二、教学重点、难点 重点：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式的概念. 难点：利用“ (a≥0)”双重非负性解决具体问题. 三、教学过程 知识回顾1 (1) 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是± (a≥0). (2) 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0. 用 (a≥0)表示. 知识回顾2 (1) 16的平方根是什么？算术平方根是什么？ (2) 0的平方根是什么？算术平方根是什么？ (3) -7有没有平方根？有没有算术平方根？ 平方根的特征：正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根. 思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为____，面积为 S 的正方形的边长为____. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位:s)与开始落下时离地面的高度 h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t=_____. 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. 请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式 的认识！ 1.表示 a 的算术平方根；2.a 可以是数，也可以是式；3.形式上含有二次根号 ； 14.a≥0， ≥0 (双重非负性)；5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果. 判断下列各式是否为二次根式. (1) (2) (3)6 (4) (5) (6) (x，y异号) (7) (8) (9) (m≤0) 例1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x≥2 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 思考 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢 答：x为任意实数时， 都有意义；当x≥0时， 有意义. 练习 1.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？ 解：设长方形的长、宽分别为3x cm、2x cm，依题意得 3x·2x =18 6x2=18 x2=3 解得 x= 答：矩形的长、宽分别为3 cm、2 cm. 2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) (2) (3) (4) 解：(1)由a-1≥0，得a≥1. 当a≥1时， 在实数范围内有意义. (2)由2a+3≥0，得a≥- . 当≥- 时， 在实数范围内有意义. (3)由-a≥0，得a≤0. 当a≤0时， 在实数范围内有意义. (4)由5-a≥0，得a≤5. 当a≤5时， 在实数范围内有意义. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的 知识进行探究，由此引入二次根式. 在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需 2要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣. 二次根式的性质与化简 一、教学目标 (一)知识与技能：理解二次根式的基本性质，能运用二次根式的性质计算和化简，正确区 分 (a≥0)和 (a≥0)，了解代数式的概念与特征. (二)过程与方法：通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析 问题和解决问题的能力. (三)情感态度与价值观：通过小组合作学习，经历观察、比较、总结归纳和应用等数学活 动，感受数学学习的探索性和创造性，利用小组交流体验发现问题的乐趣，激发学生的学 习兴趣，并提高对二次根式性质的应用意识. 二、教学重点、难点 重点：掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算. 难点：二次根式基本性质的应用 三、教学过程 知识回顾 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a＝0时， 表示0的算术平 方根，因此 ＝0.这就是说，当 a≥0 时， ≥0. (1)当_____时， 是二次根式； (2)当x______时， 在实数范围内有意义； (3)已知 ，则2x+y=_____. 探究 根据算术平方根的意义填空： ____； ____； ____； ____. 一般地， (a≥0) 例2 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 例2(2)用到了(ab)2＝a2b2这个结论.(整式的运算性质在实数范围内都适用) 探究 3填空： ____； ____； ____； ____. 一般地，根据算术平方根的意义， (a≥0) 注： (a＜0) 例3 化简： (1) (2) 解：(1) = =4 (2) = =5 回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，-ab， ，-x3， ， (a≥0)，它们都是用 基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来 的式子，我们称这样的式子为代数式. 判一判 下列哪些是代数式？ (1) 0 (2) n (3) +5y2 (4) S=πr2 (5) a+b≥2 单独的一个数或一个字母也是代数式；含有等号、不等号的式子不是代数式. 代数式书写格式注意事项： 1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a×b 通常写作a·b或ab. 2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如： a×2通常写作2a. 3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如： ×a通常写作 a. 4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: . 5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升 t℃后是(2+t)℃. 练习 1.计算： (1) ； (2) 解：(1)原式=3； (2)原式=32× =9×2=18 2.说出下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解：(1)原式=0.3；(2)原式= = ；(3)原式= =-π；(4)原式= =10-1= 4. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对 学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组 间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的 学习和生活. 5二次根式的乘法 一、教学目标 (一)知识与技能：理解 • = (a≥0，b≥0)， = • (a≥0，b≥0)，并利 用它们进行计算和化简. (二)过程与方法：在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探素新知；体验研究 数学问题常用方法：即由特殊到一般，由简单到复杂. (三)情感态度与价值观：通过学生自主探素合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力. 二、教学重点、难点 重点：双向运用(a≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算. 难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法. 三、教学过程 忆一忆 1.计算：(1)(4 )2=____； (2) =____； (3)(-3 )2=____. 2.化简：(1) =____；(2) =____；(3) =____；(4) =______. 探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) × =_______， =_______； (2) × =_______， =_______； (3) × =_______， =_______. 一般地，二次根式的乘法法则是： • = (a≥0，b≥0) 例1 计算： (1) (2) 解：(1) = (2) = = =3 6把 • = 反过来，就得到 = • ，利用它可以进行二次根式的化简. 注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数. 例2 化简： (1) (2) 解：(1) (2) • • =2•a• =2a •b=2ab 被开方数4a2b3含4，a2，b2这样的因数或因式，它们被开方后可以移到根号外，是开 得尽的因数或因式. 例3 计算： (1) (2) (3) • 解：(1)原式= = = = (2)原式= = = = = (3)原式= = = = • = 练习 1.计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= =6 (3)原式= = (4)原式= = =2 2.化简： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= = =11； (2)原式= =15； (3)原式= • = (4)原式= • • • = . 3.一个长方形的长和宽分别是 和 . 求这个长方形的面积. 解： = = = = 答：这个长方形的面积为 . 7课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程. 对于二次根式的乘法法则的推导，先 利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则. 在具体计算时，可以通 过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达， 更有助于学生合作精神的培养. 二次根式的除法 一、教学目标 (一)知识与技能：1、理解 (a≥0，b＞0)和 (a≥0，b＞0)及利用它们进 行运算；2、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. (二)过程与方法：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点 来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求. (三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成 功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣. 二、教学重点、难点 重点：掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算. 难点：能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算. 三、教学过程 忆一忆 1.计算： 的结果是( ) A.2 B.6 C.8 D.16 2.计算： • 的结果是____. 3.等式 = • 成立的条件是_____. 探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) =( )， =( )；(2) =( )， =( )；(2) =( )， =( ). 一般地，二次根式的除法法则是 (a≥0，b＞0) 例4 计算： 8(1) (3) 解：(1) (2) 把 反过来，就得到 (a≥0，b＞0) 利用它可以进行二次根式的化简. 例5 化简： (1) (3) 解：(1) (2) 例6 计算： (1) (2) (3) 解：(1) 解法1： 解法2： 在解法2中，式子 变形是为了去掉分母中的根号(分母有理化). (2) (3) 注：在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式. 最简二次根式 ， ， ， ， ， . 观察上面例4、例5、例6中各小题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如 下两个特点： (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 9例7 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S= ，b= ，求a. 解：∵ S=ab，∴ 如果两个电视塔的高分别是hkm，hkm，那么它们的传播半径的比为 .这个式 1 2 子还可以化简： . 这个比与地球半径无关. 这样，只要知道h，h，就可以求出比值. 1 2 练习 1.计算：(1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 2.把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 解：(1) (2) (3) (4) 3.设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b.已知S=16，b= ，求 a. 解：∵ S=ab ∴ 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性 质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质. 在此过程中应给予适当的指导，可提出问题 让学生有一定的探索方向. 在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问 题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感 和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展. 10二次根式的加减 一、教学目标 (一)知识与技能：1.知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式；2. 会进行二次根式的加减法运算. (二)过程与方法：经历探索二次根式加减运算法则的过程，培养学生的运算能力. (三)情感态度与价值观：关注学生思考问题的过程，培养学生主动探索、敢于实践、善于 发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识. 二、教学重点、难点 重点：掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算. 难点：经历知识产生的过程，化简二次根式. 三、教学过程 忆一忆 1.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 2.把下列二次根式化成最简二次根式： (1) =____；(2) =_______；(3) =_____. 同类二次根式 下列3组二次根式各有什么特征？ (1) ， ， ， ， ，… (2) ， ， ， ， ，… (3) ， ， ， ， ，… 答：第(1)组二次根式的被开方数都是____；第(2)组二次根式的被开方数都是____； 第(3)组二次根式的被开方数化成最简二次根式后都是____. 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式. 11问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个 面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？ ∵ 5＞ ＞ ∴ 木板够宽 两个正方形的边长和为：( + )dm + = + (化成最简二次根式) = (分配律) = 由 ＜1.5可知 ＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于木板的长，因此可以 用这块木板按要求截出两个面积分是8dm2和18dm2的正方形木板. 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根 式(同类二次根式)进行合并. 例1 计算： (1) (2) 解：(1)原式=4 -3 =(4-3) 比较二次根式的加减与整式 = 的加减，你能得出什么结论？ 4x-3 x=(4-3) x= x (2)原式=3 +5 3a2+5 a2=(3+5) a2=8 a2 =(3+5) =8 例2 计算： (1) (2) 解：(1)原式=4 -2 +12 =14 (2)原式=2 +2 + - =3 + 12与 能合并吗？ 练习 1.下列计算是否正确？为什么？ (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) 2.计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式=-4 (2)原式=4 -2 + =3 (3)原式=3 +7 -3 =10 -3 (4)原式=2 + - + =3 + 3.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 12.56和25.12.求圆环的宽度 d(π取 3.14，结果保留小数点后两位). 解：依题意得 答：圆环的宽度约为0.83. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论． 在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法 则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐. 13二次根式的混合运算 一、教学目标 (一)知识与技能：1.使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中 仍然适用；2.会利用乘法公式进行二次根式的乘法运算及分母有理化；3.使学生会熟练进 行二次根式的加、减、乘、除混合运算. (二)过程与方法：讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻 找解题的方法、规律及注意点. (三)情感态度与价值观：1.培养学生进行类比的学习思想和理解运算律、乘法公式的广泛 意义；2.激发学生的求知欲和提高学生的运算能力. 二、教学重点、难点 重点：会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力. 难点：正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简. 三、教学过程 忆一忆 1.二次根式的乘法法则 • ＝________(a≥0，b≥0)，积的算术平方根 ＝ __________( a≥0，b≥0). 2.二次根式的除法法则 ＝____( a≥0，b＞0)，商的算术平方根 ＝____(a≥0，b＞ 0). 3.二次根式的加减时，可以先将二次根式化为_____________，再将被开方数相同的二次根 式进行________. 做一做 1.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 2.计算：(1) × =____；(2) ÷ =____；(3) + - =____. 143.填空：(1)(a+b)(a-b)=_______； (2)(a+b)2=_________； (3)(a-b)2=_________. 例3 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 例4 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 例4(1)用了多项式乘法法则，(2)用了公式(a+b)(a-b)=a2-b2.在二次根式的运算中， 多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 练习 1.计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 2.计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 15第16章二次根式小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二 次根式的式子；2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. (二)过程与方法：通过知识梳理培养学生分析问题、解决问题的能力. (三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成 功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣. 二、教学重点、难点 重点：含二次根式的式子的混合运算. 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 三、教学过程 1.二次根式的概念 一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解：①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0. [易错点]二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 2.二次根式的性质 (a≥0)， 3.最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 4.二次根式的乘除法则： • = ， = • (a≥0，b≥0)； ， (a≥0，b＞0) 5.二次根式的加减：类似合并同类项 16可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行 合并. 6.二次根式的混合运算 与有理数的混合运算类似：先算乘(开)方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面 的. 考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件 例1 求下列二次根式中字母a的取值范围： (1) (2) (3) (4) 解：(1)由题意得-3a+2≥0，∴ a≤ (2)∵ (a+2)2≥0，∴ a为全体实数 (3)由题意得3+2a＞0，∴ a＞- (4)由题意得 ，∴ a≥0且a≠1 方法总结 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零. 针对训练 1.下列各式中： ； ； ； ； (x≥1)； ； ，一定是 二次根式的个数有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.如果 是二次根式，那么x应满足的条件是( ) A.x≠3 B.x＜3 C.x＞3 D.x≥3 3.下列二次根式中的最简二次根式是( ) A.. B. C. D. 4.求下列二次根式中字母的取值范围： (1) (2) 解：(1)由题意得 ，解得 ，∴ x=4 (2)由题意得 ，解得 ，∴ -5≤x＜3 17考点二 二次根式的性质 例2 若 ，求 的值. 解：∵ ∴ x-1=0，3x+y-1=0，解得x=1，y=-2 则 = =3 方法总结 初中阶段主要涉及三种非负数： ≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为0. 例3 实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简： 解：由数轴可以确定a＜0，b＞0，且|b|＞|a| ∴ |a|=-a， =-a， =b， =a+b ∴ 原式=-a-(-a)+b-(a+b)=-a+a+b-a-b=-a 针对训练 5.若实数a，b满足 ，则 ＝____. 6.若1＜a＜3，化简 的结果是____. 7.a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： . 解：由数轴可以确定a＜b＜0＜c ∴ a+b＜0，c-a+b＞0，b-c＜0 ∴ 原式=-a+(a+b)+(c-a+b)-(b-c)-b=-a+a+b+c-a+b-b+c-b=-a+2c 考点三 二次根式的运算及应用 例4 计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= 18(4)原式= 例5 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸 片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒.求这个纸盒的侧面积(接 缝忽略不计). 解：S=[( - )× ]×4 =[(3 - )× ]×4 =2 × ×4 =16 答：这个纸盒的侧面积为16. 针对训练 8.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 9.若等腰三角形底边长为 ，底边的高为 ，则等腰三角形的面积为______. 10.计算： (1) (2) 解：(1)原式= -4× ×1=2 - = (2)原式= -3-2 + -3=-6 11.交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式 ，其中v是车速(单 位：千米/小时)，d是汽车刹车后车轮滑动的距离(单位：米)，f是摩擦系数. 在某次交通 事故调查中，测得d＝20米，f＝1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度. 解：根据题意得 (千米/小时) 答：肇事汽车在出事前的速度是 千米/小时. 考点四 二次根式的化简求值 例6 先化简，再求值： ，其中 ， . 解： 当 ， 时，原式= 针对训练 1912.先化简，再求值： (a－b)2－b(b－2a)＋b2，其中 ， . 解：原式=a2-2ab+b2-b2+2ab+b2=a2+b2 当 ， 时，原式=6+5=11 13.有这样一道计算题： “求 (x＞2)的值，其中x＝1001”. 小华把“x＝1001”错抄 成“x＝1010”，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？ 解：原式= ∴ 无论x取何值，原式的值都为-2. 考点五 本章解题思想方法 分数讨论思想 例7 已知a是实数，求 的值. 解： =|a+2|-|a-1| 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=-(a+2)+(a-1)=-a-2+a-1=-3 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)=2a+1 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3 整体思想 例8 已知 ， ，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值. 解：∵ ， ∴ x-y=(1- )-(1+ )=-2 ，xy=(1- )(1+ )=-1 ∴ x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy=(-2 )2-2×(-2 )+(-1)=7+4 20勾股定理及拼图验证 一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾 股定理；2.会用勾股定理进行简单的计算. (二)过程与方法：经历通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；经历观 察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力问题解决. (三)情感态度与价值观：通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心； 对比介绍我国古代和西方数学家有关勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育. 二、教学重点、难点 重点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题. 难点：了解利用拼图验证勾股定理的方法. 三、教学过程 创设情境 人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人”， 并试图与“他们”取得联系. 那么我们怎样才能与“外 星人”接触呢？ 曾经有科学家建议用“勾股定理”的图来作为与 “外星人”联系的信号. 如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部 8米处. 大树折断之前有多高？ 想一想, 你需要求哪些线段长度、这些长度确定吗？ 邮票赏析 邮票的秘密：观察这枚邮票图案小方格的个数，你有什 么发现？ 21 毕达哥拉斯 ( 约前 580 —约 这是1955年希腊为纪念一 前 个数学学派曾经发行的邮票. 500年)，古希腊著名的哲学 家、数学家、天文学家.相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图 案反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现 什么数量关系？ 探究 (1)在纸上作出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有 什么样的关系？与同伴交流. (2)如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足前面所猜想的数量关系吗？你 是如何计算的？与同伴交流. 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两 直角边的平方和等于斜边的平方. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦. 在西方又称毕达哥拉斯定理. 结论变形 a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2； 、 、 . 三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”， 也称为“赵爽弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明. 222002年世界数学家大会(ICM-2002)在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺 术处理的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世 界各地的数学家们! 动手操作 通过拼摆，得到一大正方形与一个小正方形. 你能用两种方法表示大正方形的面积吗？ 大正方形面积表示为：①__________②_____________. 对比两种表示方法你得到勾股定理了吗？ 化简得 a2+b2=c2 小正方形面积表示为：①__________②_____________. 对比两种表示方法你得到勾股定理了吗？ 化简得 a2+b2=c2 如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部 8米处. 大树折断之前有多高？ 解： ， 所以，大树折断之前的高度为：6+10=16(米). 练习 1.设直角三角的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 解：(1) ；(2) ； (3) . 2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积. 解：依题意，得 S=S+S=122+162=144+256=400 1 A B S=S+S=92+122=81+144=225 2 C D 所以，S=S+S=400+225=625 E 1 2 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 课堂教学中，要注意调动学生的积极性.让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂 效率.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一 些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生 共同探究突破本节课的难点. 23勾股定理的实际应用 一、教学目标 (一)知识与技能：能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题. (二)过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件. (三)情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情. 二、教学重点、难点 重点：熟练运用勾股定理求直角三角形的边长. 难点：会用勾股定理解决简单实际问题. 三、教学过程 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两 直角边的平方和等于斜边的平方. 结论变形 a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2； 、 、 . 如图，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长d=12m，现要在棚顶 上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2=h2+a2=1.82+2.42=9 解得 AB=3(m) 所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m2) 例1 一个门框尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内穿过？为什么？ 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5. AC= ≈2.24. 因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过. 例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移 0.5m吗？ 解：在Rt△AOB中，根据勾股定理， 24OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，OB=1. 在Rt△COD中，根据勾股定理， OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15， OD= ≈1.77. BD=OD-OB≈1.77-1=0.77. 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m. 练习 1.如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m， AC=20m.求A、B两点间的距离(结果取整数). 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2=BC2-AC2=602-202=3200 AB= ≈57 因此，A、B两点间的距离约为57m. 2.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4). 求这两点之间的距离. 解：由A(5，0)和B(0，4)可得，OA=5，OB=4. 在Rt△AOB中，根据勾股定理， AB2=OA2+OB2=52+42=41， AB= . 因此，A、B两点间的距离为 . 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 25勾股定理的计算、作图 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数，进一步理解感受数轴上 的点与实数一一对应；2.了解利用勾股定理证明HL定理. (二)过程与方法：进一步理解数学中的数形结合思想，转化思想，学会运用勾股定理解决 实际问题. (三)情感态度价值观：培养学生的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点，运用勾股定理解决实际问题. 难点：无理数也能在数轴上表示出来，理解数轴上的点与实数是一一对应的. 三、教学过程 思考 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL) 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得 ， 又 AB=A′B′，AC=A′C′ ∴ BC=B′C′ ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) 知识再现 实数与数轴上的点是一一对应的. 数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你还记得我们以前是如何在数轴上画 出表示 的点吗？ 26则：点A表示 . 你能用勾股定理验证点A就是表示 的点吗？ 探究 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 分析：利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为 . 步骤： 1.在数轴上找出表示3的点A，则OA=3； 2.过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2； 3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点. 类似地，利用勾股定理，可以作出长为 ， ， ，…的线段. 按照同样方法， 可以在数轴上画出表示 ， ， ， ， ，…的点. 练习 1.在数轴上作出表示 的点. 解：如图，点C为表示 的点. 2.如图，等边三角形的边长是6. 求： (1)高AD的长； (2)这个三角形的面积. 解：(1)∵ AD是等边三角形ABC底边BC上的高 27∴ ∠ADB=90°，BD= BC=3 在Rt△ABD中，根据勾股定理， AD2=AB2-BD2=62-32=27 AD= = (2)S = ×6×3 =9 △ABC 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 28勾股定理的逆定理 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会认识并判断勾股数，掌握勾股定理的逆定理，并能灵活应用逆定理 判定一个三角形是否为直角三角形. (二)过程与方法：通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方 法 的应用. (三)情感态度价值观：在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和 严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；2.理解原命题、逆 命题、逆定理的概念及关系. 难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题. 三、教学过程 据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结 间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直 角．你知道为什么吗？ 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，满足关系：32+42=52，那 么围成的三角形是直角三角形. 画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6. 52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试. 由上面的几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这 个三角形是直角三角形. 29命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2. 命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题1、命题2的题设、结论分别是什么？ 我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆 命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.例如，如果把命题1当成原 命题，那么命题2是原命题1的逆命题. 说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确. 1.原命题：同位角相等，两直线平行.( ) 逆命题：两直线平行，同位角相等.( ) 2.原命题：对顶角相等.( ) 逆命题：相等的角是对顶角.( ) 3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.( ) 逆命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.( ) 4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.( ) 逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.( ) 在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，要证△ABC一定是 直角三角形.我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC 与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC就是一个直角三角形. 已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：作Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°. 根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2 ∴ A′B′=c 在△ABC和△A′B′C′中， BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′ ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) ∴ ∠C=∠C′=90° 即△ABC是直角三角形. 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角 三角形. 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个 30定理互为逆定理. 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a=15，b=8，c=17；(2) a=13，b=14，c=15. 解：(1)∵ 152+82=225+64=289，172=289 ∴ 152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)∵ 132+142=169+196=365，152=225 ∴ 132+142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形. 像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港 口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12 海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航” 号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 解：根据题意， PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， QR=30. ∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2 ∴ ∠QPR=90° 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航 行. 练习 1.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什 么？ 解：将等式a2=c2-b2通过变形可得a2+b2=c2. 根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三 角形是直角三角形. 2.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. 解：(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行，此命题成立；(2)逆命题：如果两个实数的 绝对值相等，那么这两个实数相等，此命题不成立；(3)逆命题：对应角相等的两个三角形 是全等三角形，此命题不成立. 3.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方 向，C地在B地的什么方向？ 解：∵ 52+122=25+144=169，132=169 ∴ 52+122=132，即BC2+AB2=AC2 ∴ ∠B=90° ∵ A地在B地的正东方向 ∴ C地在B地的正北方向 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主. 激励学生回答问题，激发学生的求知 欲.课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率. 学生在探讨过程中 也加深了对知识的理解和记忆. 31第17章勾股定理小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会用勾股定理解决简单问题；2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角 形；3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题. (二)过程与方法：发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想，树立 数形结合的思想、分类讨论思想. (三)情感态度价值观：通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心，激 发学生的民族自豪感和爱国情怀. 二、教学重点、难点 重点：回顾并思考勾股定理及逆定理. 难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题. 三、教学过程 一、勾股定理 1.如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以运用 3.勾股定理表达式的常见变形： a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2； 、 、 . 二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个 三角形是直角三角形. 2.勾股数 32满足a2 + b2 = c2的三个正整数，称为勾股数. 3.原命题与逆命题(互为逆定理) 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命 题. 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个 定理互为逆定理. 考点一 勾股定理及其应用 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于D.(1)求AB的长； (2)求BD的长. 解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理 (2)方法一：∵ S = AC•BC= AB•CD △ABC ∴ 20×15=25CD ∴ CD=12 在Rt△BCD中，根据勾股定理 方法二：设BD=x，则AD=25-x 在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据勾股定理 得 AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2 ∴ AC2-AD2=BC2-BD2 即 202-(25-x)2=152-x2 解得 x=9，∴ BD=9 方法总结 对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高，常需结合面积的两种表示法起来考 查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解. 针对训练 1.Rt△ABC 中，斜边 BC＝2，则 AB2＋AC2＋BC2的值为( ) A.8 B.4 C.6 D.无法计算 2.如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则 AD的长为_____. 3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为_______. 4.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝8cm，c＝6cm，求△ABC的面积. 解：∵ a+b=8 ∴ (a+b)2=64，即a2+b2+2ab=64 在Rt△ABC中，根据勾股定理得 a2+b2=c2=36 ∴ 2ab=64-(a2+b2)=64-36=28 ∴ ab=7 33即△ABC的面积为7cm2. 例2 由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另 一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距(两棵树的水平距离)为12 米，求这棵树原来的高度. 解：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D. 在Rt△BCD中，BC=13m，CD=12m，根据勾股定理 (m) ∴ AD=AB+BD=9(m) 在Rt△ACD中，根据勾股定理 (m) ∴ AC+AB=15+4=19(m) 答：这棵树原来的高度是19米. 针对训练 5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个 水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度 和这根芦苇的长度各是多少？ 解：如图，设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺. 在Rt△ABC中，BC=5尺，根据勾股定理 BC2+AC2=AB2 即 52+x2=(x+1) 2 25+x2=x2+2x+1 2x=24 解得 x=12 ∴ AC=12尺，AD=13尺 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺. 6.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体 的表面爬到对角顶点C 处，问怎样走路线最短？最短路线长为 1 多少？ 解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C 点，有三种方式： 1 ①沿ABBA 和ABCD 面；②沿ABBA 和BCCB 面；③沿AADD和ABCD 面，把三种方式分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 别展成平面图形如下： ①在Rt△ABC 中，根据勾股定理得AC= =5 1 1 ②在Rt△ACC 中，根据勾股定理得AC= = 1 1 34③在Rt△ABC 中，根据勾股定理得AC= = 1 1 1 ∵ 5＜ ＜ ∴ 沿路径①走路径最短，最短路径长为5. 7.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道 现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？ 解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD=1.4米，过 C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点，连接OA. 在Rt△ABO中，OA=2米，OB=CD=1.4米，根据勾股定理得 AB2=OA2-OB2=22-1.42=2.04 ∵ 4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04＞1.96 ∴ 卡车可以通过，但要小心. 8.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东 60°方向相距1000米 的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到 达哨所东南方向的B处. (1)此时快艇航行了多少米(即AB的长)？ (2)距离哨所多少米(即OB的长)？ 解：(1)根据题意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米. ∴ AC= AO=500米，BC=OC 在Rt△AOC中，根据勾股定理得 OC= = =500 (米) ∴ BC=OC=500 (米) ∴ AB=AC+BC=(500+500 )米 (2)在Rt△BOC中，根据勾股定理得 OB= = =500 (米) 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 例3 在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b， ，2c－b＝12，求△ABC的面积. 解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k ∵ 2c-b=12 ∴ 10k-4k=12，解得 k=2 ∴ a=6，b=8，c=10 ∵ 62+82=102 ∴ BC2+AC2=AB2 ∴ △ABC为直角三角形 35∴ △ABC的面积为 ×6×8=24 例4 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船 沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相 距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 解：根据题意画出右图 ∴ BM=8×2=16(海里)，BP=15×2=30(海里)，MP=34(海里) ∵ 162+302=1156，342=1156 ∴ BM2+BP2=MP2 ∴ △MBP为直角三角形，即∠MBP=90° ∴ ∠1=180°-90°-60°=30° ∴ 乙船是沿着南偏东30°方向航行的 针对训练 9.下列各组数中，是勾股数的为( ) A.32、42、52 B. 、 、 C.0.3、0.4、0.5 D.30、40、50 10. 命 题 “ 在 同 一 个 三 角 形 中 ， 等 边 对 等 角 .” 的 逆 命 题 是 ______________________________ 是________(填“真命题”或“假命题”) 11.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的 有__________. 考点三 勾股定理与折叠问题 例5 如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合， 折痕为EF，求△ABE的面积. 解：∵ 长方形ABCD折叠，使点B与点D重合 ∴ DE=BE 设AE=x cm，则DE=BE=(9-x)cm 在Rt△ABE中，根据勾股定理 AB2+AE2=BE2 即 32+x2=(9-x)2，解得x=4 ∴ △ABE的面积为 ×3×4=6(cm2) 针对训练 12.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕是DE，则CD的长为________. 36平行四边形的性质(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质. (二)过程与方法：会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有 关的论证. (三)情感态度价值观：培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力. 二、教学重点、难点 重点：1.理解平行四边形的概念；2.掌握平行四边形边、角的性质. 难点：利用平行四边形边、角的性质解决问题. 三、教学过程 图片欣赏 37相关概念 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.记作：□ABCD 3.读作：平行四边形ABCD 4.对边、对角、对角线 5.几何语言：(双重含义) Ⅰ ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形 Ⅱ ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC 探究 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还 有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等. 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C. 证明：连接AC ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AB∥CD ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4 又 AC是△ABC和△CDA的公共边 ∴ △ABC≌△CDA (ASA) ∴ AB=CD，BC=DA，∠B=∠D 又 ∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ ∠1+∠4=∠2+∠3 即 ∠BAD=∠DCB 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AB∥CD ∴ ∠B+∠A=180°，∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠C 同理，∠B=∠D 形成定理 平行四边形性质定理1：平行四边形的对边平行且相等 平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D 例1 如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F. 求证AE=CF. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C，AD=CB ∵ DE⊥AB，BF⊥CD 38∴ ∠AED=∠CFB=90° ∴ △ADE≌△CBF (AAS) ∴ AE=CF 知识回顾 1.两点间的距离：连接两点的线段的长度. 2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和 性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行 线段都相等. 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离. 两条平行线间的距离处处相等. 两条平行线间的距离与点与点之间的距离，点到直线的距离有何联系与区别？ 练习 1.在□ABCD中，(1)已知AB=5，BC=3，求它的周长；(2)已知∠A=38°，求其余各内角的度 数. 解：(1)□ABCD的周长为：5+5+3+3=16； (2)∠B=142°，∠C=38°，∠D=142°. 2.如图，剪两张对边平行的的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形. 转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？ 解：AD=BC. 理由：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质， 效果比较好. 例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式练习，使教师能根据 学生的掌握情况及时解决学生在练习的过程中发现问题，并指出错误，规范说理过程，极 大提高课堂效率. 39平行四边形的性质(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.能通过观察、测量、试验获得数学猜想，并进一步给出证明，得出 “平行四边形对角线互相平分”的结论；2.会用平行四边形的性质进行有关证明和计算. (二)过程与方法：通过经历平行四边形性质的探索过程，发展学生观察、试验、归纳等合 情推理能力和演绎推理能力. (三)情感态度价值观：1.学生在数学学习活动中获得成功的体验，激励他们锲而不舍的探 究精神，形成积极参与、合作学习的学习习惯；2.通过平行四边形性质的应用，进一步认 识数学与生活的密切联系. 二、教学重点、难点 重点：行四边形对角线互相平分的性质. 难点：利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题. 三、教学过程 知识回顾 上节课我们学习了平行四边形的一些性质，现在来回忆一下：如图，四边形 ABCD是平 行四边形，请同学们说出□ABCD的有关性质.相关概念 平行四边形的对边平行且相等 平行四边形的对角相等 40定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D 探究 如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关 系？你能证明发现的结论吗？ 猜想：在□ABCD中，OA=OC，OB=OD. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AD=BC ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ △AOD≌△COB (ASA) ∴ OA=OC，OB=OD 形成定理 平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD 例2 如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的 面积. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ BC=AD=8，CD=AB=10 ∵ AC⊥BC，∴ △ABC是直角三角形 根据勾股定理，AC= = =6 又 OA=OC，∴ OA= AC=3，S =BC•AC=8×6=48 □ABCD 练习 1.如图，在□ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14. △AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长 哪个长？长多少？ 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ BC=AD=10，AB=CD OA=OC= AC= ×8=4 OB=OD= BD= ×14=7 ∴ △AOD的周长=OA+OD+AD=4+7+10=21 ∵ △ABC的周长=AB+BC+AC=AB+10+8=AB+18 △DBC的周长=CD+BC+BD=CD+10+14=CD+24=AB+24 ∴ △DBC的周长比△ABC的周长更长，长6cm. 2.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F.求 证OE=OF. 41证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，OA=OC ∴ ∠OAE=∠OCF 又 ∠AOE=∠COF ∴ △AOE≌△COF (ASA) ∴ OE=OF 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 通过分组讨论学习和自主探究，加强了学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间 的合作意识增强，与同学交流学习的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间 的教学和谐，使得教学过程更加流畅. 平行四边形的判定(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.经历并了解平行四边形判别方法的探索过程，使学生逐步掌握说理的 基本方法；2.探索并掌握平行四边形的判别方法，能根据判别方法进行有关的应用. (二)过程与方法：1.通过实验、观察、猜想、验证、推理、交流等探究活动，进一步培养 学生的动手能力、合情推理能力；2.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，体 验教学活动充满着探索性和挑战性，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的 表达能力. (三)情感态度价值观：1.经过自主探素与合作交流，敢于发表自己的观点，养成一种勇于 探索、勇于质疑的精神及严密的数学逻辑推理论证的科学态度；2.体验数学活动来源于生 活又服务于生活，提高学生的学习兴趣. 二、教学重点、难点 重点：掌握平行四边形的判定定理 难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题. 三、教学过程 知识回顾 平行四边形的性质： 边：平行四边形的对边平行且相等； 42∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC 角：平行四边形的对角相等； ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ，∴ ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线：平行四边形的对角线互相平分. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD 思考 反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就 是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(证明过程) 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接BD. ∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB ∴ △ABD≌△CDB (SSS) ∴ ∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD ∴ AB∥CD，AD∥CB ∴ 四边形ABCD是平行四边形 定理应用格式： ∵ AB=CD，AD=CB ∴ 四边形ABCD是平行四边形 平行四边形判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(证明过程) 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360° 又 ∠A=∠C，∠B=∠D ∴ ∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180° ∴ AB∥CD，AD∥CB ∴ 四边形ABCD是平行四边形 定理应用格式： ∵ ∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是平行四边形 平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形(证明过程) 如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵ OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB ∴ △AOD≌△COB (SAS) ∴ ∠OAD=∠OCB ∴ AD∥BC 同理 AB∥DC 43∴ 四边形ABCD是平行四边形 定理应用格式： ∵ OA=OC，OB=OD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 例3 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.求证： 四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO，BO=DO ∵ AE=CF ∴ AO-AE=CO-CF 即 EO=FO 又 BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形 你还有其它证明方法吗？ 练习 1.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？并说明理由. 答：AD∥BC，DE∥CF，AB∥DC∥EF. 理由： ∵ AB=DC，AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AB∥DC ∵ DC=EF，DE=CF ∴ 四边形DCFE是平行四边形 ∴ DE∥CF，DC∥EF 因此，AD∥BC，DE∥CF，AB∥DC∥EF. 2.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证BE=DF. 证法1：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC，OB=OD ∵ E，F分别是OA，OC的中点 ∴ OE= OA，OF= OC ∴ OE=OF 又 ∠BOE=∠DOF ∴ △BOE≌△DOF (SAS) ∴ BE=DF 证法2：连接DE，BF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC，OB=OD ∵ E，F分别是OA，OC的中点 ∴ OE= OA，OF= OC ∴ OE=OF ∴ 四边形DEBF是平行四边形 ∴ BE=DF 44课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想 象的基础上加以引导点拨. 判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自 发的需要. 在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多 解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上. 平行四边形的判定(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法；2.会综合运用 平行四边形的四种判定方法和性质来证明. (二)过程与方法：在学生熟练掌握平行四边形的判定方法的基础上，通过定理、习题的分 析和证明，提高学生的逻辑思维能力，进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联 系. (三)情感态度价值观：1.通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分 析问题的能力；2.培养学生的合情推理能力及严谨的书写表达，体会几何思维的真正内涵. 二、教学重点、难点 重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法. 难点：综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明. 三、教学过程 知识回顾 我们学过的平行四边形的判定有哪些： 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 45判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 思考 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组 对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC. ∵ AB∥CD ∴ ∠1=∠2 又∵ AB=CD，AC=CA ∴ △ABC≌△CDA (SAS) ∴ BC=DA ∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形. 判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理应用格式： ∵ AB∥CD，AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 例4 如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD，EB∥FD ∵ E，F分别是AB，CD的中点 ∴ EB= AB，FD= CD ∴ EB=FD ∴ 四边形EBFD是平行四边形 练习 3.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平 行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的 道理吗？ 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F 为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形. 证明：∵ AE⊥BD，CF⊥BD ∴ ∠AED=∠CFB=90°，∠AEF=∠CFE=90° ∴ AE∥CF ∵ 四边形ABCD是平行四边形 46∴ AD∥BC，AD=BC ∴ ∠ADE=∠CBF ∴ △ADE≌△CBF (AAS) ∴ AE=CF ∴ 四边形AFCE是平行四边形 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 三角形的中位线 一、教学目标 (一)知识与技能：1.掌握三角形的中位线的概念和定理；2.能正确应用三角形的中位线定 理. (二)过程与方法：通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证 的方法证明猜想是否正确. (三)情感态度价值观：结合实际问题，进一步理解三角形中位线的概念及性质，培养学生 的 创造性思维. 二、教学重点、难点 重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线. 难点：中位线定理的证明方法. 三、教学过程 做一做 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 47猜想：增加的线段与它所对的边有什么关系？ 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边 中点的线段叫做三角形的中位线. 一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？ 探究 观察上图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之 间有什么数量关系？ 猜想：DE∥BC，且DE= BC. 动态演示 定理证明 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE= BC. 证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE=EC，DE=EF ∴ 四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴ CF∥BD，CF=BD ∴ 四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE= DF ∴ DE∥BC，且DE= BC 你还有其它证法吗？ 证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC. ∵ AE=CE，∠AED=∠CEF ∴ △ADE≌△CFE (SAS) ∴ AD=CF，∠ADE=∠F ∴ AD∥CF 48∴ BD∥CF，BD=CF ∴ 四边形BCFD是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE= DF ∴ DE∥BC，且DE= BC 三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 定理应用格式： ∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC，且DE= BC. 练习 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能 画出多少个平行四边形？为什么？ 解：连接DE，DF，EF，可以得到，□DECF，□BEFD，□ADEF， 3个平行四边形.理由如下： ∵ DE，DF，EF是△ABC的中位线 ∴ DE∥AC，DE= AC，DF∥BC，DF= BC，EF∥AB， EF= AB ∴ DE∥FC，DE=FC，DF∥BE，DF=BE，EF∥AD，EF=AD ∴ 四边形DECF，BEFD，ADEF是平行四边形 2.如图，直线 l∥l ，在 l ，l 上分别截取AD，BC，使AD=BC，连接AB，CD. AB和CD有什 1 2 1 2 么关系？为什么？ 解：AB∥CD，AB=CD. 理由如下： ∵ l∥l 1 2 ∴ AD∥BC 又∵ AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AB=CD 3.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样测出A，B两点间的 距离？根据是什么？ 解：分别取AC，BC的中点D，E，连接DE，测量出DE的距 离 ， 然后根据三角形的中位线定理可知AB=2DE. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课，通过做一做引出三角形的中位线，又从动画演示和理论上进行了验证中位线 的性质定理.在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机.对整个课堂的学习 过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地 进行知识建构，实现良性循环. 49矩形的性质 一、教学目标 (一)知识与技能：理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理，能运用它进行有关的证明和计 算. (二)过程与方法：经历从平行四边形到矩形的研究过程，体验“从一般到特殊”的研究方 法，知道矩形与平行四边形的关系. (三)情感态度价值观：通过动手操作、观察比较、合作交流，激发学生的学习兴趣，体验 探索与创造的快乐，感受数学的严谨性，体会数学的美. 二、教学重点、难点 重点：理解并掌握矩形的性质定理及推论，会用矩形的性质定理及推论进行推导证明. 难点：会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算. 三、教学过程 知识回顾 平行四边形的定义，及其边，角，对角线都有哪些性质呢？ 50定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 两组对边分别平行；即：AD∥BC，AB∥CD 对边相等；即：AB=DC，AD=BC 对角相等；即：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA 对角线互相平分.即：AO=CO，BO=DO 矩形 现在来看一个平行四边形，当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的 特殊情况.这时的图形是什么图形呢？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形. 探究 如图，在平行四边形的活动框架上，用橡皮筋做出两条对角线，改变这个平行四边形 的形状.随着∠α的变化，两条对角线的长度怎样变化？当∠α变为直角时，平行四边形 成为一个矩形，这时它的其它内角是什么样的角？它的两条对角线有什么关系？ 作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外，矩形还有以下性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD 你能证明矩形的这两个性质吗？ 求证：矩形的对角线相等. 已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ AB=DC，BC=CB ∴ △ABC≌△DCB (SAS) 51∴ AC=BD 即 矩形的对角线相等 思考 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是 斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ BO= BD= AC 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 定理应用格式： ∵ 在Rt△ABC中，OA=OC ∴ OB= AC. 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长. 解：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB 又 ∠AOB=60° ∴ △OAB是等边三角形 ∴ OA=AB=4 ∴ AC=BD=2OA=8 练习 1.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°，求这个矩形的边长(结 果保留小数点后两位). 解：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB=OC= ×AC= ×8=4 ∵ ∠AOD=120°，∴ ∠AOB=60° ∴ △OAB是等边三角形 ∴ AB=OA=4 又 ∠ABC=90° ∴ 在Rt△ABC中，BC= = = ≈6.93 ∴ 矩形的边长分别是4和6.93 2.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 解：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 52课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩 大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课 堂教学真正落实到学生的发展上. 矩形的判定 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解并掌握矩形的判定方法；2.使学生能应用矩形的定义、判定等知 识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力. (二)过程与方法：1从矩形性质定理的逆命题出发，提出猜想发现结论，然后给出证明进 一步理解互逆命题的意义，体会矩形的性质与判定的区别与联系；2.让学生经历探索矩形 判定定理的过程理解并掌握矩形的判定方法积累几何学习的经验，发展合情推理和演绎推 理的能力. (三)情感态度价值观：在课堂活动中，通过观察、思考、猜想、证明，培养学生主动参与、 乐于探究、勤于动手的学习习惯. 53二、教学重点、难点 重点：矩形判定定理的运用. 难点：矩形判定方法的理解及应用. 三、教学过程 忆一忆 1.矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 想一想 工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB=CD，EF=GH； (2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是___________，根据的数学道理 是______________________________________； (3)将直角尺靠窗框的一个角，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗 框无缝隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是_____，根据的数学道理是____________ ____________________________________. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边 的长是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相 等，以确保图形是矩形. 你知道其中的道理吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 思考 我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平 行四边形是矩形吗？ 已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ 四形边ABCD是平行四边形 ∴ AB=DC，AB∥DC 又 AC=BD，BC=CB ∴ △ABC≌△DCB (SSS) ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB∥DC ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 想一想 54对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？ 思考 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是 直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 定理应用格式： ∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 例2如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°. 求∠OAB的 度数. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC= AC，OB=OD= BD 又 OA=OD ∴ AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠DAB=90° 又 ∠OAD=50° ∴ ∠OAB=40° 练习 1.八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛.计划用红花摆成两条对角线.如果一条 对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49 盆呢？ 解：由于矩形对角线互相平分且相等，所以如果一条对角线用了38 盆红花，那么还需要从花房运来38盆红花；如果一条对角线用了49 盆红花，那么在对角线的交点处一盆，两边各24盆，所以还需要从 花房运来48盆红花. 2.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4，求□ABCD的 面积. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AC=2AO，BD=2BO ∵ △OAB是等边三角形 ∴ AO=BO=AB=4 ∴ AC=BD=8 ∴ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=90° ∴ 在Rt△ABC中，BC= = = ∴ S =AB×BC=4× = □ABCD 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的 55过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法. 教师在例题练习的教学中，若能适当 地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维， 提高课堂教学的效率. 菱形的性质 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质；2.理解菱形的面积公式，会 选择适当的方法计算菱形的面积. (二)过程与方法：1.通过观察、实验、猜想、验证、推理交流等数学活动，发展学生的合 情推理能力和动手操作能力及应用数学的意识与能力；2.通过运用菱形知识解决具体问题 培养逻辑推理的能力和演绎能力. (三)情感态度价值观：在应用菱形性质的过程中培养学生独立思考的习惯，在数学学习活 动中获得成功的体验，通过菱形性质的探索学习，体会它的内在美和应用美. 二、教学重点、难点 56重点：掌握菱形的定义和性质及菱形面积的求法. 难点：灵活运用菱形的性质解决问题. 三、教学过程 菱形定义 我们观察平行四边形的一组邻边，如图，当这组邻边相等时，这时的平行四边形也是 一个特殊的平行四边形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 折一折、剪一剪 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开后你知道它是什么图 形吗？ 从中你能得到菱形的哪些性质？ 菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 菱形还有以下性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD AC平分∠BAD，AC平分∠BCD BD平分∠ABC，BD平分∠ADC 求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于O点. 求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=AD，OB=OD ∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD (等腰三角形的三线合一) 同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC. 57如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分 成四个全等的三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形. 由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？ S =4 =4× AO×BO= ×2AO×2BO= ×AC×BD 菱形ABCD S△ABO 例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小 路AC和BD，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一 位). 解：∵ 花坛ABCD的形状是菱形 ∴ AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30° 在Rt△OAB中，AO= AB= ×20=10 BO= = = ∴ 花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)、BD=2BO= ≈34.64(m) 花坛的面积S = AC·BD= ≈346.4(m2) 菱形ABCD 练习 1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长. 解：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD，BD=2OB，AC=2AO=8 在Rt△AOB中，OB= = =3 ∴ BD=6 2.已知菱形的两对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积. 解：∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6 ∴ AC⊥BD，AO= AC=4，BO= BD=3 在Rt△AOB中，OB= = =5 ∴ C =4×5=20 菱形ABCD S = ×6×8=24 菱形ABCD 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 58通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教 师加以引导. 但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问 题就上升到证明这个环节. 在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用. 课堂中学 生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人. 为 学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索， 不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气. 菱形的判定 一、教学目标 (一)知识与技能：经历菱形的判定方法的探究过程，掌握菱形的三种判定方法. (二)过程与方法：经历利用菱形的定义探究菱形其它判定方法的过程，培养学生动手实验、 观察、推理的意识，发展学生的逻辑思维能力和演绎能力. (三)情感态度与价值观：在探究菱形判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的 判定和性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 二、教学重点、难点 重点：菱形的判定定理的探究. 59难点：菱形的性质与判定的综合应用. 三、教学过程 忆一忆 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角 线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 探究 用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字架， 四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形呢？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO ∵ BD⊥AC ∴ AB=BC (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等) ∴ □ABCD是菱形 思考 我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？ 求证：四条边相等四边形是菱形. 已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵ AB=CD，BC=AD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 又∵ AB=BC ∴ 四边形ABCD是菱形 菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形的判定定理2：四条边相等四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD ∴ 四边形ABCD是菱形 例4如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：□ABCD是菱形. 证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3 ∴ AB2=AO2+BO2 ∴ △OAB是直角三角形 60∴ AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形 练习 2.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平 行四边形吗？为什么？求出它的面积. 解：四边形ABCD是菱形.理由如下： ∵ 四边形ABCD是平形四边形，AB=9，AC=12，BD= ∴ AO= AC=6，BO= BD= ∵ 62+( )2=92 即 AO2+BO2=AB2 ∴ AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 ∴ S = ×12× = 菱形ABCD 3.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解：四边形ABCD是菱形.理由如下： ∵ AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形过点A分别作BC，CD边上 的高AE，AF，则AE=AF. ∵ S =BC×AE=CD×AF □ABCD ∴ BC=CD ∴ 四边形ABCD是菱形 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再 由浅入深，学会灵活运用. 通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会 灵活运用. 正方形 一、教学目标 (一)知识与技能：1.要求学生掌握正方形的概念及性质；2.能正确运用正方形的性质进行 简单的计算推理论证；3.掌握正方形的判定条件. (二)过程与方法：1.通过本节课培养学生观察动手探究、分析、归纳、总结等能力；2.发 展学生合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法. (三)情感态度与价值观：让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风，培养学生互 相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神，通过正方形图形的完美性，培养学生的美感. 二、教学重点、难点 重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系. 61难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用. 三、教学过程 生活情境 正方形*自我介绍* 在四边形的大家庭中，我有四个兄弟. 老大是平行四边形，它性格温和；老二是矩形，它稳重大方，江湖上人称长方形；老三是 菱形，它活泼可爱.我就是正方形老四，我集三位大哥的优点于一身，人见人爱. 正方形的四个角都是_____，四条边都_____.因此，正方形既是 ______，又是______，它既有______的性质，又有______的性质. 正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 实验探究 实验一：利用手中矩形纸片用最快的方法剪出一个正方形. 实验二：如何将一个活动的菱形框变成一个正方形？ 思考 1.如果四边形ABCD已经是一个矩形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 2.如果四边形ABCD已经是一个菱形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 3.如果四边形ABCD是一般的平行四边形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等且有 一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形有哪些性质？ 62例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O， 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表 或用框图表示出来吗？ 练习 1.(1)把一个长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ (2)如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？ 2.如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测量知 EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 解：连接AC. ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠B=90°，AB=BC 在Rt△BCE中，BC= = = (m) ∴ S = =800(m2) 正方形ABCD 在Rt△ABC中，AC= =40(m) 3.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的菱形； (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 63四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 第18章平行四边形小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：建立平行四边形及特殊平行四边形的知识框架，掌握平行四边形及特殊 平行四边形的判定，并能熟练应用. (二)过程与方法：通过对几种平行四边形的回顾和思考，使学生梳理所学的知识，系统地 复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义，性质，判定方法，正确理解平行四边形与 各种特殊平行四边形的联系与区别. (三)情感态度与价值观：在反思与交流过程中，逐渐建立知识体系，引导学生学会独立思 考，通过学习，归纳，概括等数学活动，形成好的学习习惯. 二、教学重点、难点 64重点：平行四边形及各种特殊的平行四边形的定义，性质，判定的梳理，理解. 难点：平行四边形及各种特殊的平行四边形的区别. 三、教学过程 知识梳理 一、几种特殊四边形的性质 二、几种特殊四边形的常用判定方法： 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 四、其他重要概念及性质 1.两条平行线间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离. 2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 65考点讲练 考点一 平行四边形的性质与判定 例1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别 为AG、CD的中点，连接DE、FG. (1)求证：四边形DEGF是平行四边形； (2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，CD＝10，求四边形AGCD的面积. (1)证明：∵ AG∥CD，AD∥BC ∴ 四边形AGCD是平行四边形 ∴ AG=CD ∵ E、F分别为AG、CD的中点 ∴ EG= AG，DF= CD ∴ EG=DF且EG∥DF ∴ 四边形DEGF是平行四边形 (2)解：∵ 点G是BC的中点，BC=12 ∴ BG=CG= BC=6 ∵ 四边形AGCD是平行四边形 ∴ AG=CD=10 在Rt△ABG中，根据勾股定理 =8 ∴ S =6×8=48 四边形AGCD 例2 如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边DA的延长线上，且AF＝CE，EF与AB 交于点G. (1)求证：AC∥EF； (2)若点G是AB的中点，BE＝6，求边AD的长. (1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC ∴ AF∥CE 又∵ AF=CE ∴ 四边形AFEC是平行四边形 ∴ AC∥EF (2)解：∵ AD∥BC，∴ ∠F=∠BEG，∠FAG=∠B ∵ 点G是AB的中点，∴ AG=BG ∴ △AGF≌△BGE (AAS) ∴ AF=BE=6 ∴ CE=AF=6 ∴ BC=BE+CE=12 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD=BC=12 针对训练 1.如图，在□ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则BC的长为( ) A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm 662.如图，在□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝28cm，则 △BOC的周长是( ) A.45cm B.59cm C.62cm D.90cm 3.如图①是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图②.雨刷EF⊥AD，垂足为A， AB＝CD，AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结 论. 证明：∵ AB=CD，AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC ∵ EF⊥AD ∴ EF⊥BC 4.在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F， DE∥AB交直线AC于点E. (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC. (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请 分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明. (3)若AC＝6，DE＝4，求DF的值. 证明：(1)∵ DF∥AC，DE∥AB ∴ 四边形AFDE是平行四边形，∴ AF=DE ∵ DF∥AC，∴ ∠FDB=∠C ∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C ∴ ∠FDB=∠B，∴ DF=BF ∴ DE+DF=AF+BF=AB=AC 解：(2)图②中：AC+DE=DF；图③中：AC+DF=DE. (3)当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10. 考点二 三角形的中位线与Rt△斜边上的中线 例3 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高. (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)求证：∠DHF＝∠DEF. 证明：(1)∵ 点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点 ∴ DE、EF都是△ABC的中位线 ∴ DE∥AC，EF∥AB ∴ 四边形ADEF是平行四边形 67(2)∵ 四边形ADEF是平行四边形 ∴ ∠DEF=∠BAC ∵ D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高 ∴ DH、FH分别是Rt△ABH和Rt△ACH斜边上的中线 ∴ DH=AD，FH=AF ∴ ∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA ∵ ∠DAH+∠FAH=∠BAC ∠DHA+∠FHA=∠DHF ∴ ∠DHF=∠BAC ∴ ∠DHF=∠DEF 针对训练 5.如图，等边△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 6.如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝ 28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝_____. 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F， 使CF＝ BC.若AB＝12，求EF的长． 解：连接CD ∵ 点D，E分别是边AB，AC的中点，且∠ACB=90° ∴ DE∥BC，DE= BC，DC= AB ∵ CF= BC ∴ DE=CF且DE∥CF ∴ 四边形DEFC是平行四边形 ∴ DC=EF ∴ EF= AB=6 考点三 特殊平行四边形的性质与判定 例4 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作 DE∥AC，两线相交于点E. (1)求证：四边形AODE是菱形； (2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥DE于点E，求∠AOD的度数. (1)证明：∵ AE∥BD，DE∥AC ∴ 四边形AODE是平行四边形 ∵ 四边形ABCD是矩形 68∴ AC=BD，OA= AC，OD= BD ∴ OA=OD ∴ 四边形AODE是菱形 (2)解：连接OE. 由(1)得，四边形AODE是菱形，∴ AE=AO=BO ∵ AE∥BO，∴ 四边形AEOB是平行四边形 ∵ BE⊥DE，DE∥AC，∴ BE⊥AO ∴ 四边形AEOB是菱形 ∴ AE=AB=BO ∴ AB=BO=AO ∴ △AOB是等边三角形 ∴ ∠AOB=60° ∴ ∠AOD=180°-60°=120° 例5 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF＝AE. (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论. 解：(1)四边形BECF是菱形.理由如下： ∵ EF垂直平分BC，∴ BF=CF，BE=CE ∴ ∠3=∠1 ∵ ∠ACB=90°，∴ ∠3+∠A=90°，∠1+∠2=90° ∴ ∠2=∠A，∴ CE=AE ∴ BE=AE ∵ CF=AE ∴ BE=CE=CF=BF ∴ 四边形BECF是菱形 (2)当∠A=45°时，四边形BECF是正方形. 证明：∵ ∠A=45°，∠ACB=90° ∴ ∠CBA=45° ∵ 四边形BECF是菱形 ∴ ∠EBF=2∠CBA=90° ∴ 菱形BECF是正方形 方法总结 正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定 四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形， 再用①或②进行判定. 针对训练 8.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的 是( ) A.四边形ACDF是平行四边形 B.四边形ACDF不可能是正方形 C.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 D.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 699.如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_____. 10.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F 分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长. (1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AB=DA 在△ABE和△DAF中 ∴ △ABE≌△DAF (ASA) (2)解：∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠1+∠4=90° ∵ ∠3=∠4 ∴ ∠1+∠3=90° ∴ ∠AFD=90° 在正方形ABCD中，AD∥BC ∴ ∠1=∠AGB=30° 在Rt△ADF中，∠1=30°，AD=2 ∴ DF=1，AF= 由(1)得△ABE≌△DAF ∴ AE=DF=1 ∴ EF=AF-AE= 11.如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分 线于点E，交外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF. (1)求证：∠ECF＝90°； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由； (3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时，四边形AECF为正方形. (1)证明：∵ CE平分∠BCA，CF平分∠ACG ∴ ∠ACE= ∠BCA，∠ACF= ∠ACG ∴ ∠ECF=∠ACE+∠ACF= (∠BCA+∠ACG)= 90° (2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. 理由如下： ∵ MN∥BC，∴ ∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF ∵ CE平分∠BCO，CF平分∠GCO ∴ ∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF ∴ ∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC ∴ EO=CO，FO=CO，∴ OE=OF ∵ 当点O运动到AC的中点时，AO=CO 70∴ 四边形AECF是平行四边形 ∵ ∠ECF=90° ∴ 四边形AECF是矩形 (3)解：当点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形. 由(2)得，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形 ∵ MN∥BC ∴ ∠AOE=∠ACB=90° 即 AC⊥EF ∴ 四边形AECF为正方形 变量 一、教学目标 (一)知识与技能：了解变量、常量的概念，在具体问题情境中，能识别变量与常量. (二)过程与方法：经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清 晰地阐述自己观点，逐步感知变量间的关系. (三)情感态度与价值观：经历函数概念的形成过程，体会变化与对应的数学思想，感悟事 物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想. 二、教学重点、难点 重点：掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法. 难点：体会变化与对应的数学思想，感悟事物之间相互联系. 三、教学过程 万物皆变 “万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树 龄而变化…… 71问题1 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h. 1.请同学们根据题意填写下表： t/h 1 2 3 4 5 s/km 2.在以上这个过程中， 变化的量是：_______________；不变化的量是：_____________. 3.试用含 t 的式子表示 s ：________. 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程___随行驶时间___的变化过程. 问题2 电影票售价为10元/张.第一场售出票150张票，第二场售出票205张票，第三场售 出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入y 元. 1.第一场票房收入=_________________； 第二场票房收入=_________________； 第三场票房收入=_________________. 2.在以上这个过程中，变化的量是：________________________；不变化的量是： __________. 3.试用含 x 的式子表示 y ：________. 这个问题反映了票房收入____随售票张数____的变化过程. 问题3 你见过水中涟漪吗，如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径 r 分 别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？ 1.圆的面积公式：_______. 当r=10cm时，S=____________； 当r=20cm时，S=____________； 当r=30cm时，S=____________. 2.在以上这个过程中， 变化的量是：______________________；不变化的量是：___________. 这个问题反映了圆的面积____随圆的半径____的变化过程. 问题4 用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长 x 分别为3m，3.5m，4m，4.5m时， 它的邻边长 y 分别为多少？ 1.请同学们根据题意填写下表： x/m 3 3.5 4 4.5 y/m 2.在以上这个过程中， 变化的量是：__________________；不变化的量是：_________. 723.试用含 x 的式子表示 y ：_______. 这个问题反映了矩形的一邻边长___随另一边长___的变化过程. 归纳 1.小结：在上面的问题反映了不同事物的变化过程，其中有些些量(例如时间 t，路程 s； 售出票数 x，票房收入 y；圆的面积 S，半径 r…)的值按照某种规律变化；有些量的值始 终不变(例如汽车的速度60km/h，电影票的单价10元/张，圆周率π…). 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 2.剖析：s = 60t，y =10x，S=πr2. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 练习 指出下列问题的变量和常量： (1)某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x t，月应交水费为 y 元. 解：变量是用水量x和应交水费y，常量是水价4元/t. (2)某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时 间为 t min，话费卡中的余额为 w 元. 解：变量是通话时间 t 和话费余额 w，常量是话费0.2元/min和存入话费30元. (3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为 r，圆周长为 C，圆周率(圆周长与直径 之比)为π. 解：变量是圆的半径r和圆的周长C，常量是圆周率π. (4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入 x 本，第二个抽屉放 入 y 本. 解：变量是第一个抽屉放入的本数 x 和第二个抽屉放入的本数 y，常量是10本书. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 整个教学过程中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力 与结果的即兴评价. 应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体会，以此激发和 培养学生的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实 提高学生的学习兴趣，降低函数学习入门的难度. 函数 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数；2.理解 函数值并会计算. (二)过程与方法：经历由实际问题得出数学概念的过程，发展学生的分析问题，解诀问题 的能力. (三)情感态度与价值观：会用运动的观点观察事物，分析事物，体验生活中的函数关系. 二、教学重点、难点 重点：了解函数的概念，弄清函数与自变量之间的关系. 难点：确定函数中自变量的取值范围. 三、教学过程 忆一忆 甲、乙两地相距 s 千米，某人行驶全程所用的时间t(小时)与他的速度 v(千米/时)满 73足 vt = s，在这个变化过程中，下列判断中错误的是( ) A. s 是变量 B. t 是变量 C. v 是变量 D. s 是常量 问题1 在上一节课课本P 的问题(1)～(4)中，是否都存在两个变量？请你写出能表示同 71 一个问题中的两个变量之间对应关系的式子. 问题(1)～(4)中都存在两个变量，表示两个变量之间的关系式分别为：s = 60t，y =10x，S=πr2，y=5-x. 问题2在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？当一个变量取定一个 值时，另一个变量的值是唯一确定的吗？两个变量之间的对应关系有什么共同特征？ 上面4个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就 有唯一确定的值与其对应. 思考 (1)如图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x表示时间，纵坐标 y 表示心脏部 位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确 定的值与其对应值吗？ (2)下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量 x 与 y，对于 表中每一个确定的年份 x，都对应着一个确定的人口数 y 吗？ 思考中的(1)(2)都满足 y 随 x 的变化而变化，且当 x取定一个值时，y 都有唯一确 定的值与其对应. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 在P 的问题(1)～(4)及前面思考(1)(2)的两个变量中，哪些是自变量，哪些是自变量 71 的函数. 当 t =1时，函数值 s =60； 当 t =2时，函数值 s =120；…… (1)在心电图中，时间 x 是自变量，心脏部位的生 物电流 y 是 x 的函数. (2)在人口数统计表中，年份 x 是自变量，人口数 y 是x 的函数. 当 x =1984时，函数值 y =10.34； 74当 x =1989时，函数值 y =11.06；…… 例1 汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y(单位:L)随行驶路程 x(单位:km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子. (2)指出自变量 x 的取值范围. (3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？ 解：(1)行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x的函数，它们的关系为y =50-0.1 x 0.1 x表示什么意思？ (2)仅从式子 y =50-0.1x 看，x 可以取任意实数.但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路 程，因此 x 不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即 0.1x≤50 因此，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤500 (3)汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数 y =50-0.1x 在 x =200时的函数值. 将 x =200代入 y =50-0.1x，得 y=50-0.1×200=30 汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油. 像 y =50-0.1 x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描 述函数的常用的方法.这种式子叫做函数的解析式. 练习 1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式. (1)改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变. (2)每分向一水池注水0.1m3，注水量y(单位：m3)随注水时间x(单位：min)的变化而变化. (3)秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面 积y(单位：m2)随这个村人数n的 变化而变化. (4)水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，水池中的水量V(单位：L)随时间t(单位：h) 的变化而变化. 解：(1)x是自变量，S是x的函数，S=x2.(2) x是自变量，y是x的函数，y=0.1x. (3) n是自变量，y是n的函数，y= .(4) t是自变量，V是t的函数，V=10-0.05t. 2.梯形的上底长2cm，高3cm，下底长x cm大于上底长但不超过5cm.写出梯形面积S关 于x的函数解析式及自变量x的取值范围. 解：面积S关于x的函数解析式为 ，整理得 ，自变量x的取值范 围是 2＜x≤5. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在教学过程中，注意通过对以前学过的“常量与变量”的回顾与思考，提供生动有趣 的问题情境，激发学生的学习兴趣；并通过层层深入的问题设计，引导学生进行观察、操 作、交流、归纳等数学活动，在活动中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交流、生生 交流、辨析识别等加深学生对函数概念的理解. 75函数的图象(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.学会用列表、描点、连线画函数图象；2.提高识图能力分析函数图象 信息能力. (二)过程与方法：学会观察、分析函数图象信息，体会数形结合思想，并利用它解决问题， 提高解诀问题能力. (三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成 功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣. 二、教学重点、难点 重点：1.函数图象的画法；2.观察分析图象信息. 难点：能够结合实际情境，从函数图象中获取信息并处理信息. 三、教学过程 76创设情境 你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变 化的？ 下图反应旋转时间t(分)与摩天轮上一点的高度h(米)之间的关系. 有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映. 即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观. 例如，正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2.根据问题的实际意义，可知自变 量x的取值范围是x＞0.我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系. 计算并填写下表： 自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值 S，是否确 定 了一个点(x，S)呢？ 在直角从标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连 接这些点. 所得曲线上每一个点代表x的值与S的值的一种对应，例 如点(2，4)表示当x=2时，S=4. 表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出 其 中有限个点，同时想象出其他点的位置. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 如左图的曲线即函数S=x2 (x＞0)的图象. 思考 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变 化而变化.你从图象中得到了哪些信息？ 可以认为，气温 T 是时间 t 的函数， 上图是这个函数的图象. 例2 如图(1)所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着 去图书馆读报，然后回家.图(2)反映了这个过程中，小明离家的距离 y 与时间 x 之间的 对应关系. 根据图象回答下列问题： 77(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？ (3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ (4)小明读报用了多少时间？ (5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 解：(1)由纵坐标看出，食堂离小明家0.6km；由横坐标看出，小明到食堂用了8min. (2)由横坐标看出，25-8=17，小明吃早餐用了17min. (3)由纵坐标看出，0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；由横坐标看出，28-25=3，小明从 食堂到图书馆用了3min. (4)由横坐标看出，58-28=30，小明读报用了30min. (5)由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8km；由横坐标看出，68-58=10，小明从图书馆回家 用了10min，由此算出平均速度是0.08km/min. 例3 在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数.画出 这些函数的图象： (1) y=x+0.5 (1)解：Ⅰ.列表： Ⅱ.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标 系内描出相应的点. Ⅲ.连线：把这些点用平滑曲线连接起来，就得到y=x+0.5的图象，它是一条直线. 从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0.5随之增大. (2) y= (x＞0) 解：Ⅰ.列表： Ⅱ.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标 系内描出相应的点. Ⅲ.连线：把这些点用平滑曲线连接起来，就得到y= (x＞0)的图象，它是一条曲线. 78从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y= (x＞0)随之减小. 归纳 描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描 出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 练习 1.(1)画出函数y=2x-1的图象； (2)判断A(-2.5，-4)，B(1，3)，C(2.5，4)是否在函数y=2x-1的图象上. 解：(1)函数y=2x-1的图象如右图所示. (2)∵ 2×(-2.5)-1≠-4 2×1-1≠3 2×2.5-1＝4 ∴ 点A，B不在函数y=2x-1的图象上， 点C在函数y=2x-1的图象上. 2.如图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象. (1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？ 3.(1)画出函数y=x2的图象. (2)从图象中观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x＞0时 呢？ 解：(1)画函数y=x2的图象.(列表、描点、连线) Ⅰ.列表 Ⅱ.在直角坐标系中描点. Ⅲ.用平滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象. (2)当x＜0时，y随着x的增大而减小；当x＞0时， y随着x的增大而增大. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 79本课设计的学习内容都是学生所熟知的事情，情景导入是由实例入手，这些内容有利 于学生联系实际，主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动. 通过一些 现实生活中用图象来反映的问题实例，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程. 教 学生如何观察分析图象，学会观察图象的一般步骤，利用问题串的形式引导学生逐步深入 获得图象所传达的信息，逐步熟悉图象语言. 函数的图象(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.知道函数三种表示方法、了解三种表示方法的优缺点；2.会根据具体 情况选择适当方法. (二)过程与方法：经历将实际问题转化为数学问题的过程，学会与人合作，并能与他人交 流思维的过程和结果. (三)情感态度与价值观：初步认识数学与实际生活的密切联系，发展应用意识，获得成功 体验，增强对数学的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：1.认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点，2.能由具体情况选用适当方法. 80难点：通过图象分析解决问题. 三、教学过程 忆一忆 通过前面的学习，我们都可以用什么方法表示一些函数？ 写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数.这三种表示 函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法. y=2x-1 思考 三种表示函数的方法各有什么优缺点？它们之间有什么联系？ 例4 一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度， 其中 t 表示时间，y 表示水位高度. (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现 水位变化有什么规律吗？ (2)水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式， 并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗？ (3)据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将为多少米. 解：(1)如图，描出上表中数据对应的点.可以看出，这6个 点在一条直线上.再结合表中数据，可以发现每小时水位上 升0.3m.由此猜想，如果画出这5h内其他时刻(如t =2.5h 等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上， 即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度匀速上升的. (2)由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间 t 的每一个 确定的值，水位高度 y 都有唯一的值与其对应，所以 y 是 t 的函数.开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m.函数y=0.3t+3 (0≤t≤5)是符 合表中数据的一个函数，它表示经过 t h水位上升0.3t m，即水位y为(0.3t+3)m，其图 象是右图中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB. 如果在这5h内，水位一直匀速上升， 即升速为0.3m/h，那么函数y=0.3t+3 (0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这 815h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3是确定的，因此这个函数可以近 似地表示水位的变化规律. (3)如果水位的变化规律不变，则可利用函数 y=0.3t +3 预测，再过2h，即 t =5+2=7(h) 时，水位高度 y =0.3×7+3=5.1(m).或把右图中的函数图象(线段AB)向右延伸到 t =7所 对应的位置，也能看出这时的水位高度约为5.1m. 由例4可以看出，函数的不同表示法之间可以转化. 练习 1.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m(单位：度)关于边数n的函数. 解：列表为： 解析式为：m=180(n-2) (n≥3的整数) 2.用解析式法与图象法表示等边三角形的周长 l 关于边长 a 的函数. 解：解析式为：l = 3a (a＞0) 图象：如右图所示. 3.一条小船沿直线向码头匀速前进.在0min，2min，4min， 6min 时，测得小船与码头的距离分别为 200m，150m， 100m， 50m.小船与码头的距离 s 是时间 t 的函数吗？如果是， 写 出函数解析式，并画出函数图象.如果船速不变，多长时 间 后小船到达码头？ 解：小船与码头的距离 s 是时间 t 的函数，函数解析式为： s =200-25 t (0≤t≤8) 其图象是下图中点A(0，200)和点B(8，0)之间的线段AB. 如果船速不变，当s =0时，200-25 t =0，解得 t =8，即 经过8min后小船到达码头. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 这节课的难点在于针对不同的问题如何选择这三种方法进行表示. 针对这个问题，可 通过引导学生对例子比较来解决. 这样学生通过对不同例子的比较就能很好的区分这三种 方法的特点，并能选择合适的方法. 这节课的另一个目标是让学生了解分段函数，通过两 个例子的介绍，能理解分段函数并按要求进行求值. 82正比例函数的概念 一、教学目标 (一)知识与技能：理解正比例函数的解析式，熟练地求正比例函数的解析式. (二)过程与方法：1.经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；2.经 历从一类具体实例中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力. (三)情感态度与价值观：通过列举具体实例，引进正比例函数的概念，使学生感受数学源 于生活，树立学生学好数学的自信心. 83二、教学重点、难点 重点：正确理解正比例函数的概念. 难点：根据己知条件写出正比例函数解析式. 三、教学过程 问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑 以下问题： (1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小 数点后一位)？ (2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km)与运行时间 t(单位：h)之间有何数量关系？ (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已 经过了距离始发站1100km的南京南站？ 解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h) (2)京沪高铁列车的行程 y是运行时间 t 的函数，函数解析式为：y=300t (0≤t≤4.4) (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当 t =2.5时函数 y=300t 的值，即 y=300×2.5=750(km)这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站. 思考1 y=300t 中自变量与常量用什么运算符号连接起来？ 思考2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式. (1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________. (2)铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化； ________. (3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练 习本的本数 n 的变化而变化；________. (4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单位:min)的变化而变化.________. 正比例函数 认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？ (1) l=2πr (2) m=7.8V (3) h=0.5n (4) T=-2t 正如函数 y=300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式. 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注：(1)k是常数，且k≠0；(2)自变量x的次数是1；(3)自变量x的取值范围是一切 实数；(4)y=kx，则称y与x成正比例；反之，若y与x成正比例，则可设y=kx. 练习 1.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ (1) y=-0.1x (2) y= (3) y=2x2 (4) y2=4x 解：(1)，(2)是正比例函数. 2.列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数. (1)正方形的边长为x cm，周长为y cm； (2)某人一年内的月平均收入为x元，他这年(12个月)的总收入为y元； (3)一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为x cm，体积为y cm3. 解：(1)y=4x，是正比例函数；(2)y=12x，是正比例函数；(3)y=3x，是正比例函数. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 84四、教学反思 本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现 问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法. 由学生 亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自 主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力. 正比例函数的图象与性质 一、教学目标 (一)知识与技能：1.能用两点法画正比例函数的图像；2.探索正比例函数图象性质，并能 利用函数图像性质解决简单问题. (二)过程与方法：通过正比例函数图象的学习与研究，感知数形结合思想. (三)情感态度与价值观：结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度. 二、教学重点、难点 85重点：掌握正比例函数的图像性质. 难点：利用函数图像性质解决简单问题. 三、教学过程 忆一忆 1.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程 s (米)与赛跑时间 t (秒)的关系如图所示，则下 列说法正确的是( ) A.甲、乙两人的速度相同 B.甲先到达终点 C.乙用的时间短 D.乙比甲跑的路程多 2.下列函数中是正比例函数的是______. ①y=-5x；②y= ；③y=3x2+5；④y= ；⑤y=- x-1 3.画函数图象需要经历哪些步聚？_________________. 例1 画出下列正比例函数的图象：(1) y=2x，y= x； (2) y=-1.5x，y=-4x. 解：(1) y=2x，y= x 经过原点和第三、第一象限的一条直线， 从左向右上升，y随着x的增大而增大. (2) y=-1.5x，y=-4x. 经过原点和第二、第四象限的一条直线， 从左向右下降，y随着x的增大而减小. 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它 为直线y=kx.当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大 y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y 反而减小. 思考 (1)经过原点与点(1，3)的直线是哪个函数的图象？________；若经过原点与点(1，-5)呢？ ________. (2)经过原点与点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线是哪个函数的图象？________. 86(3)画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？ 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象.一般地，过 原点和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线，即正比例函数y=kx(k≠0)的图象. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点和点(1，k)的一条直线. 练习 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： (1) y= x (2) y=-3x 解：(1) (2) 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现 问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法. 由学生 亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自 主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力. 一次函数的概念 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解一次函数的概念，以及与和正比例函数之间的关系；2.能根据所 给条件写出简单的一次函数解析式. (二)过程与方法：1.经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；2.经 历从一类具体实例中抽象出一次函数概念的过程，发展数学抽象概括能力. (三)情感态度与价值观：通过列举具体实例，引进一次函数的概念，使学生感受数学源于 87生活，树立学生学好数学的自信心. 二、教学重点、难点 重点：会根据已知信息写出一次函数的解析式. 难点：理解一次函数的意义和写出实际问题中函数的解析式. 三、教学过程 问题2 某登山队大本营所在地的气温为5℃.海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大 本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x的关系. 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加 x km时，气温从5℃减少 6x℃.因此y与x的函数解析式为 y=5-6x 这个函数也可以写为 y=-6x+5 这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？ 当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温就是当x=0.5时函数 y=-6x+5的值，即 y=-6×0.5+5=2(℃) 思考 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.这些函 数解析式有哪些共同点？ (1)有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t(单位:℃)有关，即c的值 约是t的7倍与35的差.____________________. (2)一种计算成年人标准体重G(单位:kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减 常数105，所得的差是G的值.______________. (3)某城市的市内电话的月收费额y(单位:元)包括月租费22元和拨打电话x min的计 时费(按0.1元/min收取).______________. (4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y(单位: cm2)随x的变化而变化.______________________. 认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？ (1) c = 7t-35 (20≤t≤25) (2) G = h-105 (3) y = 0.1x+22 (4) y = -5x+50 (0≤x＜10) 正如函数 y=-6x+5 一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数. 特别注意：k≠0，自变量x的指数是1. 思考 一次函数与正比例函数有什么不同？ 当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 练习 1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ (1) y=-8x (2) y= (3) y=5x2+6 (4) y=-0.5x-1 解：(1)它是一次函数，也是正比例函数；(2)它不是一次函数，也不是正比例函数； (3)它不是一次函数，也不是正比例函数；(4)它是一次函数，但不是正比例函数. 2.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s. (1)求小球速度v(单位:m/s)关于时间t(单位:s)的函数解析式.它是一次函数吗？ (2)求第2.5s时小球的速度. 88解: (1)小球速度 v 关于时间 t的函数解析式为v = 2 t， 它是一次函数. (2)当 t = 2.5s时，v = 5(m/s). 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在本节课的教学设计与教学实践中，不仅关注学生获得的知识，而且注重知识获得的 过程和方法，同时关注学生的全面发展. 由于教学方法得当，教学过程设计合理，师生互 动关系平等、和谐，所以能较好的完成知识传授与促进学生发展的任务，在数学课堂教学 改革的实践中取得较好的教学效. 一次函数的图象与性质 一、教学目标 (一)知识与技能：1.让学生会画一次函数的图象，理解一次函数的图像和性质以及与正比 例图像之间的关系；2.灵活运用一次函数的性质解诀实际问题. (二)过程与方法：通过一次函数的图象和性质的探究，培养学生的观察、比较、类比、联 想、分析、归纳、概括的逻辑思维能力以及培养学生的动手实践能力. (三)情感态度与价值观：通过对一次函数图象和性质的自主探究，让学生获得亲自参与研 89究探索的情感体验，从而增强学习数学的热情. 二、教学重点、难点 重点：会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一 次函数的性质. 难点：能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题. 三、教学过程 忆一忆 1.什么是一次函数？请写出两个一次函数的解析式. 2.什么叫正比例函数？从解析式上看，正比例函数与一次函数有什么关系？ 3.正比例函数有哪些性质？是怎样得到这些性质的？ 正比列函数 解析式：y=kx (k≠0) 图象：经过原点和(1，k)的一条直线. 性质：当k＞0，y随x的增大而增大， 当k＜0，y随x的增大而减小. 一次函数 解析式：y=kx+b (k≠0)；图象：？；性质：？. 例2 画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象. 解： 思考 比较右边两个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观 察结果： 这两个函数的图象形状都是____.并且倾斜程度____.函数 y=-6x的图象经过原点，函数y=-6x+5的图象与y轴交于点________，即它可以看作由直线 y=-6x向___平移____个单位长度而得到的. 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？ 联系例2，考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx (k≠0)有什 么关系？ 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由 直线y=kx向上(或向下)平移|b|个单位长度而得到的. 当b＞0时，向上平移；当b＜0时， 向下平移. 例3 画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象. 分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它. 解： 先画直线y=2x与直线y=-0.5x，再分别平移 它们，也能得到直线y=2x-1与y=-0.5x+1. 90探究 画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象，由它们联想：一次函数解析式 y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？ 一般选取与x轴的交点(- ，0)与y轴的交点(0， b). 当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升；当k＜0时， 直线y=kx+b从左向右下降.由此可知，一次函数y=kx+b (k，b是常数，k≠0)具有如下性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小. 练习 1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为__________，与y轴交点坐标为__________，图象经过 ______________象限，y随x的增大而________. 2.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系. (1)y=x-1，y=x，y=x+1；(2)y=-2x-1，y=-2x，y=-2x+1. 解：(1)直线y=x-1可以看作由直线y=x向下平移1个单位 长度得到，直线y=x+1可以看作由直线y=x向上平移1个 单位长度得到. (2)直线y=-2x-1可以看作由直线y=-2x向下平移1个单位 长度得到，直线y=-2x+1可以看作由直线y=-2x向上平移 1个单位长度得到. 3.在同一直角坐标系中画出下列(1)(2)中各函数的图象，并指出每组函数图象的共同之处. (1)y= x+1，y=x+1，y=2x+1； (2)y=- x-1，y=-x-1，y=-2x-1. 解：(1)函数图象从左向右上升，y随x的增大而增大， 都经过第一、二、三象限，与y轴交点是(0，1). (2)函数图象从左向右下降，y随x的增大而减小，都经 过第二、三、四象限，与y轴交点是(0，-1). 归纳 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质 课堂小结 911.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课，学生活动设计了三个方面：一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状； 二是两点法画一次函数的图象；三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系. 在学生活动 中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性值得深入探讨. 为了达到上 述目的，应结合每个活动，给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目. 学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果. 一次函数的解析式的求法 一、教学目标 (一)知识与技能：正确理解待定系数法，掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法. (二)过程与方法：能从函数图像给定的信息找出已知条件，培养学生分析问题的能力. (三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成 功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣. 二、教学重点、难点 重点：用待定系数法求一次函数的解析式. 92难点：能从不同的条件下找出隐含条件求一次函数解析式. 三、教学过程 知识回顾 1.什么叫一次函数？ 一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b就 变成了y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 2.一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)有什么性质呢？ ①当k＞0时，y随x的增大而增大； ②当k＜0时，y随x的增大而减小. 3.常数k和b是怎样影响函数图象的呢？ ①k的正负决定直线的方向. ②b的正负决定直线与y轴交点在原点上方还是下方. 画一画 画出函数y=2x和y=- x+3的图象. 新知探究 求下图中直线的函数解析式. ①图(1)是经过_____的一条直线，因此是_______函数. ②设它的解析式为_______. ③将点________代入解析式求出______，从而确定该函数的解析式为_______. 确定正比例函数的解析式需要___个条件. 图(2)设直线的解析式是________，因为此直线经过点______和______，因此将这两个点的 坐标代入可得关于k，b方程组，从而确定k，b的值，确定了函数解析式. 确定一次函数的解析式需要___个条件. 解：设直线的解析式为y=kx+b ∵ 直线经过点(0，3)与(2，0) ∴ 解方程组得 ∴ 这条直线的解析式为y=- x+3 例4 已知一次函数的图象过点(3，5)与(-4，-9)，求这个一次函数的解析式. 93解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b ←设 ∵ y=kx+b的图象过点(3，5)与(-4，-9) ∴ ←列 解方程组得 ←解 ∴ 这个一次函数的解析式为y=2x-1 ←代 像例4这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数 解析式的方法，叫做待定系数法. 练习 1.已知一次函数的图象经过点(9，0)和点(24，20)，写出函数的解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b ∵ y=kx+b的图象过点(9，0)与(24，20) ∴ 解方程组得 ∴ 这个一次函数的解析式为y= x-12 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、 引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长. 一次函数的应用 一、教学目标 94(一)知识与技能：1.进一步训练学生的识图能力；2.能利用函数图象解诀简单的实际问题. (二)过程与方法：1.通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识；2.通过函 数图象解诀实际问题，进一步发展学生的数学应用能力. (三)情感态度与价值观：通过函数图象来解诀实际问题，使学生初步认识数学与人类生活 的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与 数学活动，进而更好地解决实际问题. 二、教学重点、难点 重点：根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数. 难点：能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题. 三、教学过程 提出问题 下图所表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 例5“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部 分的种子价格打8折. (1)填写下表 (2)写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象. 分析：付款金额与种子价格相关.问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关. 设购买x kg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2kg种子价格 按5元/kg计价，其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)种子按4元/kg(即8折)计价.因此，写 函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段计论. 解：(2)设购买量为x千克，付款金额为y元. 当0≤x≤2时，y=5x 当x＞2时，y=4(x-2)+10=4x+2 称此类函数为分段函数 思考 你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能 解决这些问题吗？ (1)一次购买1.5kg种子，需付款____元； (2)一次购买3kg种子，需付款____元. 练一练 1.某景区集体门票的收费标准是：20人以内(含20人)每人25元，超过20人的部分每人 15元. (1)写出应收门票y(元)与游览人数x(不超过20人)之间的函数关系式：_________； 95(2)写出应收门票y(元)与游览人数x(超过20人)之间的函数关系式：________________. 2.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电 费y(元)的关系如图所示.请问答： (1)当每月用电量不超过50度时，用电价格是____元/度； (2)当每月用电量超过50度时，超出部分的用电价格是____元/度. 解决问题 下图所表示的函数是分段函数吗？你能写出它的解析式吗？ 练习 2.一个试验室0:00－2:00保持20℃的恒温，在2:00－4:00匀速升温，每小时升高5℃.写 出试验室温度T(单位:℃)关于时间t(单位:h)的函数解析式，并画出函数图象. 解： 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课的设计，力求体现新课程改革的理念，结合学生自主探究的时间，为学生营造 宽松、和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学生的 探索能力和创新能力，激发学生学习的积极性．在学生选择解决问题的诸多方法的过程中 不过多地干涉学生的思维，而是通过引导学生自己去探究来选择合适的办法解决问题. 一次函数与一元一次方程 一、教学目标 96(一)知识与技能：1.理解一次函数与一元-次方程的关系；2.会用函数的方法求解一元一次 方程. (二)过程与方法：经历探索一元一次方程与一次函数的内在联系的过程，体会数形结合的 数学思想. (三)情感态度与价值观：通过教学活动，让学生学会从不同角度认识事物本质的方法，建 立自信心，提高学生自主合作探究学习的意识和能力，激发学生学习的兴趣，让学生体验 数学的价值. 二、教学重点、难点 重点：1.对一次函数与一元-次方程的关系的理解；2.应用函数求解一元一次方程. 难点：对一次函数与一元一次方程的关系的理解. 三、教学过程 提出问题 看下面两个问题之间的关系： (1)解方程2x+20=0 (2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？ 分析：可以从以下三个方面进行思考 1.对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同. 2.从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？ 3.若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？ ◆对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？ ◆从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？ 从“数”上看 ◆若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？ 从“形”的角度看： 97直线y=2x+20的图象与 x 轴 的交点坐标为________，这说明 方程2x+20=0的解是______. 一次函数与一元一次方程的关系 思考 下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ (1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1. 从“数”的角度看： 解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数 值 分别为3，0，-1时，求自变量x的值. 从“形”的角度看： 在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点， 它 们的横坐 标分别为_____________. 练习 1.已知一次函数y=-2x+2，根据图象回答： (1)当y=0时，求x的值； (2)当y=2时，求x的值. 解：(1)由图象可知：一次函数y=-2x+2与x轴的交点为(1，0) ∴ 当y=0时，x=1 (2)由图象可知：一次函数y=-2x+2与y轴的交点为(0，2) ∴ 当y=2时，x=0 2.利用一次函数图象解方程5x-1=2x+5. 解：原方程变形为3x-6=0，并画出一次函数y=3x-6的图象.由图 98象可知一次函数 y=3x-6 与 x 轴交点为(2，0)因此，方程 3x-6=0 的解为 x=2，即方程 5x-1=2x+5的解为x=2. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要. 本节课是 在一次函数的基础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展.课堂教学充分体现了新课 标的教学理念：教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生. 一次函数与一元一次不等式 99一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解一次函数与一元一次不等式的关系；2.会根据一次函数图像解决 一元一次不等式的问题. (二)过程与方法：1.学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局 部问题；2. 经历不等式与函数问题的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思 想. (三)情感态度与价值观：增强学生学数学，用数学，探索数学奥妙的愿望，体验成功的感 觉，品尝成功的喜悦. 二、教学重点、难点 重点：1.理解一次函数与一元一次不等式的关系；2.会根据一次函数图像解决一元一次 不等式的问题. 难点：经历不等式与函数问题的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想. 三、教学过程 复习启新 上节课我看用函数观点，从“数”和“形”两个角度学习了一元一次方程求解问题. 如图：(1)当x=___时，一次函数y=x-2的值为0，则x=2 是一元一次方程_______的解； (2)一元一次方程x-2=1的解为_____，则当x=3时，一次 函数y=x-2的值为___. 当x为何值时，函数y=x-2对应的值大于0？ 问题 (1)解不等式2x-4＞0； (2)当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？ 解：(1)解得x＞2；(2)由2x-4＞0，解得x＞2，即当x＞2时，函数y=2x-4的值大于0. 在上面问题的解决过程中，你能发现它们之间有什么关系？ 从“数”的角度看它们是同一个问题，只是表达的形式不同. 从“数”上看 根据一次函数与不等式的关系填空： (1)解不等式3x-6＜0，可看作_________________________________________________. (2)“当自变量x取何值时，函数y=-5x+8的值大于0”可以看作_____________________. 解：画出直线y=2x-4，可以看出，当x＞2时，这条 直线上的点在x轴的上方，即这时，y=2x-4＞0. 因此不等式2x-4＞0的解集为x＞2. 从“形”的角度看它们也是同一个问题. 从“形”上看 根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式的解集. (1) 3x+6＞0 (即y＞0)_________ (2) 3x+6≤0 (即y≤0)_________ (3) -x+3≥0 (即y≥0)_________ (4) -x+3＜0 (即y＜0)_________ 100一次函数与一元一次不等式的关系 思考 下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角 度对解这3个不等式进行解释吗？ (1) 3x+2＞2； (2) 3x+2＜0； (3) 3x+2＜-1. 从“数”的角度看： 解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别 大于2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围. 从“形”的角度看： 在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小 于 -1 的 点 ， 它 们 的 横 坐 标 分 别 满 足 ____________________. 练习 1.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=-5x+8的值满足下列条件？ (1) y＞0；________ (2) y≤-2. ________ 2.利用函数图象解不等式：6x-4≤3x+2. 解：原不等式变形为3x-6≤0 画出函数y=3x-6的图像 由图像可以看出：当x≤2时， 这条直线上的点在x轴的下方， 这时y=3x-6≤0 即原不等式的解集为：x≤2. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要. 本节课是 在一次函数的基础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展.课堂教学充分体现了新课 标的教学理念：教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生. 101一次函数与二元一次方程(组) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解一次函数与二元一次方程(组)的对应关系；2.会用画图象的方法 解二元一次方程组. (二)过程与方法：通过对一次函数与二元一次方程(组)关系的探究及相关实际间题的解决， 学会用函数的观点去认识问题的方法. (三)情感态度与价值观：1.通过对一次函数与二元一次方程(组)关系的探索，培养学生严 谨的科学态度及勇于探索的精神；2.通过从函数的角度看问题，让学生体会数学的价值. 二、教学重点、难点 重点：探索一次函数与二元一次方程(组)的关系. 难点：综合运用方程(组)和函数的知识解实际问题. 三、教学过程 想一想 x+y=5 它表示什么呢？ 它表示一个二元一次方程. y=-x+5 它表示什么呢？ 它既可表示一个二元一次方程，又可表示一个一次函数. 对于二元一次方程2x-y=3可以将其写成一次函数 __________的形式. 1.画出一次函数y=2x-3的图象； 2.找出方程的几组解； 3.把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现 了什么？ 4.在一次函数y=2x-3的图象上点的坐标都是二元一次 方程2x-y=3的解吗？ 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常 数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条 直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解. 方程组 1.在同一直角坐标系中，分别作出一次函数y=-x+5和y=2x-1 的图象，这两个图象有交点吗？ 2.直线y=-x+5和y=2x-1的交点坐标与方程组 的解 有什么关系？ 102解方程组 得 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一 次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为 何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方 程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标. 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得 到方程组的解. 问题3 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从 海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h. (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数 关系； (2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高 度？ 解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. (2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于 x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和 y=0.5x+15 有相同的值 y.由此可得 解得 这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔 25m的 高度. 在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.两条直线交点坐标为 (20，25)，这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度. 练习 考虑下表两种移动电话计费方式 用函数方法解答何时两种计费方式费用相等. 解：用x(min)表示通话时间，y(元)表示费用.则方式一的函数解析式为y=0.15x+20，方式 二的函数解析式为y=0.2x.列得方程组 解得 答：当通话时间为400min时，两种计费方式费用相等，都为80元. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 103四、教学反思 在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要. 本节课是 在一次函数的基础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展.课堂教学充分体现了新课 标的教学理念：教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生. 选择方案 一、教学目标 (一)知识与技能：1.能够建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题；2.学会综合运 用一次函数与方程(组)、不等式等知识解决方案设计问题. (二)过程与方法：结合实际问题的讲解，培养学生收集、选择、处理数学信息，并作出合 理的推断或大胆的猜测的能力，提高学生在实际问题中，建立数学模型的能力. (三)情感态度与价值观：让学生感受一次函数的图象及性质在日常生活中的妙用，从而提 高学习数学的兴趣，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信 心. 二、教学重点、难点 重点：使学生既能从一次函数的图象中收集、处理实际问题中的数学信息，又能从实际问 题情境中建立数学模型，得出相关的一次函数的图象. 难点：启发引导学生如何从一次函数的图象中收集、处理实际问题中的数学信息. 三、教学过程 忆一忆 1.已知y=-x+2，y=3x-4，当x=____时，y=y，当x____时，y＞y，当x____时，y＜y. 1 2 1 2 1 2 1 2 2.如图，当x_____时，y＞y，当x_____时，y≤y. 1 2 1 2 问题1 怎样选取上网收费方式？ 下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. 选取哪种方式能节省上网费？ 1.哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？ A、B会变化，C不变 2.在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？ 上网费=月使用费+超时费 3.影响超时费的变量是什么？ 上网时间 4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？ 没有一定最优惠的方式，与上网的时间有关 解：设月上网时间为x h，则方案A，B，C的收费金额y，y，y 都是x的函数. 1 2 3 104化 简 ， 得 化 简 ， 得 y=120 (x≥0) 3 (1)当上网时间_____________时，选择方式A最省钱； 由3x-45=50，解得 (2)当上网时间_____________时，选择方式B最省钱； 由3x-100=120，解得 (3)当上网时间_______时，选择方式C最省钱. 问题2 怎样租车？ 某学校计划在总费用2300元限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每 辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示. (1)共需租多少辆汽车？ (2)给出最节省费用的租车方案. 解：(1)要保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6辆；要使每辆汽上至少要有1名 教师，汽车总数不能大于6辆. 综合起来可知汽车总数为6辆. (2)设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，即 y=400x+280(6-x) 化简为：y=120x+1680 由 解得 4≤x≤ ，∴ y=120x+1680 (4≤x≤ ) 方 案 一 ： 当 x=4 时 ， 即 租 用 4 辆 甲 种 汽 车 ， 2 辆 乙 种 汽 车 . 租 车 费 用 y=120×4+1680=2160(元) 方 案 二 ： 当 x=5 时 ， 即 租 用 5 辆 甲 种 汽 车 ， 1 辆 乙 种 汽 车 . 租 车 费 用 y=120×5+1680=2280(元) 因此，为节省费用应选择方案一. 还有其它选择方案的方法吗？ 由k=120＞0可知，函数值y随x增大而增大. 105∴ 当x=4时，y最小=120×4+1680=2160 即租用4辆甲种汽车，2辆乙种汽车时，租车费用最省为2160元. 归纳 练习 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一 件.小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择.每个笔记本14元，每支钢 笔15元.售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分 可以享受8折优惠，若买x(x＞10)支钢笔需要花y元. (1)请你求出y与x的函数关系式； (2)在(1)的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省 钱. 解：(1) 化简，得 (2)①当12x+30＞14x时，解得x＜15. 即当买超过10件但少于15件奖品时，买笔记本更省钱； ②当12x+30=14x时，解得x=15. 即当买15件奖品时，买笔记本和钢笔费用一样； ③当12x+30＜14x时，解得x＞15. 即当买超过15件奖品时，买钢笔更省钱. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 教学时突出重点把握难点. 能够让学生经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析 过程，让学生自己利用已经具备的知识分析实例. 同时，在解决问题的过程中，要充分利 用函数的图象，渗透数形结合的思想. 106第19章一次函数小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解一次函数的概念，掌握一次函数的图象和性质；2.能正确画出一 次函数的图象，并能根据图象探索函数的性质；3.会用待定系数法求一次函数的解析式； 4.会用一次函数解决简单的实际问题. (二)过程与方法：理解数形结合的数学思想，强化数学的建模意识，提高利用演绎和归纳 进行复习的能力. (三)情感态度与价值观：通过对零散知识点的系统整理，让学生认识到事物是有规律可循 的，同时帮助他们提高复习的效果，增进数学学习的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：根据不同条件求一次函数的解析式. 难点：根据函数图象探索其性质. 三、教学过程 知识梳理 一、函数 1.常量与变量 数值发生变化的量叫变量，数值始终不变的量叫常量. 2.函数定义 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确 定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线 5.函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法 二、一次函数 1.一次函数与正比例函数的概念 一般地，如果y=kx+b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.特别地，当b=0时， 一次函数y=kx+b变为y=kx(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数. 2.分段函数 当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数. 3.一次函数的图象与性质 1074.用待定系数法求一次函数的解析式 求一次函数解析式的一般步骤： (1)先设出函数解析式； (2)根据条件列关于待定系数的方程(组)； (3)解方程(组)求出解析式中未知的系数； (4)把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式. 这种求解析式的方法叫待定系数法. 5.一次函数与方程、不等式 (1)一次函数与一元一次方程 (2)一次函数与一元一次不等式 (3)一次函数与二元一次方程组 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形 式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. 方程组的解 对应两条直线交点的坐标. 考点讲练 考点一 函数的有关概念及图象 例1 王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后， 用15分钟返回家中.下面图形表示王大爷离家距离y(米)与离家时间x(分)之间的关系是( ) 针对训练 1.下列变量间的关系不是函数关系的是( ) A.长方形的宽一定，其面积与长 B.正方形的面积与周长 C.等腰三角形的面积与底边长 D.圆的周长与半径 2.函数 中，自变量x的取值范围是( ) A.x＞3 B.x＜3 C.x≤3 D.x≥－3 3.星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车 108站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中折线表示小强离开家的路程y(千米) 和所用的时间x(分)之间的函数关系.下列说法错误的是( ) A.小强从家到公共汽车站步行了2千米 B.小强在公共汽车站等小明用了10分钟 C.公交车的平均速度是34千米/时 D.小强乘公交车用了30分钟 考点二 一次函数的图象与性质 例2 已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3； (1)若该函数是正比例函数，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围； (4)若这个函数图象过点(1，4)，求这个函数的解析式. 解：(1)∵ 函数是正比例函数 ∴ m-3=0，且2m+1≠0，解得 m=3 (2)∵ 函数的图象平行于直线y=3x-3 ∴ 2m+1=3，解得 m=1 (3)∵ y随着x的增大而减小 ∴ 2m+1＜0，解得 m＜ (4)∵ 该函数图象过点(1，4) ∴ 代入得 2m+1+m-3=4，解得 m=2 ∴ 该函数的解析式为 y=5x-1 方法总结 一次函数的图象与y轴交点的纵坐标就是y=kx+b中b的值；两条直线平行，其函数解析式 中的自变量系数k相等；当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小. 针对训练 4.一次函数y＝－5x＋2的图象不经过第______象限. 5.点(－1，y)，(2，y)是直线y＝2x＋1上两点，则y___y. 1 2 1 2 6.有下列函数：①y＝x－5，②y＝2x，③y＝x＋4，④y＝－4x＋3.其中函数图象过原点的 是______；函数y随x的增大而增大的是________；函数y随x的增大而减小的是________； 图象在第一、二、三象限的是______. 考点三 一次函数与方程、不等式 例3 一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则 一元一次不等式－kx＋b＞0的解集为( ) A.x＞－2 B.x＜－2 C.x＞2 D.x＜2 例4 在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是提高学习效率的重要方法，善于学习的 小明在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后，对照图形，把相关知识归纳 整理如下： 一次函数与方程(组)的关系： (1)一次函数的解析式就是一个二元一次方程； (2)点B的横坐标是方程kx＋b＝0的解； (3)点C的坐标(x，y)中x，y的值是方程组①的解．一次函数与不等式的关系： (1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＞0的解集； (2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式②的解集. 109(一)请你根据以上归纳整理的内容在下面的数字序号后写出相应的结论： ①__________；②__________； (二)如果点B坐标为(2，0)，C坐标为(1，3). ①直接写出kx＋b≥kx＋b 的解集； 1 1 ②求直线BC的函数解析式. 解：(二)①kx+b≥kx+b 的解集是：x≤1； 1 1 ②∵ 直线BC：y=kx+b过点B(2，0)、C(1，3) ∴ ，解得 ∴ 直线BC的函数解析式为y=-3x+6 针对训练 7.方程x＋2＝0的解就是函数y＝x＋2的图象与( ) A.x轴交点的横坐标 B.y轴交点的横坐标 C.y轴交点的纵坐标 D.以上都不对 8.如图，一次函数y＝x＋b与一次函数y＝kx＋4的图象交于点 1 2 P(2，3)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是( ) A.x＞3 B.x＞0 C.x＞2 D.x＜2 9.两个函数y＝－x＋5和y＝－2x＋8的图象的交点坐标是_______. 考点四 一次函数的应用 例5 某公司向市场投放A，B型商品共250件进行试销，A型商品成本160元/件，B型商品 成本150元/件，其中A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商 品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出.设投放A型商品x件， 该公司销售这批商品的利润y元. (1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)为了使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？ (3)该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资 金a元，当该公司售完这250件商品并捐献资金后获得的最大收益为18000元时，求a的 值. 解：(1) y=(240-160)x+(220-150)(250-x)，整理得：y=10x+17500 (80≤x≤125) (2)由(1)得：y=10x+17500 (80≤x≤125)，再结合一次函数的性质可知，y随x的增大而增 大. ∴ 当x=125时，y最大=1250+17500=18750 即应投放125件A型商品，最大利润为18750元. (3)一共捐出ax元. ∴ y=10x+17500-ax=(10-a)x+17500 ∴ 当10-a≤0时，y=(10-a)x+17500最大值小于18000 当10-a＞0时，x=125时，y有最大值 ∴ 125(10-a)=18000-17500，解得 a=6 针对训练 10.小星以2米/秒的速度起跑后，先匀速跑5秒，然后突然把速度提高4米/秒，又匀速跑 5秒.试写出这段时间里他的跑步路程s(单位：米)随跑步时间x(单位：秒)变化的函数关系 式，并画出函数图象. 110解：依题意得 整理得： 11.某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.暑期普通票正常 出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数.设游泳x次时，所需总费用为y元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点 A、B、C的坐 标； (3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算. 解：(1)银卡：y=10x+150；普通票：y=20x (2)把x=0代入y=10x+150，得y=150 由 解得 把y=600代入y=10x+150，得x=45 ∴ A(0，150)，B(15，300)，C(45，600) (3)当0＜x＜15时，选择购买普通票更合算；当x=15时，选择购买银卡、普通票的总费用 相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，选择购买银卡更合算；当x=45时，选择购买金卡、 银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，选择购买金卡更合算. 能力提升 如图，直线 与x轴交于点A(－3，0)，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于B、 C两点，并与直线 相交于点D. (1)求点D的坐标；(2)求四边形AOCD的面积；(3)若点P为x轴上一动点，当PC＋PD的值 最小时，求点P的坐标. 解：(1)把(-3，0)代入y= x+m，得m= 解方程组 得： ∴ 点D的坐标为(-1，3) (2)∵ 直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于B、C两点 ∴ B(2，0)、C(0、2) ∴ S =S -S = ×5×3- ×2×2= 四边形AOCD △ABD △BOC (3)作D关于x轴的对称点E，连接CE，交x轴于点P，连接PD，此时PC+PD的值最小. 111∵ D(-1，3)，∴ E(-1，-3) 设直线CE的解析式为y=kx+b把C(0，2)、E(-1，-3)代入y=kx+b 得 ，解得 ∴ 直线CE的解析式为y=5x+2 ∴ 当y=0时，x=- 即点P坐标为(- ，0) 平均数(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解平均数的概念，会计算平均数；2.了解加权平均数，会计算加权 平均数. (二)过程与方法：1.初步经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据 处理能力；2.根据有关平均数的问题的解决，培养学生的判断能力. (三)情感态度与价值观：通过解诀身边的实际问题，让学生体会数学来源于生活，培养学 生学数学用数学的好习惯. 二、教学重点、难点 重点：知道算术平均数和加权平均数的意义，会求一组数据的算术平均数和加权平均数. 难点：理解“权”的差异对平均数的影响，算术平均数与加权平均数的联系与区别，并能 利用它们解决实际问题. 三、教学过程 忆一忆 日常生活中，我们常用__________表示一组数据的“平均水平”. 一般地，对于n个数x，x，…，x，我们把 (x+x+…+x) 叫做这n个数的算术平均 1 2 n 1 2 n 数，简称平均数，记做x(读作x拔) 算一算 求下列各组数据的平均数： (1)已知数据：4，6，8； (2)已知数据：3，3，5，5，5，6，6，6，6. 解：(1) ；(2) . 问题：对于第(2)小题有没有不同的求解过程？ 问题1 一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英 语水平测试，他们各项的成绩(百分制)如下： 112(1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从 他们的成绩看，应该录取谁？ 解：(1)甲的平均成绩为 乙的平均成绩为 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲. (2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的 比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ “重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加“重要”. 解：(2)甲的平均成绩为 乙的平均成绩为 因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙.上述问题(1)是利用平均数的公式计算平 均成绩，其中的每个数据被认为同等重要.而问题(2)是根据实际需要对不同类型的数据赋 予与其重要程度相应的比重，其中的2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权， 相应的平均数79.5，80.4分别称为甲和乙的听、说、读、写四项成绩的加权平均数. 一般地，若n个数x，x，…，x 的权分别是w ，w ，…，w ，则 1 2 n 1 2 n 叫做这n个数的加权平均数. 权的英文是weight，有表示数据重要程度的意思. 思考 如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确 定，那么甲、乙两人谁将被录取？与上述问题中的(1)(2)相比较，你能体会到权的作用吗？ 解：甲的平均成绩为 乙的平均成绩为 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲. 例1 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分.各 项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算 选手的综合成绩(百分制).进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，请确定两人的名 次. 解：选手A的最后得分是 选手B的最后得分是 113由上可知选手B获得第一名，选手A获得第二名. 例1中两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分，为什么他们的最后得分不同呢？ 从中你能体会到权的作用吗？ 练习 1.某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩(百分 制)如下表所示： (1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ 解：(1)甲的平均成绩为： ，乙的平均成绩为： 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲. (2)甲的平均成绩为： ， 因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙. 2.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%， 期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩(百分制)依次是95分、90分、 85分.小桐这学期的体育成绩是多少？ 解：小桐这学期的体育成绩为： (分) 答：小桐这学期的体育成绩为88.5分. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 这节课，大多数学生在课堂上表现积极，并且会有自己的思考，有的同学还能把不同 意见发表出来，师生在课堂上的交流活跃，学生的学习兴趣较高. 在这种前提下，简便算 法的推出就水到渠成了. 教学设计也努力体现新课改的新理念，如培养学生数学的思维能 力，教会学生从生活中学习数学，课内外结合等等. 114平均数(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.熟练对加权平均数的运用；2.会根据频数分布表求加权平均数，解决 一些实际问题；3.会根据样本平均数估计数据总体的集中趋势. (二)过程与方法：通过用样本估计总体的方法，结合具体实例，进一步学习用样本平均数 估计总体平均数的方法. (三)情感态度与价值观：在解诀问题的过程中，让学生感受到数学的实用性，体会数学在 日常生活中的应用价值，建立学好数学的自信心. 二、教学重点、难点 重点：掌握用样本平均数去估计总体平均数的统计方法. 难点：在实际情景中会用样本平均数去估计总体平均数、体会样本代表性的重要意义. 三、教学过程 忆一忆 数名射击运动员第一轮比赛成绩如下表所示，求他们本轮比赛的平均成绩是多少环. 解： 答：他们本轮比赛的平均成绩是8.1环. 在求n个数的平均数时，如果x 出现f 次，x 出现f 次，…，x 出现f 次(这里f+f+… 1 1 2 2 k k 1 2 +f=n)，那么n这个数的平均数 也叫做x ，x ，…，x 这k个 k 1 2 k 数的加权平均数，其中f，f，…，f 分别叫做x，x，…，x 的权. 1 2 k 1 2 k 例2 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁 16人，15岁24人，16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数). 解：这个跳水队运动员的平均年龄为 (岁) 答：这个跳水队运动员的平均年龄为14岁. 探究 为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的 载客量，得到下表.这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少(结果取整数)？ 115数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组 的两个端点的数的平均数.例如，小组1≤x＜21的 组中值为 . 例如在 1≤x＜21之间的载客量近似地看作组 中值11，组中值11的权是它的频数3.因此这天5 路公共汽车平均每班的载客量是 (人) 某灯泡厂要测量一批灯泡的使用寿命，请问该工厂要采取什么方法较好？为什么？抽样调 查 当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体 的方法来获得对总体的认识.例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数. 例3 灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命如 下表所示.这批灯泡的平均使用寿命是多少？ 分析：抽出的50只灯泡的使用寿命组成一个样本.可以利用样本的平均使用寿命来估计这 批灯泡的平均使用寿命. 解：根据上表，可以得出各小组的组中值，于是 ，即样本平均数为1672. 因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1672小时. 练习 1.下表是校女子排球队队员的年龄分布. 求校女子排球队队员的平均年龄(结果取整数，可以使用计算器). 解：该校女子排球队队员的平均年龄为 (岁) 答：该校女子排球队队员的平均年龄大约为15岁. 2.为了绿化环境，柳萌街引进一批法国梧桐.三年后这些 树的树干的周长情况如右图所示.计算这批法国梧桐树干 的平均周长(结果取整数，可以使用计算器). 解：根据右图，可以得出各小组的组中值，于是 116答：这批法国梧桐树干的平均周长约为64cm. 3.种菜能手李大叔种植了一批新品种黄瓜.为了考察这种黄瓜的生长情况，他随机抽查了部 分黄瓜藤上长出的黄瓜根数，得到右面的条形图.请估计这个新品种黄瓜平均每株结多少根 黄瓜(结果取整数). 解：根据右图，可以得到样本的平均数 答：估计这个新品种黄瓜平均每株大约结13根黄瓜. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课以数学情景作为问题的依托，通过样本估计总体的问题变式，让学生将逐步掌 握用样本平均数去估计总体平均数的统计方法，体会用样本估计总体的思想，感受样本代 表性的意义，从而形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受 数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较为全面的体验与理解. 117中位数和众数(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.使学生认知众数、中位数的意义；2.会求一组数据的众数、中位数. (二)过程与方法：让学生接触并解诀一些社会生活中的问题，培养学生的数学应用意识和 创新意识，在问题解决的过程中，培养学生的自主学习能力. (三)情感态度与价值观：通过生活中的事例，提供适当的问题情境，激发学生的学习热情， 培养学生学习数学的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：会求一组数据的中位数和众数. 难点：会在实际问题中求中位数和众数，并分析数据信息做出决策. 三、教学过程 忆一忆 数据10、12、8、10的平均数是____，若将最后一个数改为1010，则这组数的平均数 是_____. 作为描述数据平均水平的统计量，平均数广泛应用于生活实际中，例如我们经常听到 诸如“居民人均收入”“人均住房面积”“人均拥有绿地面积”等术语.但如果我们不了解 平均数的特点，数据分析得到的结论就会出现偏差，出现平均数偏离绝大多数数据很多， 大多数数据“被平均”的情况. 问题2 下表是某公司员工月收入的资料. (1)计算这个公司员工月收入的平均数； (元) (2)若用(1)算得的平均数反映公司全体员工月收入水平，你认为合适吗？ 不合适，因为平均数远远大于绝大多数人(22人)的实际月工资，绝大多数人“被平 均”. “平均数”和“中等水平”谁更合理地反映了该公司绝大部分员工的月工资水平？这个 问题中，中等水平的含义是什么？ 一半人月工资高于该数值，另一半人月工资低于该数值；中等水平的含义是中位数. 118将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处 于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均 数为这组数据的中位数. 例如，上述问题中将公司25名员工月收入数据由大到小排列，得到的中位数为 3400， 这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于 3400元，另一半员工收入低于 3400元. 思考 上述问题中公司员工月收入的平均数为什么比中位数高得多呢？ 如果一组数据中有极端数据，则中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平. 想一想 如果小张是该公司的一名普通员工，那么你认为他的月工资有可能是多少元？ 如果小李想到该公司应聘一名普通员工岗位，他最关注的是什么信息？ 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.如果一组数据中有两个数据的频 数一样，都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数. 当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好反映其集中趋势. 问题2中公司员工收入的众数为3000，这说明公司中月收入3000元的员工人数最多.如果 应聘公司的普通员工一职，这个众数能指供更为有用的信息. 例4 在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间(单位:min)如下： 136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148 (1)样本数据(12名选手的成绩)的中位数是多少？ (2)一名选手的成绩是142min，他的成绩如何？ 解：(1)先将样本数据按照由小到大的顺序排列：24，129，136，140，145，146，148， 154， 158，165，175，180. 这组数据的中位数为处于中间的两个数146、148的平均数，即 (146+148)÷2=147 因此样本数据的中位数是147. (2)根据(1)中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选 手的成绩快于147min，有一半选手的成绩慢于147min.这名选手的成绩是142min，快于中 位数147min，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好. 根据例4中的样本数据，你还有其他方法评价(2)中这名选手在这次比赛中的表现吗？ 例5 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示.你能 根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？ 解：由上表可以看出，在鞋的尺码组成的一组数据中，23.5是这组数据的众数，即23. 5cm的鞋销售量最大.因此可以建议鞋店多进23.5cm的鞋. 分析表中的数据，你还能为鞋店进货提出哪些建议？ 练习 1.下面的条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况. 请找出这些工人日加工零件数的的中位 数，并说明这个中位数的意义. 119分析：共36个数据，中间位置是第18个与第19个的平均数，这两个数据都是6，因而中 位数是6. 2.下面的扇形图描述了某种运动服的S号、M号、L号、XL号、XXL号在一家商场的销售情 况.请你为这家商场提出进货建议. 3.某校男子足球队的年龄分布如上面的条形图所示.请找出这些年龄的平均数、众数、中位 数，并解释它们的意义. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 通过学生观察、分析、讨论，在共享集体思维成果的基础上逐步建构出中位数及众数 的概念，这样做使学生逐步体会到这两个统计量都反映一组数据的集中趋势，但是描述的 角度并不同，这样可以比较全面、正确地理解所学知识. 120中位数和众数(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表. (二)过程与方法：通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异， 能灵活应用这三个数据代表解决实际问题. (三)情感态度与价值观：通过生活中的事例，提供适当的问题情境，激发学生的学习热情， 培养学生学习数学的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：知道平均数、中位数和众数在描述数据时的差异. 难点：根据具体问题选择适当的统计量来分析数据. 三、教学过程 忆一忆 公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，13，14，15，15，16，17，17，17 乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57 (1)甲群游客的平均年龄是____岁，中位数是____岁，众数是_______岁，其中能较好反映 甲群游客年龄特征的是________________； (2)乙群游客的平均年龄是____岁，中位数是____岁，众数是____岁，其中能较好反映乙群 游客年龄特征的是________________. 平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势，它们各有自己的特点，能够 从不同的角度提供信息.在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据 的集中趋势. 例6 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对 营业员进行适当的奖励. 为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员 在某月的销售额(单位：万元)，数据如下： 17 18 16 13 24 15 28 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 14 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16 19 (1)月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售额是多少？平均的月销售额是多少？ 121(2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由. (3)如果想让一半左右的营业员都能达到目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由. 确定一个适当的月销售目标是一个关键问题.如果目标定得太高，多数营业员完不成任 务，会使营业员失去信心；如果目标定得太低，不能发挥营业员的潜力. 分析：商场服装部统计的每个营业员在某月的销售额组成一个样本，通过分析样本数 据的平均数、中位数、众数来估计总体的情况，从而解决问题. 解：整理上面的数据得到下表及下图： 用图表整理和描述样本数据，有助于我们分析数据解决问题. 解：(1)从图表中可以看出，样本数据的众数是 15，中位数是18，利用计算器求得这 组数据的平均数约是20.可以推测，这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多， 中间的销售额是18万元，平均月销售额大约是20万元. (2)如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月 20万元(平均数).因为从 样本数据看，在平均数、中位数、众数中，平均数最大.可以估计，月销售额定为每月20 万元是一个较高目标，大约会有三分之一的营业员获得奖励. (3)如果想让一半左右的营业员能够达到目标，月销售额可以定为每月 18万元(中位 数).因为从样本情况看，月销售额在18万元以上(含18万元)的有16人，占总人数的一半 左右. 可以估计，如果月销售额定为18万元，将有一半左右的营业员获得奖励. 归纳 平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点.平均数的计算要用 到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用.但它受极端 值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大.当一组数据中某些数据多次重现出 现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响.中位数只需要很少的计算， 它也不易受极端值的影响. 你知道在体操比赛评分时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分吗？ 练习 下面是某校八年级(2)班两组女生的体重(单位：kg)： 第1组： 35 36 38 40 42 42 75 第2组： 35 36 38 40 42 42 45 (1)分别求这两组数据的平均数、众数、中位数，解释它们的实际含义(结果取整数)； (2)比较这两组数据的平均数、众数、中位数，谈谈你对它们的认识. 课堂小结 1221.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 通过这节课的学习，学生的参与性很强，乐于与同伴交流、探索知识. 需要强调的是： 学生有自己的看法和意见，教师不可一味的否定学生．教师要关注学生思考问题的过程， 千万不要代替学生思考，更不可强加给学生固定的思维模式. 数据的波动程度(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解方差概念的产生和形成的过程；2.会用方差的计算公式来比较两 组数据的波动大小；3.用方差对实际问题作出判断. (二)过程与方法：学生通过本节课内容的学习，体会方差的形成过程，感受到方差是一种 描述数据离散程度的统计量，并且根据方差的大小对实际问题作出分析，培养学生解决问 题的能力. (三)情感态度与价值观：以学生兴趣引出问题，在学习过程中培养学生观察问题、分析问 题、解决问题的能力，通过对问题的不断深入探究，培养学生认真、耐心、细致的学习态 度和学习习惯. 二、教学重点、难点 重点：1.掌握方差的定义和计算公式；2.会用方差公式进行计算，会比较数据的波动大小. 难点：理解方差的意义. 三、教学过程 教练的烦恼 现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位 比较合适？ 甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下： (1)请分别计算两名选手的平均成绩； (环)， (环) (2)请根据这两名选手的成绩在右图中画出折线统计图； 123(3)现要挑选一名选手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？ 谁的稳定性好？应以什么数据来衡量？ 甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：(7-8)+(8-8)+(8-8)+(8-8)+(9-8)=0 乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：(10-8)+(6-8)+(10-8)+(6-8)+(8-8)=0 怎么办？ 甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2=2 乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(10-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2=16 上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？ ——与射击次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性. 为了刻画一组数据的波动大小，可以采用很多方法.统计中常采用下面的做法：设有n 个数据x ，x ，…，x ，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x- )2，(x- )2，…， 1 2 n 1 2 (x- )2，我们用这些值的平均数，即用s2= [(x- )2+(x- )2+…+(x- )2]来衡量这组 n 1 2 n 数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2. 方差：各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.s2= [(x- )2+(x- )2+…+(x- )2] 1 2 n 计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”. 方差如何反映数据波动情况呢？结合前面折线统计图及所求方差得出结论. 甲：(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2=2 乙：(10-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2=16 ， 当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平 方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小， 方差就较小.反过来也成立，这样就可以用方差刻画数据的波动程度，即：方差越大，数据 的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 我们知道，用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均 数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性 时，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差. 问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定 性是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用 10块自 然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位:t)如下表. 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 解：(1)为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下面两幅图. 124(2)甲、乙两个品种在试验田中的产量组成一个样本，算得样本数据的平均数为 ， 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计在这个地区种 植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. (3)两组数据的方差分别是 显然 ＞ ，即甲种甜玉米的波动大，这与我们从右图看到的结果是一致的. 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的 平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.因此可以推测，在这个地区种值乙种 甜玉米的产量比甲种的稳定.综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推 测这个地区比较适合种值乙种甜玉米. 例1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女 演员的身高(单位:cm)如下表 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 解：甲、乙两团演员的平均身高分别是 方差分别是 125由 ＜ 可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 练习 1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数 据的波动程度的. (1) 6 6 6 6 6 6 6 (2) 5 5 6 6 6 7 7 (3) 3 3 4 6 8 9 9 (4) 3 3 3 6 9 9 9 解 ： 2.如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图.观察图形，甲、乙这10 次射击成绩的方差 ， 哪个大？ 解：甲、乙两射击运动员的平均成绩分别是 (环)， (环) 方差分别是 ， 显然 ＜ ，即乙射击运动员的射击训练成绩波动大. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 通过这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分相信学生，给学生以最大的自主 探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能， 而且还能让学生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研 究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维. 126数据的波动程度(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：进一步了解方差的求法，应用方差对实际问题做出决策. (二)过程与方法：经历描述一组数据波动大小的统计，应用方差大小对实际问题作出解释， 培养学生解决问题能力，在实际问题情境中感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思 想. (三)情感态度与价值观：通过解决简单的实际问题，使学生形成一定的数据意识和解决问 题的能力，进一步体会数学的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：应用方差做决策问题. 难点：综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题. 三、教学过程 忆一忆 方差的计算公式：s2= [(x- )2+(x- )2+…+(x- )2] 1 2 n 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况. 练一练 1.某一段时间，小芳测得连续五天的日最高气温后，整理得出下表(有两个数据被遮盖)： 被遮盖的两个数据依次是( ) A.3℃，2 B.3℃，4 C.4℃，2 D.4℃，4 2.甲、乙两台包装机同时分装质量为400g的奶粉，从它们各自分装的奶粉中随机抽取了 10袋，测得它们的实际质量(单位：g)如下： 甲：401 395 408 404 410 406 400 393 392 391 乙：403 404 397 395 402 401 403 395 402 398 哪台包装机包装的奶粉质量比较稳定？ 解：甲、乙两台包装机包装的奶粉平均质量分别是 127它们的方差分别是 由 ＞ 可知，乙包装机包装的奶粉质量比较稳定. 例2 某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎.现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司 推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选 购哪家的鸡腿.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量如下(单位：g) 如下表.根据表中的数据，你认为快餐公司应选购哪家工厂的鸡腿. 解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的 15个鸡腿分别组成一个样本，样 本数据的平均数分别是 ， 样本数据的方差分别是 由 可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由 ＜ 可知，甲加工厂的鸡腿质量 更稳定，大小更均匀. 因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿. 练习 某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛.下表是这两名运动员 10次测验成绩(单位:m). 你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？ 解：甲、乙两名运动员的平均成绩分别是 ， 它们的方差分别是 128由 可知，甲、乙两名运动员的平均成绩大至相等；由 ＜ 可知，甲的成绩更稳 定. 如果要从中选出一人参加市级比赛，历届比赛表明，成绩达到5.92m就能夺冠，你认为应 选谁参加比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.08m就能打破记录，你认为又应该选 谁参加这次比赛呢？ 解：甲成绩更稳定，如果成绩达到5.92m就能夺冠，应选甲参赛；乙达到6.08m的可能性 较大，如果成绩达到6.08m能打破纪录，应选乙参赛. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等，给学生充分发表意见的自由度. 第20章数据的分析小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解并会计算加权平均数、众数、中位数，能选择合适的量描述数 据的集中程度；2.理解并会计算方差并会用它描述数据的离散程度；3.体会用样本估计总 体的思想，会用样本平均数，方差估计总体平均数，方差. (二)过程与方法：经历探索数据的收集、整理、分析过程，在活动中发展学生的统计意识 和数据处理的方法与能力. (三)情感态度与价值观：培养合作交流的意识与能力，提高解决简单的实际问题能力，形 成一定的数据意识和解决问题的能力，体会特征数据的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：1.理解并会计算加权平均数、众数、中位数，能选择合适的量描述数据的集中程度 2.理解并会计算方差并会用它描述数据的离散程度. 难点：能在实际间题中熟练在选择合适的量进行解决问题. 三、教学过程 知识梳理 一、数据的集中趋势 二、数据的波动程度 129三、用样本估计总体 1.统计的基本思想：用样本的特征(平均数和方差)估计总体的特征. 2.统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变 化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响. 考点讲练 考点一 平均数、中位数、众数 例1 某市在开展节约用水活动中，对某小区200户居民家庭用水情况进行统计分析，其中 3月份比2月份节约用水情况如下表所示： 请问：(1)抽取的200户家庭节水量的平均数是______，中位数是______，众数是______. (2)根据以上数据，估计某市100万户居民家庭3月份比2月份的节水量是_________. 针对训练 1.某米店经营某种品牌的大米，该店记录了一周中不同包装(10kg，20 kg，50 kg)的大米的 销售量(单位：袋)如下：10 kg装100袋；20 kg装220袋；50 kg装80袋. 如果每500g大 米的进价和售价都相同，则他最应该关注的是这些销售数据(袋数)中的( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.最大值 2.一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会影响这组数据的平均数、众数、中位数中 的( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 3.某地发生地震灾害后，某中学八(1)班学生积极捐款献爱 心，如图所示是该班50名学生的捐款情况统计，则他们捐 款金额的众数和中位数分别是( ) A.20，10 B.10，20 C.16，15 D.15，16 4.小刚在“中国梦·我的梦”演讲比赛中，演讲内容、语言表达、演讲技能、形象礼仪四 项得分依次为9.8，9.4，9.2，9.3.若其综合得分按演讲内容50%、语言表达20%、演讲技 能20%、形象礼仪10%的比例计算，则他的综合得分是______. 考点二 方差的计算及应用 例2 小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组.在近几次百米训练中，所测成 绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题: (1)根据图中信息，补全下面的表格. 130(2)分别计算成绩的平均数和方差，填入表格.若你是老师， 将小明与小亮的成绩比较析后，将分别给予他们怎样的建 议？ 解：从平均数看，两人的平均水平相同；从方差看，小明的成绩较稳定，小亮的成绩波动 较大.给小明的建议是：加强锻炼，提高爆发力，提升短跑成绩；给小亮的建议是：总结经 验，找出成绩忽高忽低的原因，在稳定中提高. 5.某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩 产量分别是 千克， 千克，亩产量的方差分别是 ， .则关于 两种小麦推广种植的合理决策是( ) A.甲的平均亩产量较高，应推广甲 B.甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广 C.甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲 D.甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙 6.小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图. 根据图中的信息， 小张和小李两人中成绩较稳定的是______. 7.为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取10株并量出每株长度(单位： cm)如下表所示： 通过计算方差，评价哪个品种出苗更整齐. 解： =(12+13+14+15+10+16+15+11+13+11)÷10=13 =(11+17+16+13+19+14+10+16+6+8)÷10=13 =[(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2+(10-13)2+(16-13)2+(15-13)2+(11-13)2 +(13-13)2+(11-13)2]÷10=3.6 =[(11-13)2+(17-13)2+(16-13)2+(13-13)2+(19-13)2+(14-13)2+(10-13)2+(16-13)2 +(6-13)2+(8-13)2]÷10=15.8 答：甲、乙平均数都为13，甲、乙的方差分别为3.6、15.8，甲的出苗更整齐. 考点三 分析数据做决策 131例3 某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我祖国”知识竞赛，计分采 用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀. 这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下所 示，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b. (1)请依据图表中的数据，求a，b的值； 解：(1)依题意，得 ，解得 (2)直接写出表中m，n的值； 解：m=6，n=20%. (3)有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也 有人说八年级队成绩比七年级队好.请你给出两条支持八年级队成绩好的理由. 解：①八年级队平均分高于七年级队；②八年级队的成绩比七年级队稳定；③八年级队的 成绩集中在中上游，所以支持八年级队成绩好(注：任说两条即可). 针对训练 8.经市场调查，某种优质西瓜质量为(5±0.25)kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科 所采用A，B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20个，记录 它们的质量如下(单位：kg)： A：4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2 5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0 B：4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9 5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3 (1)若质量为(5±0.25) kg的为优等品，根据以上信息完成下表： (2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A，B两种技术做出评价；从市场销售的 角度看，你认为推广哪种种植技术较好？ 解：从优等品数量的角度看，因A种技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A种技术较好； 从平均数的角度看，因A种技术种植的西瓜质量的平均数更接近5kg，所以A种技术较好； 从方差的角度看，因B种技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B种技术种植的西瓜质量 更为稳定；从市场销售角度看，因优等品更畅销，A种技术种植的西瓜优等品数量更多， 且平均质量更接近5kg，因而更适合推广A种技术. 能力提升 1.已知5个互不相同的正整数的平均数是18，中位数25，那么这5个正整数中最大数的最 大值是多少？ 132解：∵ 5个互不相同的正整数的平均数是18 ∴ 这5个数的和为：5×18=90 ∵ 中位数25 ∴ 最中间的数一定是25 ∵ 要得到这5个正整数中最大数的最大值 ∴ 其它数据应尽可能的小 ∴ 其它数一定为：1，2，26 ∴ 最大数为：90-1-2-25-26=36 2.下表为某班学生成绩的次数分配表.已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60 分，求x2－y的值. 解：∵ 全班共有38人，∴ x+y=38-(2+3+5+6+3+4)=15 ∵ 众数为50分，∴ x＞6，x＞y，∴ x≥8 当x=8，y=7，中位数是第19、20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题 意； 当x=9，y=6，中位数是第19、20两个数的平均数，则中位数为(50+60)÷2=55分，不符合 题意； 同理当x=10、11、12、13、14、15时，中位数都不等于60分，不符合题意. ∴ x=8，y=7 ∴ x2-y=64-7=57 3.已知一组数据x 、x 、…、x 的方差为 ，求另一组数据5x －2、5x －2、…、5x －2的 1 2 n 1 2 n 方差. 解：设原数据的平均数为x，则新数据的平均数为5x-2，则原数据的方差为： [(x- )2+ 1 (x- )2+…+(x- )2]= 2 n ∴ 新数据的方差为： {[(5x-2)-(5 -2)]2+[(5x-2)-(5 -2)]2+…+[(5x-2)-(5 -2)]2} 1 2 n = [25(x- )2+25(x- )2+…+25(x- )2] 1 2 n =25× [(x- )2+(x- )2+…+(x- )2] 1 2 n = 25× = 133