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第二十一章 一元二次方程(A 卷·知识通关练)
核心知识1一元二次方程及其根
1．(2022春•任城区期末)若关于 的一元二次方程 有一根为 ，则一元二次方
程 必有一根为
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】对于一元二次方程 ，设 得到 ，利用
有一个根为 得到 ，从而可判断一元二次方程 必有一根为 ．
【解答】解：对于一元二次方程 即 ，
设 ，
所以 ，
而关于 的一元二次方程 有一根为 ，
所以 有一个根为 ，
则 ，
解得 ，
所以一元二次方程 必有一根为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．
2．(2022春•平桂区期末)下列方程中，不是一元二次方程的是
A． B． C． D．【分析】根据一元二次方程的定义解决此题．
【解答】解： ．根据一元二次方程的定义， 是一元二次方程，那么 不符合题意．
．根据一元二次方程的定义， 是一元二次方程，那么 不符合题意．
．根据一元二次方程的定义， 不是一元二次方程，那么 符合题意．
．根据一元二次方程的定义， 是一元二次方程，那么 不符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．
3．(2022春•桐城市期末)若 为方程 的解，则 的值为
A．4 B．2 C． D．
【分析】由题意可得 ，再由 ，代入求值即可．
【解答】解： 为方程 的解，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
4．(2022春•瑶海区期末)如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式 的值
为
A． B．1 C． D．2
【分析】把 代入方程 ，即可得到 的值．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 的一个解是 ，，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
5．(2022春•包河区期末)一元二次方程 化为一般形式后，常数项为
A．6 B． C．1 D．
【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．
【解答】解：方程整理得： ，则常数项为 ．
故选： ．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ， ， 是
常数且 ．在一般形式中 叫二次项， 叫一次项， 是常数项．其中 ， ， 分别叫二次项系数，
一次项系数，常数项．
核心知识2．解一元二次方程
6．(2022春•张店区期末)用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是
A． B． C． D．
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程 ，
整理得： ，
配方得： ，即 ．
故选： ．
【点评】此题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．(2022春•姜堰区期末)用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用解一元二次方程 配方法，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握解一元二次方程 配方法是解题的关键．
8．(2021秋•陵水县期末)将一元二次方程 化成 的形式，则 等于
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用配方法进行计算即可解答．
【解答】解： ，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握解一元二次方程 配方法是解题的关键．
9．(2022春•莱芜区期末)以 为根的一元二次方程可能是
A． B． C． D．【分析】根据求根公式逐一判断即可．
【解答】解： ．此方程的根为 ，符合题意；
．此方程的根为 ，不符合题意；
．此方程的根为 ，不符合题意；
．此方程的根为 ，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．
10．(2022•山西模拟)在用配方法解方程 时，可以将方程转化为 ，其中所依据的
一个数学公式是
A． B．
C． D．
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【解答】解：在用配方法解方程 时，可以将方程转化为 ，其中所依据的一个数
学公式是 ．
故选： ．
【点评】此题考查了解一元二次方程 公式法，熟练掌握求根公式的推导过程是解本题的关键．
11．(2022春•泰山区期末)下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是
A． B． C． D．
【分析】本题可对方程进行化简，看能否将方程化为左边是两个式子相乘，右边是 0的形式，即可应用因
式分解法来解．
【解答】解： 、 适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；、由原方程得到 ，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；
、 适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；
、由原方程得到 ，最适合于直接开平方法解方程，故本选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了解一元二次方程 因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通
过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一
次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化
思想)．
12．(2022•临沂)方程 的根是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解： ，
，
或 ，
解得 ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．
核心知识3．根的判别与韦达定理
13．(2022•息县模拟)若关于 的方程 没有实数根，则 的值可以是
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】先根据根的判别式的意义得到△ ，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△ ，即 ，
所以 可以取4．
故选： ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与△ 有如下关系：当
△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数根；当△ 时，方程无实数
根．
14．(2022•虞城县三模)关于 的方程 的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到△ ，然后根据根的判别式的意义判断方程根
的情况．
【解答】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根．
故选： ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与△ 有如下关系：当
△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数根；当△ 时，方程无实数
根．
15．(2022•洛阳模拟)关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是
A． 且 B． 且 C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 且△ ，然后求出两不等
式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得 且△ ，
解得 且 ．
故选： ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与△ 有如下关系：当
△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数根；当△ 时，方程无实数
根．
16．(2022•荆门)若函数 为常数)的图象与 轴只有一个交点，那么 满足
A． B． C． 或 D． 或
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数 的图象与 轴恰有一个交点，可得△
，从而解出 值；②函数为一次函数，此时 ，从而求解．
【解答】解：①函数为二次函数， ，
△ ，
，
②函数为一次函数，
，
的值为 或0；
故选： ．
【点评】此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
17．(2022 春•栖霞市期末)若一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ，且
，则 的值是
A． B．3 C．2或 D． 或1
【分析】由根与系数的关系，可得 ， ，又由 ，即可求得 的值．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，
△ ，
，， ，
又 ，
，
解得： 或 ，
，
，
故选： ．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果 ，
是一元二次方程 的两根，那么有 ， 的应用．
18．(2022春•丽水期末)已知关于 的一元二次方程 的一个根是1，则方程的另一个根是
A． B．2 C．3 D．
【分析】设方程的一个根 ，另一个根为 ，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：设方程的一个根 ，另一个根为 ，根据题意得：
，
将 代入，得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
19．(2022春•海阳市期末)若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等
于
A．2022 B．2026 C．2030 D．2034【分析】先根据一元二次方程的定义得到 ，则 可化为 ，再根
据根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解： 是方程 的实数根，
，
，
，
， 是方程 的两个实数根，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了一元二次方程的解．
20．(2022•牟平区一模)已知一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则 的值为
A． B．0 C． D．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到 ，则 变形为 ，再根据
根与系数的关系得到 ，然后利用整体的方法计算即可．
【解答】解： 为方程 的根，，
，
，
方程 的两个根分别为 ， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，则
， ．
核心知识4．一元二次方程的应用
21．(2022•定远县模拟)某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度
平均每月的增长率为 ，那么 满足的方程是
A． B．
C． D．
【分析】由题意根据增长后的量 增长前的量 增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为 ，
那么可以用 分别表示五、六月份的产量，进而即可得出方程．
【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为 ，那么得五、六月份的产量分别为 、
，根据题意得： ．
故选： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的增长率问题，注意掌握其一般形式为 ，
为起始时间的有关数量， 为终止时间的有关数量， 为增长率．
22．(2022•南通)李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平
均增长率都相同，则这个平均增长率是
A． B． C． D．
【分析】设该商店的月平均增长率为 ，根据等量关系：1月份盈利额 增长率) 月份的盈利额列出
方程求解即可．
【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为 ，由题意可得：
，
解得： ， (舍去)，
答：每月盈利的平均增长率为 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，增长率 增长数量 原数量 ．
如：若原数是 ，每次增长的百分率为 ，则第一次增长后为 ；第二次增长后为 ，即 原数
增长百分率) 后来数．
23．(2022春•仓山区校级期末)一份摄影作品【七寸照片(长7英寸，宽5英寸)】，现将照片贴在一张矩形
衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的 2倍．设照片四周外露衬纸
的宽度为 英寸(如图)，下面所列方程正确的是A． B．
C． D．
【分析】根据关键语句“矩形衬纸的面积为照片面积的3倍”列出方程求解即可．
【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为 英寸，根据题意得： ，
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出大矩形的长与宽．
24．(2022春•启东市期末)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的
支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的
小分支个数是
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是 ，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关
于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， (不合题意，舍去)，
这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．(2022春•蜀山区期末)某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出
300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天
的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低 元，可列方程为
A． B．C． D．
【分析】根据利润 销售量 (售价 进价)即可列出一元二次方程．
【解答】解：设售价每千克降低 元，
由题意得： ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握利润 销售量 (售价 进价)是解决问题的关键．
26．(2022•泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．
每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株
椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210文能买多少株椽？
设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是
A． B． C． D．
【分析】设这批椽的数量为 株，则一株椽的价钱为 文，利用总价 单价 数量，即可得出关于
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解： 这批椽的数量为 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一
株椽的价钱，
一株椽的价钱为 文．
依题意得： ．
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
27．(2022•沙坪坝区校级模拟)小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇 赤壁
怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位
平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数
字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为 ，则可列方程A． B．
C． D．
【分析】根据“该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可．
【解答】解：根据题意，可得 ，
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用题，理解题意并根据题意找到等量关系是解题的关键．
