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2025 届初三第二次学业水平测评
数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2025 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：C ．
2. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物，如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是
（ ）
A. 主视图与俯视图相同
B. 主视图与左视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 主视图、左视图与俯视图都相同
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．
【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和左视图都是下面一个较大的圆，中间一
个较小的圆，上面是一条线段，
则主视图和左视图相同，故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方．根据整式的加减，同底
数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方计算即可．
【详解】解：A、 ，本选项不符合题意；
B、 ，本选项不符合题意；
C、 ，本选项符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：C．
4. 在数轴上表示不等式 的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，注意表示时空心点和实心圈的区别：
不带等号用空心圈，带等号用实心点．先求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
移项，得 ，
该不等式的解集在数轴上表示为：故选：A．
5. 下列函数中，y随x的值的增大而减小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质．根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断
即可求解．
【详解】解：A、 ， ，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、 ， ，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意；
C、 ， ，开口向下，当 时，y的值随x值的增大而增大；当 时，y
的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、 ， ，开口向上，当 时，y的值随x值的增大而减小；当 时，y的值随
x值的增大而增大，故该选项不符合题意；
故选：B．
6. 若一扇形的半径为3，圆心角为 ，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积计算；根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：该扇形的面积是： ，
故选：B．
7. 已知实数m，n满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质．根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，选项A错误，不符合题意；
同理： ，即 ，
∴ ，选项B错误，不符合题意；
∴ ， ，
∴ ， ，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意；
故选：D．
8. 将材质、大小、背面图完全相同的中国象棋四种棋子各一枚背面朝上放置，从中随机翻开两枚，恰好翻
到车、帅棋子的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率．画出树状图，根据概率公式求解即可．【详解】解： 分别用1、2、3、4表示，
画树状图如下：
抽取两张共有12种情形，抽到1和4的情况有2种，故恰好翻到车、帅棋子的概率是 ，
故选：D．
9. 如图，在 中， 相交于点O， ．过点A作 的垂线交
于点E，记 长为x， 长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作
交 的延长线于点F，证明 ，得到 ，由勾
股定理可得， ， ，则 ，整理后即可得
到答案．
【详解】解：过点D作 交 的延长线于点F，∵ 的垂线交 于点E，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
由勾股定理可得， ，
，
∴ ，
∴
∴
即 ，解得 ，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是 ，
故选：C
10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
， ．点M在菱形的边 和 上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接 ， ，设点M的横坐标为x， 的面积为y，则下列图象
能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在 ， ， 之间三个阶段，用含x
的代数式表示出 的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．
【详解】解： 菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
， ，
，，
， ， ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，得：
，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
轴，
N的横坐标为x，
（1）当M的横坐标x在 之间时，点N在线段 上， 中 上的高为 ，
，
，
，
该段图象为开口向上的抛物线；
（2）当M的横坐标x在 之间时，点N在线段 上， 中 ， 上的高为 ，
，
该段图象为直线；
（3）当M的横坐标x在 之间时，点N在线段 上， 中 上的高为 ，
由 ， 可得直线 的解析式为 ，
， ，，
，
该段图象为开口向下的抛物线；
观察四个选项可知，只有选项A满足条件，
故选A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知
识点，解题的关键是分段求出函数解析式．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式的减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简．
先对二次根式进行化简，再进行同类二次根式相减即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国
研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，把数字0.00000023用科学记数法表
示为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解： ．故答案为： ．
13. 如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，且 ，点 是 边上的点，连
接 ，将四边形 沿直线 翻折得到四边形 ．当 ， ， 三点共线时，则线段
的长为________________．
【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：一是 ， ， 三点共线，且点 在线段 的延长线上；二是 ， ，
三点共线，且点 在线段 上，先根据矩形的四个角都是直角，对边平行且相等得出
， ， ， ，推得 ，根据折
叠前后对应边和对应角都相等得出 ， ， ， ，
根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出 的值，结合锐角三角形函数进行求解即可．
【详解】解：如图， ， ， 三点共线，且点 在线段 的延长线上，连接 ， 交 于
点 ，
∵四边形 是矩形， ， ， 在 上，且 ，∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
由翻折得 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图， ， ， 三点共线，且点 在线段 上， 交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形两个锐角互余，等角的余角相等，
解直角三角形等，正确求出 的长是解题的关键．
14. 如图，A，B两点在反比例函数 （ ）的图象上，其中 ， 轴于点C，
轴于点D．
（1）若 ， ，当 时，k的值为______；
（2）点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且 ．若 ， ，则 ______．【答案】 ①. ## ②. 3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求函数解析式，两点之间距离公式，
解一元二次方程等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）先表示出 ， ，由 ，根据两点间距离公式建立方程求解即可；
（2）由 求出反比例函数解析式为 ，则 ，由 ，根据两点间距离公式得
到 ，再化简求解即可．
【详解】解：（1）∵A，B两点在函数 的图象上， 轴， 轴， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ．
∵ ，
∴ ；
（2）由题意得， ，
∴将 代入 得， ，
∴反比例函数解析式为 ，的
∵点B 横坐标为b，且点 在反比例函数图象上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
为
故答案 ： ；3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角 的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则
是解题关键．
16. 公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品
牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销
售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率．
【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为 ．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，利用该品牌头盔4月份
的销售量 该品牌头盔2月份的销售量 该品牌头盔销售量的月增长率） ，可列出关于 的一元二次
方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 ，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形 四个顶点都是格
点，E是 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图中，先将线段 绕点B顺时针旋转 ，画对应线段 ；
（2）在 上画点G，并连接 ，使 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性
质等知识点，合理正确取出关键点是解题的关键．（1）取格点F，连接 ，可证明 ，由全等三角形的性质即可得到线段 即为所
作；
（2）连接 ，再取格点P，连接 交 于Q，连接 ，延长交 于G即可．可证明
，则 ，由旋转性质得 ， ，由三线合一即可求解．
【小问1详解】
解：如图，线段 即为所作：
取格点F，连接 ，
∵ ， ， ，
∴
∴
∴
∴线段 绕点 顺时针旋转 得 ；
【小问2详解】
解：如图，点 即为所作：
连接 ，再取格点P，连接 交 于Q，连接 ，延长交 于G即可．
∵ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴
由旋转性质得 ， ，
∴ ．
18. 【观察思考】如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，
图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，…
【规律发现】依此规律，完成以下问题：
（1）图⑤中共有小正方形的个数为______；
（2）图 中共有小正方形的个数为______．
【规律应用】（3）已知一物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量
得到的数据依次为3米、8米、15米、24米、…，如果物体按照这样的移动规律，在第 （ 为正整数）
次测量时移动的距离比第（ ）次测量时移动的距离多（ ）米，那么该物体在第（ ）次
测量时移动了多少米？
【答案】（1）35（2） （３）195
【解析】
【分析】该题是图形类规律题，主要考查了图形规律以及解一元二次方程，解题的关键是根据题意得出图
象变化规律．
（1）根据图例得出规律即可解答；
（2）根据图例得出规律即可解答；（3）由（2）中规律结合题意得出 ，解答即可求解．
【详解】解：（1）图⑤中共有小正方形的个数为 ，
故答案为：35；
（2）图 中共有小正方形的个数为 ，
故答案为： ；
（3）根据题意得 ，
整理得， ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
所以，该物体在第（ ）次测量时移动了195米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. “一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电
能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两
所成的角为 ，当其中一片风叶 与塔干 叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔
顶部O的仰角 ，风叶 的视角 ．
（1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算
的值；
（2）求风叶 的长度．【答案】（1）
（2）风叶 的长度为 米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
（1）根据题中公式计算即可；
（2）过点 A 作 ，连接 ， ，先根据题意求出 ，再根据等腰对等边证明
，结合第一问 的结论用三角函数即可求 ，再证明四边形 是矩形，进一步计算即可
求出．
【小问1详解】
解：由题意可得： ，
∴
；
【小问2详解】
解：过点A作 ，连接 ， ，如图所示，
由题意得： 米， ，
∴ 米， ， 米，
∵三片风叶两两所成的角为 ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∵ ， ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ 米，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ 米，
∵三片风叶两两所成的角为 ，且三片风叶长度相等，
∴ ，
∴ 米，
∴风叶 的长度为 米．
20. 如图， 都是 的半径， ．（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得出， ，再根据 ，
即可得出结论；
（2）过点 作半径 于点 ，根据垂径定理得出 ，证明
，得出 ，在 中根据勾股定理得出 ，在
中，根据勾股定理得出 ，求出 即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
【小问2详解】
解：过点 作半径 于点 ，则 ，
，∴ ，
，
，
，
在 中，
，
在 中， ，
，
，即 的半径是 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角
定理．
六、（本题满分12分）
21. 【项目背景】
近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（ ）逐渐走进人们的日常生活， 技术已广泛应用于手机、
家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献，某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调
查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的 软件进行整理，请使用者进行评价打分，从使用较好甲、乙两款 软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理，成绩均高于 分（成绩得分
用x表示，共分为五组：A： ；B： ；C： ；D： ；E：
）
下面给出了部分信息：
甲款 软件 名使用者打分为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ．
乙款 软件 名使用者打分在 等级的数据是： ， ， ， ， ， ．
甲、乙两款 软件抽取的使用者打分统计表
年级 平均数 众数 中位数
甲款
软件
乙款
软件
乙款AI软件抽取的使用者打分统计图
【数据分析与应用】
任务一：上述表中a ＝ ____________；b ＝ ____________；
任务二：求扇形统计图中A组所占圆心角的度数．
任务三：下列结论一定正确的是____________．
①甲乙两款 样本数据的中位数均在A组；
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款 样本数据的满分一样多．
任务四：根据甲、乙两款 软件样本的特征数，试估计哪款AI更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．
【答案】任务一： ； ；
任务二：
任务三：②
任务三：甲款更优秀
【解析】
【分析】本题考查了众数，中位数，扇形统计图的圆心角度数，数形结合是解题的关键；
任务一：根据众数，中位数的定义即可求解；
任务二：根据A组的占比乘以 ，即可求解；
任务三：根据题目中的数据逐项分析，即可求解．
任务四：根据甲款 软件的众数和中位数都高于乙款 软件，则甲款更优秀．
【详解】任务一：根据甲款 软件 名使用者打分可得，众数 ，
乙款 软件打分在 等级的数据有 个，占 ，
则 等级的占比为
∴ 等级的数据有： 个，
∴第 和 个数据为 ， ，则 ；
故答案为： ； ．
任务二：扇形统计图中A组所占圆心角的度数为
任务三：①甲款 样本数据的中位数在A组；乙款 样本数据的中位数在 组，故①错误
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多，都是 个，故②正确
③甲乙两款 样本数据的满分不一定一样多，故③不正确．
故答案为：②
任务四：甲款更优秀．
甲款 软件的众数和中位数都高于乙款 软件，则甲款更优秀．
七、（本题满分12分）22. 如图，在 中， ， 分别是 ， 上的动点．
（1）已知 ， 交 的一边于点 ， ．
①如图1，若点 在 上，求证： ．
②如图2，若点 在 上，且 ， ，求 的长．
（2）如图3， ，点 在 上，且 ，若 ， ，求 的值．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由 ， 得出 ， ，由矩形的判
定与性质得出 ， ，推出 ，证明
，得出 ，即可得证；②作 于 ，由 ，
得出 ， ，由矩形的判定与性质得出
， ，推出 ，证明 ，得出，求出 ， ，则 ，再由勾
股定理求出 ，即可得解；
（2）在 的延长线上找一点 ，连接 ，使 ，则四边形 是等腰梯形，证明
得出 ，结合 ， ，计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明： ， ，
， ，
， ，
，
，四边形 是矩形，
， ，
，
，
；
②如图，作 于 ，， ，
， ，
， ，
，
，四边形 是矩形，
， ，
，
，
是
四边形 矩形， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，在 的延长线上找一点 ，连接 ，使 ，则四边形 是等腰梯形，
，
， ，
，
，
，
， ， ，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以
上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键，属于中考压轴题．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．已知抛
物线 经过 两点，且与 轴交于另一点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若 是直线 上方抛物线上的一个动点（不与点 重合），过点 作 轴于点 ，交
直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．
①如图2，当 为何值时，线段 取最大值？②如图3， 是抛物线上一点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴于点 ，是否存在 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）① ②存在， 或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求线
段长度的最值，利用相等线段求坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）利用一次函数的解析式求得 ，再利用待定系数法即可求得二次函数解析式；
（2）①假设 ， ，列出 ，分析 关于
的二次函数即可求解；
②设 ，列出 ，分类进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：当 的函数值为0时，即 ，
解得 ，
∴ ，
将 代入 得
解得
所以，二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：①假设点 ， ，根据题意可得，
，可以看作 关于 的二次函数，开口向下，顶点为最高点，顶点横坐标为 ，在 的取值范围之内，
∴ 的最大值为 ，
∴当 时，线段 取最大值；
②存在，理由如下：
假设 ，则 ，
当 时，即 ，
当 点在 轴上方时， ，
解得 ，此时， ；
当 点在 轴下方时， ，
解得 或 （舍去），此时， ；
综上，当 或者 时， ．
