文档内容
第十三章 一元二次方程1. 熟练掌握一元二次方程全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
1. 重点
（1）解一元二次方程；
（2）二元一次方程的实际应用；
教学重难点 （3）根与系数的关系
2. 难点
（1）根于系数的关系的推广应用；
（2）一元二次方程的实际应用各类型的计算表达式。
考点01 一元二次方程
1. 一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式为： 。其中 是二次项， 是二次项系数；
是一次项， 是一次项系数； 为常数项。
3. 一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。
【题型1】
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
1
A．2x+3y﹣5＝0 B．x2+ = 1
x
C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0
【题型2】
2．若方程(m+2)xm2+(m−1)x−2=0是关于x的一元二次方程，则m＝
．
【题型3】
3．把方程x（x+1）＝5（x﹣2）化成一般式，则a+b+c得值是（ ）
A．﹣3 B．7 C．﹣5 D．1
【题型4】
4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（ ）
A．k＝2 B．k＝0 C．k＝﹣2 D．k＝±2【题型5】
5．若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（ ）
A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050
考点02 解一元二次方程
1. 直接开方法解一元二次方程：
适用形式： 或 或 （ 均大于等于0）
① 时，方程的解为： 。
② 时，方程的解为： 。
③ 时，方程的解为： 。
【题型1】
6．方程（x﹣1）2＝4的解是（ ）
A．x ＝﹣4，x ＝5 B．x＝3
1 2
C．x ＝﹣1，x ＝3 D．x＝1
1 2
【题型2】
7．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（ ）
A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0
【题型3】
8．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x ＝2，x ＝﹣1，那么方程a
1 2
（x+m+2）2+b＝0的解为（ ）
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝4，x ＝12
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝﹣1 D．x ＝0，x ＝﹣3
1 2 1 2
2. 配方法解一元二次方程：
运用公式： 。
具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
即：∴
若 ，则即可求得两根。
【题型1】
9．一元二次方程x2﹣6x+6＝0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝3 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝3
【题型2】
10．把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（ ）
A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10
【题型3】
11．在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（ ）
A．6 B．3.6 C．3 D．2.8
【题型4】
12．若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
3. 公式法解一元二次方程：
（1）根的判别式：由配方法可知， 即为一元二次方程根的判别式。用 表示。
① 方程有两个不相等的实数根。
② 方程有两个相等的实数根。
③ 方程没有实数根。
（2）求根公式：当 时，则一元二次方程可以用 来求出它的两个根，这就
是一元二次方程的求根公式。
① 时，一元二次方程的两根为 。
② 时，一元二次方程的两根为 。
③ 时，方程没有实数根。
【题型1】
1
13．关于一元二次方程
x2−2x+2=0的根的情况，下列说法正确的是（
）
2
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【题型2】
14．k为实数，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定根的情况
【题型3】
15．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根．则k的取值范围是（ ）
3 3 3 3
A．k≤ B．k＞ C．k＜ D．k≥
2 2 2 2
【题型4】
−b±❑√b2−4ac
16．在用求根公式x= 求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了 a，b，c 得到
2a
3±❑√(−3) 2−4×2×(−1)
x= ，则她求解的一元二次方程是（ ）
2×2
A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0
4. 因式分解法求一元二次方程：利用因式分解的手段将一元二次方程化为 的形式，再利用 来求解二元一次
方程。
【题型1】
17．用适当的方法解下列方程：
（1）x2＝4x； （2）（x﹣3）2﹣4＝0； （3）2x2﹣4x﹣5＝0； （4）（x﹣1）（x+2）＝2
（x+2）．
【题型2】
18．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x ＝1，x ＝﹣4，则方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0的解是（ ）
1 2
A．x ＝﹣2，x ＝﹣0.5 B．x ＝2，x ＝0.5
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝﹣0.5 D．x ＝﹣2，x ＝0.5
1 2 1 2
【题型3】
19．若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20＝0的根，则△ABC的周长是（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．7或10
【题型4】
20．已知实数m、n满足（m2+2n2﹣2）（m2+2n2+3）＝6，则m2+2n2的值为（ ）
A．﹣4 B．3 C．4 D．3或﹣4
考点03 根与系数的关系
1. 根与系数的基本关系：
若 是一元二次方程 的两个根，则这两个根与系数的关系为：
。
同时存在： 。
2. 常考推广公式：
① 。
② 。
③ 。④ 。
⑤ 。
⑥ 。
【题型1】
21．已知一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两根为x ，x ，则x x ﹣x ﹣x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
【题型2】
22．已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（ ）
A．2025 B．2028 C．2030 D．4048
【题型3】
23．已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为x ，x ，则式子（x +1）（x +1）的值等于（ ）
1 2 1 2
A．﹣4 B．0 C．2 D．6
【题型4】
24．设x ，x 是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x2+x2的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．10 C．2 D．﹣10
【题型5】
m 1 1
25．已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+ =0有两个不相等的实数根x ，x ．若 + =4m，
4 1 2 x x
1 2
则m的值是（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【题型6】
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值．【题型7】
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若一元二次方程的两个根x 和x 满足（x ﹣2）（x ﹣2）＝11，求实数m的值．
1 2 1 2
考点04 一元二次方程的实际应用
1. 列方程解实际应用题的步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。
④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。
⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
2. 一元二次方程实际应用的基本类型：
传播轮数
①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数） ＝总病例数。
②握手（比赛）问题：计算公式：单循环： ＝总数；双循环： ＝总数。（ 表示
参与数量）
③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：
100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
增长轮数
④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率） ＝总数，
下降轮数
原数×（1－下降率） ＝总数。
⑤商品销售问题：基本等量关系：
总利润＝单利润×数量现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－ （原数量＋ ）
⑥图形面积问题：
利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
【题型1】
28．根据乘联会（简称CPCA）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．2025年1月新能
源汽车国内月销量达到74.4万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到241.8万辆．若设2025
年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x，依题意，可列出方程为（ ）
A．74.4+74.4（1+x）+74.4（1+x）2＝241.8
B．74.4（1+3x）＝241.8
C．74.4（1+x）2＝241.8
D．74.4×3（1+x）＝241.8
29．一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72
x(x−1)
C．（x﹣1）2＝72 D． =72
2
30．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育
活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一
场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
1 1
C． x(x+1)=28 D． x(x−1)=28
2 2
31．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为 40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停
车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列
方程为（ ）
A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520
32．某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上
再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是 36个，则下列方程中正确的是（）
A．x2＝36 B．（1+x）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36
33．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50
个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每
天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（ ）
A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220
B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220
C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220
D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220
【题型2】
34．古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明
者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．“其大
意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．他的邻居教他沿着门
的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去．问：竹竿有多少尺？
35．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．
联赛采用单循环赛制，每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行
了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？
36．为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假
定每年投入的资金年增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加50%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在 2024年最多可以改造多少个老
旧小区？
37．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后
来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克．
（1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答：
①每千克樱桃应降价多少元？
②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降
价多少元；如果不可以，请说明理由．
38．在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案
一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同．（1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为x米，请列出方程，不做解答．
（2）求方案二中扇形的半径；（其中 ≈3，结果保留根号）
（3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
π
