文档内容
2023 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（二）
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和
座位号填写在答题纸上.将条形码横贴在答题纸“贴条形码区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题纸上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上
要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题纸的整洁.考试结束后，将试卷和答题纸一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知 ，则
A. B. C. D.
2.已知集合 ， ， ，则
A. B. C. D.
3.下列函数不是偶函数的是
A. B.
C. D.
4.使 ， 的否定为假命题的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
5.某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分
配2人，则不同的分配方法种数为
A.1918 B.11508 C.12708 D.18
6.石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成
碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm，碾滚最外侧正上方为点 ，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点 距碾盘的垂
直距离约为
A.15cm B. cm C. cm D.45cm
7.过圆锥内接正方体（正方体的 4个顶点在圆锥的底面，其余顶点在圆锥的侧面）的上底面作一平面，把圆
锥截成两部分，下部分为圆台，已知此圆台上底面与下底面的面积比为1:4，母线长为 ，设圆台体积为 ，
正方体的外接球体积为 ，则
A. B. C. D.
8.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设 为第一象限角， ，则
A. B.
C. D.
10.已知函数 在 处有极值，且极值为8，则
A. 有三个零点
B.C.曲线 在点 处的切线方程为
D.函数 为奇函数
11.已知抛物线 的焦点为 ，直线 ， 过点 与圆 分别切于 ， 两点，
交 于点 ， 和 ， ，则
A. 与 没有公共点
B.经过 ， ， 三点的圆的方程为
C.
D.
12.设正整数 ，其中 .记
，当 时， ，则
A. B.
C.数列 为等差数列 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 ， ，若 ， ，则 ___________.
14.已知随机变量 ，且 ， ，则
_____.
15.如图①，在平行四边形 中， ，将 沿 折起，使得点 到
达点 处（如图②）， ，则三棱锥 的内切球半径为____________.16.已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，线段 的垂直平分线交 于 ，
两点，交 轴于点 ， 为坐标原点， ，则 的离心率为___________；若 的周长为
8，则 ______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， ，求 .
18.（12分）某校有 ， 两个餐厅﹐为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从 餐厅随机抽取
了67人，从 餐厅随机抽取了69人，其中在 ， 餐厅对服务不满意的分别有15人、6人，其他人均满意.
（1）根据数据列出2×2列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为用餐学生与两家餐厅满
意度有关联？ss
（2）学校对大量用餐学生进行了统计﹐得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐
厅用餐，从第二次用餐起，如果前一次去了 餐厅，那么本次到 ， 餐厅的概率分别为 ， ；如果前
一次去了 餐厅，那么本次到 ， 餐厅的概率均为 .求任意一名学生第3次用餐到 餐厅的概率.
附： ，其中 .
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
19.（12分）在数列 中， ， .
（1）证明：数列 为等比数列；（2）求数列 的前 项和 .
20.（12 分）如图，在直四棱柱 中，底面 为矩形，点 在棱 上，
， ， .
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值.
21.（12分）已知一动圆与圆 外切，与圆 内切，该动圆的圆心的轨
迹为曲线 .
（1）求 的标准方程；
（2）直线 与 交于 ， 两点，点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立：
① ；② ；③ 是直线 与直线 的交点.
注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.
22.（12分）已知函数 ， .
（1）证明： ；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
数学（二）
一、选择题
1.B 【解析】 ，故 .故选B项2.C 【解析】由题意得 ，所以 .故选C项.
3.C 【解析】对于A项， ，所以 ，所以 为偶函
数；对于 B 项， ，所以 为偶函数；对于 C 项， 的定义域为
， ，所以 不是偶
函 数 ； 对 于 D 项 ， 的 定 义 域 为 ，
， 所 以
是偶函数.故选C项.
4.D 【解析】由题得： ， 为真命题，又 ，当且仅当 时等号成立，反之
也成立.所以 是 为真命题的充要条件， 是 为真命题的既不充分也不必要条件， 是
为真命题的既不充分也不必要条件， 是 为真命题的充分不必要条件.故选D项.
5.B 【 解 析 】 分 组 方 法 共 有 ， ， 三 种 情 况 ， 所 以 分 配 方 法 共 有
.故选B项.
6.A 【 解 析 】 由 题 意 碾 滚 最 外 侧 滚 过 的 距 离 为 ， 碾 滚 的 周 长 为
，所以碾滚滚过 圈，即滚过了 ，所以点 距碾
盘的垂直距离为 .故选A项.
7.A 【解析】由圆台上底面与下底面的面积比为1:4，得圆台上底面与下底面的半径比为 ，由题知正方体的棱长为 ，如图，在 中， ， ， ，即 ，
解 得 ， 则 ， 正 方 体 的 外 接 球 半 径 为 ，
，所以 .故选A项.
8.B 【 解 析 】 解 法 一 ： 设 ， ， 当 时 ，
， 令 ， 则
， 所 以 函 数 在 区 间 上 单 调 递 减 ， 所 以
，又 ，所以 ，所以函数 在
区间 上单调递减，所以 ，
故 .故选B项.
解法二：由题意得 ， .令函数 ，
，当 时， ，所以 在区
间 内单调递减，所以 ，所以 ，即，所以 .故选B项.
二、选择题
9.BD 【 解 析 】 由 题 意 得 也 是 第 一 象 限 角 ， 所 以 ，
， A 项 错 误 ；
， B 项 正 确 ；
， C 项 错 误 ；
，D项正确.故选BD项.
10.AC 【 解 析 】 由 题 意 得 ， 又 ， 又
，解得 （舍去）或 ，故B项错误； ，
，当 时， ， 单调递增，当
时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，又 ，
， ， ，所以 有三个零点，故A项正确；又 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，故 C 项正确；
，故D项错误.故选AC项.11.BCD 【解析】联立 ，得 ，因为 是方程的一个根，所以 与
有公共点，A项错误；连接 ， ，则 ， ，所以 ， ， ， 四点在以 为直
径的圆上，圆的方程为 ，化简得 ，B 项正确；由题得
，所以 ，所以 ，C项正确；设过点 且与
圆 相切的切线方程为 ，由 ，解得 或 .不妨设 ，
， 则 ， 联 立 得 ， 所 以 ， 所 以
，所以 ，D项正确.故选BCD项.
12.ACD 【 解 析 】 当 时 ，
， 又 ， 所 以
， 同 理 ， 所 以 ， … ，
，所以 ， ，所以 ，所以
，A 项正确； ，
， B 项 错 误 ； 当 时 ，
， 当 时 ，， 当 时 也 符 合 ， 所 以 ， 所 以
，所以 ，所以数列 为等差数列，C项正
确； ， ，D项正确.故选ACD
项.
三、填空题
13. 【 解 析 】 由 题 意 得 ， ， ， 所 以
，所以 ，解得 或
.当 时， ，不符合题意；当 时， .所以 .
14.0.15 【 解 析 】 由 题 意 知 ， 所 以 ， 所 以
.
15. 【解析】如图，过点 作 ，且 ，连接 ， ，由题意可知
， ， 所 以 平 面 ， 所 以 ， 所 以 ， 所 以
.又 平面 ，所以平面 平面 .取 的中点 ，连接 ，
则 平 面 ， 且 ， 所 以 三 棱 锥 的 体 积
. 又 ，
， ，所以三棱锥
的表面积 ，设三棱锥 的内切球半径为 ，则.
16. 【解析】由 ，可得 ， ，连接 ，在 中，由勾股定
理得 ，所以 ，整理得 ，所以 ，即 ，
所以 的离心率 .在 中， ，所以 .设直线
交 轴于点 ，交 于点 ，在 中，由 ，所以 为 的左焦点，
又 ， ，所以 的周长等于 的周长，又 的周长为 ，所以
，解得 ，所以 ，故 .
四、解答题
17.解：（1）由题得 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 .
（2）由题得 ，所以 ，又 ，
所以 ，故 ，
由余弦定理得 ，所以 .
18.解：（1）零假设为 ：用餐学生与两家餐厅满意度无关联，依题意列出 列联表如下：
不满意 满意 合计
餐厅 15 52 67
餐厅 6 63 69
合计 21 115 136
，
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为用餐
学生与两家餐厅满意度无关联.
（2）设事件 “第 次在 餐厅用餐”，事件 “第 次在 餐厅用餐”，其中 ，
由 题 意 与 互 斥 ， 且 ， ， ； ，
，
由全概率公式得 ，，又 ， ，
由全概率公式得 .
19.（1）证明：由 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ，所以数列 是以3为首项， 为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可知， ，
所以 ，故 ，
设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 .
所以数列 的前 项和 ，
所以 ，
，①
，②
由①-②得 ，
所以 ，
故数列 的前 项和 .
20.解：（1）连接 ，由题意得 ，又 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
在 和 中，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 .
（2）直四棱柱 中，底面 为矩形，所以以点 为坐标原点， ， ， 所
在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）可得 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 取 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
由 取 ，可得 ，
，所以 ，故二面角 的正弦值为 .
21.（1）解：设动圆的圆心为 ，半径为 ，
则 ， ，所以 ，
由双曲线定义可知， 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线的右支，
所以 ， ，即 ， ，所以 ，
所以 的标准方程为 ， .
（2）证明：若①② ③：
由题可设直线 ， ， ， ， ，
由直线 与 交于 ， 两点，所以 ，
联立 得 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，即 ，
由题知 ，所以 ，即 异于 的中点，所以 ，即 ，
得 ，
又 ，所以 ，故 ，化简得 ，
所以点 在直线 上，又 是 上的点，所以③成立.若①③ ②：
设 ， ， ， ，则 .
由 ， ， ， 四点共线，设 ， ，其中 且 ， ，
则 ， ， ， ，
又点 在 上，所以 ，
所以 ，整理得 ，
又 ，所以 ，
同理 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，故 ， ，
所以 ，故 ，即 成立，所以②成立.
若②③ ①：
由题设 ， ， ， ，由 ，得 ，
又点 为线段 上一点，点 为线段 延长线上一点，
所以设 ， ，其中 且 ，
则 ， ， ， ，
又点 在 上，所以 ，所以 ，
整理得 ，同理 ，
所以 ，
故 ，将 代入得 ，
所以 故 即① 成立.
22.（1）证明：即证 恒成立，
设 ， ，显然 在区间 内单调递增，
又 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，即 ， .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
所以 ，即 .
（2）解：由 ，得 ， ，
当 时， ，所以 ，即 ，
设 ，则 ，且 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，即 成立；
当 时，令 ， ，则 ，
所以 在区间 内单调递增，
又 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，即 ，
当 时， ，由 ，
得 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 在区间 内单调递减，
所以 ，解得 .
当 时， ，即 ，
由 ，得 ，
即 ，设 ，则 ，
由 得 ，所以 ，所以 单调递增，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，
综上，实数 的取值范围为 .
