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2024-2025 学年度第二学期第一次教学质量监测
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．根据倒数的定义求解即可．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：D．
2. 据统计，2024年马鞍山市GDP达到2784亿元，同比增长 ，其中2784亿用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：其中2784亿用科学记数法表示为 ，
故选：C．
3. 下面四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对
各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，同底数幂的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题
的关键．
根据二次根式的加法，除法法则，同底数幂的除法，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】A． 与 不能合并，故A不符合题意；
B． ，故B不符合题意；
C． ，故C符合题意；
D． ，故D不符合题意；
故选：C．
5. 若反比例函数 与一次函数 的图象相交于点 ， ，则b的
值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象
上点的坐标特征，求得 、 的值是解题的关键．把 点坐标代入反比例函数解析式可求得 ，则可求得
反比例函数解析式，则可求得 点坐标，把 、 坐标代入一次函数解析式即可求得 、 的值．
【详解】解： 点 在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为 ，
在反比例函数图象上，
∴ ，
，
，
、 在一次函数图象上，
，
解得 ，
故选：D．
6. 如图，直线 ，分别与直线l交于点A，B，把一块含 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若
，则 的度数是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质．根据平行线的可得 ，根据平角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
7. 如图， 中， ， ， 和 的平分线交于点P，过点P作 分别
交 ， 于点D，E，则 的周长为（ ）
A. 不能确定 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性
质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可．
【详解】解：∵ 和 的平分线交于点P， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长为： ，
∵ ，
∴ 的周长为 ，
故选：D．
8. 已知 为实数，且 ，则 之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据已知等式求出 ，再利用完全平方公式判断出 的
符号，由此即可得出答案．
【详解】 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
9. 如图， 中， ，点 在折线 上运动，过点 作 的垂线，
垂足为 ，设 ， ，则 关于 的函数图象大致是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用
的规律，相似三角形的判定和性质得到 的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分
析是解题的关键．
运用勾股定理，等面积法得到 边上的高，根据点 在折线 上运动，分类讨论：当点 在 上
时， ，即 ；当点 在 上时，如图所示， ，即 ；运用
相似三角形的判定和性质可得 的值，由三角形面积的公式可得 关于 的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解；
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 在 上时， ，即 ， ，
∴ ，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意；当点 在 上时，如图所示， ，即 ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
故选：A ．
10. 如图：已知矩形 ， ， ，E 为 边上一个动点， ，
，连接 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．取 的中点 ，连接 ，求
得 ， ，证明 ，求得 ，当点 与
点 重合时， 有最小值，据此求解即可．
【详解】解：取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
当点 与点 重合时， 有最小值，最小值为2，故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若 ，则代数式 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质．设 ， ，代入 即可求解．
【详解】解：设 ，则 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
12. 分解因式： _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：
一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解），可以先提公因式m，再根
据平方差公式分解因式即可
【详解】
故答案为：
13. 如图，是反比例函数 的部分图象，矩形 交反比例函数于D，E两点．当 ，， 时，则 ______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征．先表示 ，
，再由三角形面积公式建立方程求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
解得： （舍去）或 ，
为
故答案 ：8．
14. 如 图 ： 已 知 四 边 形 ， 相 交 于 F ， E 为上 一 点 ， ，
．
（1）若 ，则 ______．
（2）若 ， ，则 ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握全等三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质，三角形
外角性质，相似三角形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键．
（ 1 ） ∵ 根 据 ， ， 可 得
；
（2）根据 ， ，证明 ，得 ，在 上取点G，使
， 可 得 ， 得 ， 得 ， 设
， 根 据 ， ， 得 ， 得，代入得 ，得 ，解得 ．
【详解】（1）∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 上取点G，使 ，连接 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
检验知，是所列方程的解．
取 ．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的混合运算．先计算零指数幂、负整数幂、算术平方根、代入特殊角的三角
函数值，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）请画出将 绕点O顺时针旋转 得到的 ；
（2）请用无刻度的直尺在 上找一点P，使 （保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图——旋转变换，平行线比例作图．
（1）先连接 、 、 ，再将 、 、 分别旋转 得到 、 、 ，最后依次
连接 、 、 ，即可求解；
（2）在 延长线上取格点 ，使得 ，连接 ，依次过 上的格点利用网格线的特征作
的平行线，将 平均分成5份，使得 占 的2份，即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，点P为所求：四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 今年春节假期期间，马鞍山长江不夜城举办了大型灯展活动，由此带来旅游热潮，据统计，灯展2月1
日接待游客8000人，接待人数逐日增加，2月3日这天接待游客11520人，求这三天灯盏接待游客的日平
均增长率．
【答案】这三天灯盏接待游客的日平均增长率为 ．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这三天灯盏接待游客的日平均增长率为 ，根据题意列出方
程求解即可．
【详解】解：设这三天灯盏接待游客的日平均增长率为 ．
依题意，得 ，
解得 （舍去）， ．
答：这三天灯盏接待游客的日平均增长率为 ．
18. 【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：．
（1）第n个图案中，“▲”的个数为______；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为 ，第2个图案中，“★”的个数可表示为 ，第3个图案中，“★”的个数可表示为 ，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______；
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多
4．
【答案】（1） ；（2） ；（3）n的值为2或7
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为 ，即可作答．
（2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为 ；
（3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答．
【详解】解：（1）观察图形，得出
第1个图案中，“▲”的个数为 ；
第2个图案中，“▲”的个数为 ；
第3个图案中，“▲”的个数为 ；
第4个图案中，“▲”的个数为 ；
以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为 ；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为 ，
第2个图案中，“★”的个数可表示为 ，
第3个图案中，“★”的个数可表示为 ，…，
第n个图案中，“★”的个数可表示为 ；
（3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4
∴
∴
解得
∴n的值为2或7
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡
度 的山坡 上发现有一棵古树 ．测得古树底端C到山脚点A的距离 ，在距山
脚点A水平距离 的E处，测得古树顶端D的仰角 ，（古树 与山坡 的剖面、点E
在同一平面上，古树 与直线 垂直），求古树 的高度．（结果保留整数，参考数据：
， ， ．）
【答案】古树 的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．延长 交 的延长线于点F，则，可求 ，设 ，则 ，可求 ，从而可求 ，
， ，由 ，求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 的延长线于点F，则 ，
山坡 上坡度 ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
，
解得： ，
， ，
，
在 中， ，答：古树 的高度约为 ．
20. 如图，在 中， 为弦， 为直径， 于E， 于F， 与 相交于
G． ，若 ， ，求 的半径．
【答案】 的半径为 ．
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接 ，设 ，可得 ，
由 线 段 和 差 得 ， 由 垂 径 定 理 得 ， 由 勾 股 定 理 得
，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，设 ，
，
，
，
，
为直径， ，
，
在 中，
，
，
解得： （舍去）， ，
故 的半径为 ．
六、（本题满分12分）
21. 近期，动画电影《哪吒2》的热映激发了同学们对中国古代神话传说的兴趣．某中学为了丰富学生们的
知识，组织全校学生进行中国古代神话传说知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表：
分数 60 70 80 90 100
频数 2 7 15 16 10（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是______；
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数；
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
【答案】（1）90 （2）该50名同学这次竞赛成绩的平均数为85分；
（3）估计竞赛成绩为优秀的人数约为780人．
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位线、平均数、用样本估计总体．
（1）根据中位数的定义即可解答；
（2）利用平均数的公式代入数据计算即可；
（3）用成绩90分以上（含90分）的人数所占比例乘以1500即可．
【小问1详解】
解：将该50名同学成绩从小到大排列，该50名同学这次竞赛成绩的中位数位于第25名和第26名的平均
数，
则该50名同学这次竞赛成绩的中位数是 ；
故答案为：90；
【小问2详解】
解： （分）
答：该50名同学这次竞赛成绩的平均数为85分；
【小问3详解】
解： （人），
答：估计竞赛成绩为优秀的人数约为780人．
七、（本题满分12分）
22. 如图：已知矩形 ，E，F分别为 ， 边上 的点， ， 的延长线交于点 G，
．（1）求证： ；
（2）如图2，Q，H分别是 ， 边上的点， 交 于点P， ， ；
①求证： ；
②连接 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 ， 根 据 矩 形 的 性 质 得 出
，根据 ，即可得出
答案；
（2）①过点 E 作 ，交 于点 M，先证明 ，得出 ，根据
，得出 ，证明 ，得出答案即可；
②连接 ， ，证明 ，得出 ，根据等腰三角形性质得出 ，即可
得出答案．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ， ，∴ ；
【小问2详解】
解：①过点E作 ，交 于点M，如图所示：
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ；
②连接 ， ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性
质，平行公理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
八、（本题满分14分）
23. 已知点A和点B在第一象限，点A坐标 ，点B坐标 ，点P为线段 上一点， 分
别垂直x，y轴，垂足为C，D；设 ，四边形 面积为S；（1）求直线 的解析式（含有字母n）；
（2）若 ，求S的最大值；
（3）若点P在线段 上移动时，S总随m的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）S的最大值为 ；
（3）n的取值范围为 或 ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求得点P坐标为 ，再利用矩形的面积公式列得S关于 的二次函数，利用
二次函数的性质求解即可；
（3）同（2）求得S关于 的二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ，
再分当点 在点 的下方和点 在点 的上方时，两种情况讨论，根据对称轴的位置列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设直线 的解析式为 ，
由题意得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
【小问2详解】
解：当 时，直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点P坐标为 ，
∴ ，
∵ ，∴当 时，S有最大值，最大值为 ；
【小问3详解】
解：同理， ，
∴S是关于 的二次函数，对称轴为直线 ，
∵点P在线段 上移动，
∴ ，
分两种情况讨论，
当点 在点 的下方时， ，
∴ ，即 ，
∴该函数图象的开口向下，∵ 时，S总随m的增大而增大，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴n的取值范围为 ；
当点 在点 的上方时， ，
∴ ，即 ，
∴该函数图象的开口向上，
∵ 时，S总随m的增大而增大，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴n的取值范围为 ；
当 时，S总随m的增大而增大，
综上，n的取值范围为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴交点的求法，待定系数法求二次函数解析
式，以及二次函数的增减性，（3）注意要根据点 的位置分情况讨论．
