文档内容
专题 04 二次函数与几何综合常考题型
【题型01 ：二次函数与角相等】
【题型02 ：二次函数与线段最值】
【题型03：二次函数与面积综合】
【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】
【题型05：二次函数与菱形存在性问题】
【题型06：二次函数与矩形存在性问题】
【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】
【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】
【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】
【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】
【题型01 ：二次函数与角相等】
【典例1】如图1，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(−3，0)，B(2，0)，与y轴交
于点C，点D是OC的中点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)当∠ABP=∠BAD时，求点P的坐标．
(3)如图2，过点P作直线BD的垂线，垂足为M．以PM为对角线作正方形PQMN，当点
Q落在抛物线y=ax2+bx+4的对称轴上时，请写出点P的横坐标．【变式1-1】已知直线y=x−3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经
过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标；
(2)如图1，点E(2,m)在抛物线上，连接BE，点P在抛物线对称轴左侧，满足
∠PBC=∠EBC，请求出点P的坐标；
(3)如图2，连接BD，CD．
①判断△BCD的形状；
②当∠BCP=∠CBD时，直接写出点P的坐标．
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2−3x+4的图象与x轴交于A，
B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线AC．D为直线AC上方抛物线上
的一个动点，横坐标为m，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线AC于点E．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC的函数表达式．
(2)当∠ACD=2∠BAC时，求点D的坐标．
【典例2】综合与探究如图，已知抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点
y=ax2+bx−2(a>0) A(−1,0) B(2,0)
C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若∠BAP=45°，求m的值．
【典例3】如图，二次函数的图像与x轴交于A(−2,0)，B两点，与y轴交于点C，且顶点
为(2,8)，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，在BC的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作
1
PQ⊥BC交BC于点Q，则BQ+ PQ是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请
2
说明理由；
(3)如图②，连接CA，抛物线上是否存在点M，使得∠BCM+∠OCA=45°，如果存在，
请求出直线CM与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由．【题型02 ：二次函数与线段最值】
【典例4】已知抛物线与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，D是抛
物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
(2)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
❑√3
(3)若点M为y轴上的一个动点，连接AM，求 CM+AM的最小值．
2
【变式4-1】如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(−1,0)，
b
与y轴交于点C(0,4)．注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=− ，顶点坐标是
2a
( b 4ac−b2 )．
− ,
2a 4a
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值是最小时，请计算此时m的值．3
【变式4-2】如图，直线y= x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线
4
3
y=− x2+bx+c经过A、B两点．
4
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的
长的最大值．
【变式4-3】如图，抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．【题型03：二次函数与面积综合】
【典例5】已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点
坐标为(−1,0)，M(2,9)为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使得△BCP的面积最大，求出点P的坐标及
△BCP最大面积．
【变式5-1】如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中
B(1,0)，C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出
点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．【变式5-2】如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点
C，其中A(−2,0),C(0,−2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面
积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】
4
【典例6】如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于
3
点C．
(1)求抛物线解析式及C点坐标；
(2)D是平面直角坐标系内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐
标；【变式6-1】已知抛物线L：y=x2−2x−3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），顶点为
C，将抛物线L向左平移5个单位，得到抛物线L′．
(1)求A，B，C三点坐标；
(2)M为抛物线L上一动点，N为抛物线L′上一动点，是否存在M，N，使得以A，B，M，N
为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形？若存在，请求出点M，N的坐标；若不存在，
请说明理由．
5
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+ (a≠0)与x轴交于
2
A(−1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-3】如图，抛物线 经过点A，B，对称轴是直线 ，与y轴
y=ax2+bx+c(a≠0) x=1
交于点C(0,6)，B点坐标为(6,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值；
(3)在y轴的右侧是否存在点M，使得以M，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，若存
在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-4】如图，已知拋物线y=ax2−2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3)，B(−3,0)
两点，该拋物线的顶点为C．
(1)求此抛物线和直线AB的表达式；
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴
的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点
M的坐标；若不存在，说明理由．【题型05：二次函数与菱形存在性问题】
【典例7】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B(2,0)两点，与y轴交于点C(0,−6)，
对称轴为直线x=−2，连接AC．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点E在直线AC下方的抛物线上运动（不含端点A,C），连接AE,CE,BC，当四边形
AECB的面积最大时，求出面积的最大值和此时点E的坐标．
(3)连接BC,Q是线段AC上的一个动点，过点Q作BC的平行线l．在直线l上是否存在点H，
使得以点Q,C,B,H为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式7-1】已知抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交
于点C(0,3)．
(1)求抛物线L的表达式．
(2)若点P是直线y=x+1上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线L′，点B的对应点为Q，
是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是以AB为对角线的菱形？若存在，求出抛物线L′的表达式：若不存在，请说明理由．
【题型06：二次函数与矩形存在性问题】
【典例8】如图，抛物线y=x²+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，交y轴于点C，点
P是抛物线上一个动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为(2,−3)时，求四边形ACPB的面积；
(3)当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q
为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴
交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG垂直AD于点G，作FH平行于
x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值及F点坐标；
(3)点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶
点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标．【变式8-2】已知：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
OA=OC=3，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式：
(2)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN的面积最大？最大面积
是多少？
(3)点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F，
使点A，D，E，F构成矩形，若存在，求出点E，F的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4,0)的直线AB与y轴交于点B(0,4)．
经过原点O的抛物线y=−x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线y=−x2+bx+c的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥ y轴且MN=2时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点
的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】
【典例9】如图，抛物线 交x轴于点 ，B，交y轴于点 ，在
y=a(x+1) 2 +ℎ A(−4,0) C(0,6)
y轴上有一点D(0,−2)，连接AD．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若抛物线对称轴上存在一点P，使△ADP为以AD为腰的等腰三角形，求满足条件的点
P的坐标．
【变式9-1】如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
y=ax2+bx+8(a≠0) x A B y C
抛物线的对称轴交x轴于点D．已知点A(−4,0)，B(2,0)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若在抛物线的对称轴上存在一点E，使得ΔECD是以CD为腰的等腰三角形，请求出所
有满足题意的点E的坐标．【变式9-2】如图，二次函数 y=x²+bx+c的图象与 x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，
与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 △DBC的面积；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存
在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-3】如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(1,0)和点B，
与y轴相交于点C(0,3)．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求线段BC的长．
(3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】【典例10】如图，二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，M为抛物线的顶点．
(1)求A，B 两点的坐标；
(2)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出
点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-1】如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A(−4,0)，B两点，交y轴于点C(0,4)．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接
AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】
【典例11】如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，点D在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直
接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式11】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A(−1,0)和点
B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、
Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】
【典例12】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=−x−3与x轴交于点A，与y轴
交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B(1,0)，抛物线对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标；
(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，
E为顶点的三角形与△BOC全等，请直接写出点P的坐标．
【变式12-1】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2，0)和点B(4，0)，
与y轴交于点C(0，4)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点D在x轴下方，以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，平移这条抛物线，使
平移后的抛物线经过点B和点D，请求出点D的坐标并写出平移的过程．
1
【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=− x2+x+4的图象与x轴交于A、
2
B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．(1)求点A、P的坐标；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x
轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满
足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
