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第二十一章 一元二次方程（5 大压轴考法 60 题专练）
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题型一：换元法解一元二次方程.......................................................................................1
题型二：根的判别式........................................................................................................4
题型三：根与系数的关系.................................................................................................9
题型四：一元二次方程的应用........................................................................................19
题型五：配方法的应用...................................................................................................46
一．换元法解一元二次方程（共4小题）
1．（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程 ，我们可以将 视为一个整体，
然后设 ，则 ，原方程化为 ．①
解得 ，
当 时， ． ． ；
当 时， ， ， ．
原方程的解为 ， ， ， ．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程： ．
2．（2022秋•绥宁县期中）阅读下面的材料：
解方程 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 ，则
， 原方程可化为： ，解得 ， ，当 时， ， ，当
时， ， ． 原方程有四个根是： ， ， ， ，以上方法叫换
元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程： ；
（2）已知实数 ， 满足 ，试求 的值．3．（2023秋•临泽县校级期中）阅读下面的材料，解决问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
请参照例题，解方程 ．
4．（2023秋•高新区校级期中）阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次
方程．其一般形式为 ，一般通过换元法解之，具体解法是设 ，则原四次方程
化为一元二次方程： ，解出 之后代入 ，从而求出 的值．例如解：
解：设 ，则原方程可化为：
， ，
，
当 时，
， ；当 时，
，
小试牛刀：请你解双二次方程：
归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是 （选出所有的正确
答案）
①当 时，原方程一定有实数根；②当 时，原方程一定没有实数根；③当 ，
并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；④原方程无实数根时，一定有 ．
二．根的判别式（共5小题）
5．（2022秋•江北区期末）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
⑤存在实数 、 ，使得 ；
其中正确的
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
6．（2024•湖州一模）对于关于 的一元二次方程 的根的情况，有以下四种表述：
①当 ， ， 时，方程一定没有实数根；
②当 ， ， 时，方程一定有实数根；
③当 ， 时，方程一定没有实数根；
④当 ， ， 时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是
A．① B．② C．③ D．④
7．（2023秋•西城区校级期中）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰 的一边长 ，另两边长 、 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？8．（2024•富顺县一模）我们规定：方程 的变形方程为 ．例如，方
程 的变形方程为
（1）直接写出方程 的变形方程；
（2）若方程 的变形方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（3）若方程 的变形方程为 ，直接写出 的值．
9．（2024•海淀区校级模拟）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两实
数根．
（1）求 的取值范围；
（2）已知等腰 的底边 ，若 ， 恰好是 另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若 三边的长分别为 ， ， ，那么可以根据秦九韶 海伦公式可得：
，其中 ，在（2）的条件下，若 和 的角平分线交于
点 ，根据以上信息，求 的面积．三．根与系数的关系（共9小题）
10．（2024•双峰县模拟）对于任意实数 ， ，我们定义新运算“ ”： ，例如
．若 ， 是方程 的两根，则 的值为 ．
11．（2024 春•海门区校级期中）已知：平行四边形 的两边 ， 的长是关于 的方程
的两个实数根．
（1）当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若 的长为2，那么平行四边形 的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
12．（2022秋•宿城区期末）已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数 ，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出 的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形 的边长 ，另两边的长 、 恰好是这个方程的两根时，求 的周长．
13．（2023秋•鱼台县期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另
一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程 是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程 是倍根方程，且方程有一个根为2，求 、 的值？
14．（2023春•环翠区期末）已知：关于 的方程 ．
（1）若方程有两个相等的实数根，求 的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数 ，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的 值；
若不存在，请说明理由．15．（2023春•定远县期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另
外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程：则 ；
③若 ， 满足 ，则关于 的方程 是倍根方程；
④若方程以 是倍根方程，则必有 ．
16．（2023•黄石港区校级模拟）如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ，
，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知 、 是方程 的二根，则
（2）已知 、 、 满足 ， ，求正数 的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于 ， 的方程组
的两个不相等的实数解．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出的
值，若不存在，请说明理由．
17．（2023秋•鼓楼区校级月考）请阅读下列材料：
已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ，
把 代入已知方程，得 ．化简，得 ，故所求方程为 ，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
；
（2）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 3， ，求一元二次方程
的两根．
18．（2023春•鲤城区校级期中）请阅读下列材料： ，求一个一元二次方程，使它的根分别是
已知方程根的 2 倍．解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ，把 代入已知方程，得
，化简，得 ，故所求方程为 ，这种利用方程的代换求新方程的
方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形
式）．
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
；
（2）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 3， ，求一元二次方程
的两根．（直接写出结果）
四．一元二次方程的应用（共34小题）
19．（2023秋•青岛期末）实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为 的正方体．（1）如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积
为 ；
（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图2中的虚线所示）从前到后打一个边长为 的
正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 ；
（3）如果把（1）、（2）中的边长为 的通孔均改为边长为 的通孔，能否使橡皮泥块的表面
积为 ？如果能，求出 ，如果不能，请说明理由．
20．（2023秋•纳溪区期末）已知： 的两边 ， 的长是关于 的方程 的两
个实数根．
（1）当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若 的长为2，那么 的周长是多少？
21．（2023•城厢区校级开学）如图， 、 、 、 为矩形的四个顶点， ， ，动点
、 分别从点 、 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以 的
速度向 移动．
（1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ；
（2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离是 ．22．（2022秋•新化县期末）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1
元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决
定把零售单价下降 元．
（1）零售单价下降 元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽
子更多？
23．（2023秋•绥棱县校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件 恤，第一个月以单价80元销售，
售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根
据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商
将对剩余的 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低 元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
80 40
单价（元
200
销售量（件
（2）如果批发商希望通过销售这批 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
24．（2023春•长乐区校级期末）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出
500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少20千克．现该
商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？25．（2023秋•新华区校级月考）在宽为 ，长为 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵
向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面
积为 ，问道路应为多宽？
26．（2022秋•湖北月考）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500张，
每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价
每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多
少元？
27．（2022春•宜秀区校级月考）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关
房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，
决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打
9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
28．（2022秋•河东区校级月考）将一条长为 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
29．（2024春•怀宁县期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200
元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还
需要对每个房间支出20元 每天的维护费用，设每间客房的定价提高了 元．
（1）填表（不需化简）
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200
提价后
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯
收入 总收入 维护费用）
30．（2024春•安庆期中）如图， 中， ， ， ，一动点 从点 出发沿
着 方向以 的速度运动，另一动点 从 出发沿着 边以 的速度运动， ， 两点同时
出发，运动时间为 ．
（1）若 的面积是 面积的 ，求 的值？
（2） 的面积能否为 面积的一半？若能，求出 的值；若不能，说明理由．31．（2023秋•头屯河区期末）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元
时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销
售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加
5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
32．（2024春•新会区校级期末）乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄
影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片
（如图 上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外
围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边
的宽应是多少？（1）如果设金色纸边的宽度为 分米，那么挂画的长可表示为 分米，挂画的宽可表示为 分米，列
出的方程为 ．
（2）根据你所列的方程求出 的值．
33．（2024春•南岗区校级月考）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃 ，其中两边靠的
墙足够长，中间用平行于 的篱笆 隔开，已知篱笆的总长度为18米．
（1）设矩形苗圃 的一边 的长为 ，矩形苗圃 面积为 ，求 关于 的函数关系式，
直接写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时，所围矩形苗圃 的面积为 ？
34．（2024•瑶海区校级三模）某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为 （即每100
千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的 ．求新品种花生亩产量的增长率．
（1）这是一个增长率问题，可设所求增长率为 ，依题意填写下列表格：
亩产量（千克） 出油量（千克）
出油率
原来 200 50
现在 132
（2）求新品种花生亩产量的增长率．
35．（2024•犍为县模拟）某楼盘2018年2月份准备以每平方米7500元的均价对外销售，由于国家有关房
地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格连续两个月进行下调，
4 月份下调到每平方米6075元的均价开盘销售．
（1）求3、4两月平均每月下调的百分率；
（2）小颖家现在准备以每平方米6075元的开盘均价，购买一套100平方米的房子，因为她家一次性付清
购房款，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物
业管理费是每平方米每月1.5元，小颖家选择哪种方案更优惠？
（3）如果房价继续回落，按此平均下调的百分率，请你预测到 6月份该楼盘商品房成交均价是否会跌破
4800元 平方米，请说明理由．
36．（2024春•西湖区校级月考）如图，在 中， ， ， ，点 从 点
出发，以 的速度向 点移动，点 从 点出发，以 的速度向 点移动，当一个点到达终点
时，另一个点也随即停止运动．如果 、 两点同时出发．
①经过几秒后 的面积等于 ；
② 的面积能否等于 ，并说明理由．
37．（2024•旺苍县一模）某农户在山上种脐橙果树44株，现进入第三年收获．收获时，先随机采摘5株
果树上的脐橙，称得每株果树上脐橙重量如下（单位： ，35，34，39，37．
（1）试估计这一年该农户脐橙的总产量约是多少？
（2）若市场上每千克脐橙售价5元，则该农户这一年卖脐橙的收入为多少？
（3）已知该农户第一年果树收入5500元，根据以上估算求第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增长率．
38．（2023秋•青白江区校级期中）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形， ， ，
是 和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程
称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求面积．
39．（2024春•海淀区校级期中）如图，某单位准备将院内一块长 ，宽 的长方形花园中修两条纵
向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为 ，求小道进出
口的宽度．
40．（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价
（元 箱）与销售量 （箱 有如表关系：
68 67 66 65 40
每箱售价 （元40 45 50 55 180
每天销量 （箱
已知 与 之间的函数关系是一次函数．
（1）求 与 的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元 箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是
多少元？
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从 7月17号开始水蜜桃销售价格在
（2）的条件下，下降了 ，同时水蜜桃的进货成本下降了 ，销售量也因此比原来每天获得1600元
盈利时上涨了 ，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前
的销售总盈利少7120元，求 的值．
41．（2024•武威三模）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ，在 和
边各有一个 2 米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形 的宽 为 米，矩形的长为 （且
．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含 的代数式表示矩形的长 ；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则 、 的长应分别为多少米？
42．（2023秋•射阳县期中）“黄桥烧饼全国闻名”，国庆节期间，黄桥某烧饼店平均每天可卖出 300个
烧饼，卖出1个烧饼的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，平均每天可多卖出100个，为
了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降 元
（1）零售单价下降 元后，每个烧饼的利润为 元，该店平均每天可卖出 个烧饼（用含 的代数式表示，需化简）；
（2）在不考虑其他因素的条件下，当 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是 420元并且卖出的烧
饼更多？
43．（2023秋•新城区校级期中）已知：如图，在 中， ， ， ．点 从
点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．
（1）如果 ， 分别从 ， 同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？
（2）在（1）中， 的面积能否等于 ？说明理由．
44．（2023秋•南关区校级期末）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部
分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每
千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；
（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．
45．（2023秋•芜湖期中）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，由季节
的变换，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：若每件降价1元，则每天可多
售5件．如果每天要盈利800元，每件应降低多少元？46．（2023秋•大埔县期中）西瓜经营户以2元 千克的价格购进一批小型西瓜，以3元 千克的价格出售
每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元 千克，
每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．
（1）若将这种西瓜每千克的售价降低 元，则每天的销售量是 千克（用含 的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？
47．（2023秋•武城县校级月考）某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是
领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．
领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按
旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人．
48．（2023•沛县模拟）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相
比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平
均步长减少的百分率为 ．
项目 第一次锻炼 第二次锻炼10000 ①
步数（步
平均步长（米 步） 0.6 ②
6000 7020
距离（米
注：步数 平均步长 距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求 ；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好
为24000步，求王老师这500米的平均步长．
49．（2023•东明县一模）毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花 440元可以购进
50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的
价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1元，可
多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低 元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，
以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利 2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少
元？
50．（2023春•临淄区校级期中）如图，在矩形 中， ， ，动点 、 分别以
、 的速度从点 、 同时出发，点 从点 向点 移动．
（1）若点 从点 移动到点 停止，点 随点 的停止而停止移动，点 、 分别从点 、 同时出发，
问经过多长时间 、 两点之间的距离是 ？
（2）若点 沿着 移动，点 、 分别从点 、 同时出发，点 从点 移动到点 停止时，点 随点 的停止而停止移动，试探求经过多长时间 的面积为 ？
51．（2024•金沙县一模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，
增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价 1元，则每天可多销售2
件．
（1）商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）问在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理
由．
52．（2024•蓬江区校级一模）为进一步发展基础教育，2014年某县投入教育经费6000万元，2016年投入
教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
五．配方法的应用（共8小题）53．（2023•惠城区校级开学）已知 ， 为实数，且满足 ，记 的最大值
为 ，最小值为 ，则
A． B． C． D．
54．（2024春•相城区校级期末）阅读材料：若 ，求 、 的值．
解： ，
， ， ， ， ．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知等腰 的三边长 、 、 都是正整数，且满足 ，求 的周长；
（3）已知 ， ，求 的值．
55．（2022秋•南海区校级月考）阅读与应用：同学们，你们已经知道 ，即 ．所
以 （当且仅当 时取等号）．
阅读1：若 、 为实数，且 ， ， ， ， （当且仅
当 时取等号）．
阅读2：若函数 ， ， 为常数）．由阅读1结论可知： 即
当 即 ， 时，函数 的最小值为
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：若函数 ，则 时，函数 的最小值为 ．
问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为 ，则另一边长为 ，周长为 ，求当 时，
矩形周长的最小值为 ．
问题3：求代数式 的最小值．
问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和
80元，设池长为 米，水池总造价为 （元 ，求当 为多少时，水池总造价 最低？最低是多少？56．（2023春•邗江区期中）仔细阅读下列解题过程：
若 ，求 、 的值．
解：
，
，
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 、 的值；
（3）若 ， ，求 的值．
57．（2023春•柯桥区期中）我们已经学习了乘法公式 的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式 的最小值．解答如下：
解： ，
， 当 时， 的值最小，最小值是0，
， 当 时， 的值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题．
（1）知识再现：当 时，代数式 的最小值是 ；
（2）知识运用：若 ，当 时， 有最 值（填“大”或“小” ，这个值是
；
（3）知识拓展：若 ，求 的最小值．
58．（2023春•东阳市期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒
等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数
的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 、 是整数）的形式，则称这个数为“完
美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为 所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成 、 是整数）的形式 ；
（2）若 可配方成 、 为常数），则 ；
探究问题：
（3）已知 ，则 ；
（4）已知 、 是整数， 是常数），要使 为“完美数”，试求出符合条件的
一个 值，并说明理由．
拓展结论：
（5）已知实数 、 满足 ，求 的最值．59．（2023秋•中江县期中）先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若 ，求 和 的值．
解：
，
，
问题：
（1）若 ，求 的值．
（2）已知等腰 的三边长为 ， ， ，其中 ， 满足： ，求 的周长．
60．（2022春•锡山区期中）阅读材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式
的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．例如：
是 的一种形式的配方， 是 的另一种形式的配方
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出 的两种不同形式的配方；
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知 ，求 的值．
