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专题 21.1 一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一元二次方程的定义
（1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是 2次的整式方
程，叫做一元二次方程.
（2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方
程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2.
【例1】 （23-24八年级下·全国·假期作业）下列方程一定是关于 的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数
的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
解：A、 是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B、 ，是一元二次方程，符合题意；
C、 中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；
D、 是一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意；故选：B．
【点拨】厘清一元二次方程三个条件是解题的关键。
【知识点二】一元二次方程的一般形式
一般形式
二次项为 二次项系数为
项及项的系数
一次项为 一次项系数为
常数项为
特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，
方程右边为0.【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）把一元二次方程 化成一般形式，并写
出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】 ，二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1
解：将方程两边去分母、去括号、移项、合并同类项，使方程右边为零，左边按x的降幂形式排列．
去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项、合并同类项，得 ．
此方程的二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1．
【点拨】解题的关键是先要整理成一元二次方程一般形式再确定各项系数。
【知识点三】一元二次方程的解（根）
概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一
元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
判断一个数是不是 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个
一元二次方程的解
（根）的方法（代
入检验法）
【例3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程 的一个实数根，则代数式
的值为 ．
【答案】2020
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得 ，则 ，然后整体代入化简求值即可．
解：由题意得 ，
则 ，
∴ ，
∴
故答案为：2020．第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】一元二次方程的概念 易忽视
【例1】（20-21八年级下·全国·课后作业）（1）若方程 是关于x的一元二次方
程，求m的取值范围．
（2）如果 是方程 的一个根，求 的值．
【答案】（1） 且 ；（2）9
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；
（2）把 代入 中得到 ，再由 进行求解即可．
解：（1）∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ 且 ；
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全
平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程 的
一次项系数为4，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般
形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是 确定
，另外一次项系数等于4，确定 ，据此解答．
解：∵一元二次方程 的一次项系数等于4，∴
即 ，
∴ 或 ．
又∵二次项系数不为0，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选：A．
【变式2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于 的一元二次方程 的
常数项为0，则 的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，对于关于 的一元二次方程 ，
其中 叫做二次项， 叫做二次项系数； 叫做一次项； 叫做常数项．
根据一元二次方程的一般形式确定常数项，根据题意列出方程，解方程求出 ．
解：关于 的一元二次方程 的常数项是 ，
则 ，
解得： ，
，
的值为6，
故答案为：6．
【题型2】一元二次方程的一般形式
【例2】（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于 方程 的各项系数与常数项
之和为2，求 的值．
【答案】
【分析】首先把关于 方程 化为一般形式，根据各项系数与常数项之和等于2，求
出m的值即可．
解：整理方程得 ，化为一般形式即为 ，
方程的各项分别为 ， ， ，其中未知项系数分别为1， ，
依题意即有 ，
解得： ．
【点拨】此题考查一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且 ）特别要
注意 的条件．
【举一反三】
【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程
的常数项是6，则一次项是（ ）
A． B． C．x D．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程定义可得 ， ，可得 的值，再代入原方程，由此即可
得结果．
解：∵关于x的一元二次方程 的常数项是6，
∴ ， ，
解得： ，
把 代入原方程可得 ，
∴一次项是 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 ，其中， 是二次项， 是一次项， 是常数项．
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）把一元二次方程 化
成一般形式是【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的
关键，注意：一元二次方程的一般形式是 （ 、 、 为常数， ）．
解： ，
，
，
，
即一元二次方程的一般形式是 ，
故答案为： ．
【题型3】一元二次方程的解（根）中的整体思想求值（解）
【例3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知 是一元二次方程 的一
个根，求 的值．
【答案】2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据 是一元二次方程
的一个根，得出 ， ，再整体代入求解即可．
解：由题意，将 代入方程 ，
得 ，
∴ ， ，
∴
，
∴ 的值为2．
【举一反三】【变式1】（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知关于 的方程 （ 为常
数， ）的解是 ， ，那么方程 的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的 看作整体，相当于前面一个方
程中的 求解，注意由两个方程的特点进行简便计算．
解：∵关于 的方程 （ 为常数， ）的解是 ， ，
∴方程 变形为： ，
即 或 ，
解得： 或 ，
故选：D．
【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程 的一个根，则代数式
的值 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知识点，
准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据一元二次方程的解的意义可得 ，从而可得 ，然后再对多项式进行去括
号，合并同类项，最后把 代入化简后的式子进行计算即可．
解：∵a是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，当 时，原式 ．
故答案为：3．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2013·山东菏泽·中考真题）已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式
的值．
【答案】4
解：∵m是方程x2−x−2=0的根，
∴m2−m−2=0，即m2−m=2，m2 −2=m．
∴ ．
【例2】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程 的根，那么
的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有 ，即有 ，据此即可作答．
解：∵m为 的根，
∴ ，且m≠0，
∴ ，
则有原式= ，
故选：B．【例3】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程 的根，则 ．
【答案】6
【分析】由m是方程 的根，可得 ，把 化为 ，再通分变
形即可．
解：∵m是方程 的根，
∴ ，即 ，
∴
；
【点拨】此题隐含着m 0这个条件，教师教学中应该加以提示，整体思想是解此题的
关键。
2、拓展延伸
【例1】（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值： ，其中x是方程
的根．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分
得到最简结果，再整体代入计算即可求出值．
解：，
∵x是方程 的根，
∴ ，
∴原式 ．
【点拨】准确化简与整体思想的运用是解题的关键，是中考常考题型。
（2）∵a是方程 的一个根，
∴ ，
∴．
