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第二十一章 一元二次方程章节培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义：首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且
未知数的最高次数是2，判断即可．
【详解】解：A、 有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、 ，若 ，则不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、 不是整式方程，故此选项不符合题意；
D、 是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟记概念是关键．
2．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）方程 经配方后，可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解： ，
移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
故选A．
【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）若关于 的方程 有一个根为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】将方程的解代入方程中求解即可．【详解】解：∵关于 的方程 有一个根为 ，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解满足方程是解答的关键．
4．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）已知 是一元二次方程 的两个根，则 的
值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】先化为一般式，再根据根与系数关系求解即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 即 的两个根，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一
元二次方程 的两个根为 、 ，则 ， ．
5．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）关于x的一元二次方程 有实数根，则a的取值
范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 且 ，然后求出两个不等式的
公共部分即可．
【详解】解：由题意可得：
，
解得： 且
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键．
6．（2023春·浙江舟山·八年级统考期末）在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四
周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图（如图），如果要使整个挂图的面积是 ，设纸带的宽为x cm，
那么x满足的方程是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程．
【详解】解：设设纸带的宽为x cm，
所以整个挂画的长为 cm，宽为 ，
根据题意，得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，找出并全面表示问题的相等
关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，再列出一元二次方程．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）方程 化为一般形式是
____________________；
【答案】
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项合并同类项即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式： （a，b，c是常数且 ）特别要注意
的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，bx叫一次项， 是常数
项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．（2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中）方程 是一元二次方程，则
的值是________．
【答案】【分析】根据一元二次方程的定义得到： 且 ，由此可求得m的值．
【详解】∵方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
即 且 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二
次方程，特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
9．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）已知m、n是一元二次方程 的两个
实数根，则代数式 的值为_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到 ，
再把原式变形为 ，由此代值计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为
是解题的关键．
10．（2023春·上海青浦·八年级统考期末）一辆汽车，新车购买价为25万元，第一年使用后折旧20%，以
后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值
14.45万元，设这辆车在第二、三年的年折旧率为a，则可列方程为______．
【答案】
【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为 元，第三年折旧
后的价格为 元，与第三年折旧后的价格为14.45万元建立方程即可．
【详解】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，由题意得，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后
价格并运用价格为14.45万元建立方程是关键．
11．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）已知关于 的一元二次方程 有两个
相等的实数根，则m的值为___________．
【答案】
【分析】根据根与判别式的关系列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，解得： ，
故答案为： ；
【点睛】本题主要考查根与判别式的关系，一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．
12．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根为 ，且
，则 __________．
【答案】
【分析】先根据根与系数的关系得到 ， ，再由 求出 ， ，则
，即可得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵关于x的一元二次方程 的两个实数根为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若
是该方程的两个实数根，则 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2023·全国·九年级假期作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、
一次项系数和常数项．
(1) ；
(2)
【答案】(1) ，这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是
(2) ，这个方程的二次项系数是 ，一次项系数是2，常数项是5
【分析】根据一元二次方程的定义，形如 （a、b、c为常数， ）的整式方程叫做一元二
次方程，其中a为二次型系数，b为一次项系数，c为常数项．
【详解】（1） ，
移项得： ，
二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是 ；
（2） ，
展开得： ，
移项得： ，
二次项系数是 ，一次项系数是2，常数项是5．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
14．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）直接开平方求解即可；
（2）因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ， ；
（2）解： ，
，
解得 ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于对直接开平方、因式分解解一元二次方程的熟练掌
握与正确运算．15．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a，b为方程x2－mx＋3m＋6
＝0的两个根．
(1)求m的值；
(2)求直角三角形的面积和斜边上的高．
【答案】(1)14；(2) 直角三角形的面积为24，斜边上的高为4.8.
【详解】试题分析：由勾股定理得出a2＋b2＝100，然后根据韦达定理分别将a+b、ab用含m的式子表示，
再变形为关于m的一元二次方程，解出m再一一验证即可；（2）求直角三角形面积直接利用公式，要求
斜边上的高可以利用面积法求解．
试题解析：解：(1)由勾股定理得a2＋b2＝100，
∵a，b为方程x2－mx＋3m＋6＝0的两个根，
∴a＋b＝m，ab＝3m＋6.而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝100，
∴m2－2(3m＋6)＝100，解得m＝14，m＝－8.
1 2
当m＝14时，方程为x2－14x＋48＝0，
方程的两个根x＝6和x＝8符合题意；
1 2
当m＝－8时，方程为x2＋8x－18＝0，
方程的两个根异号，不可能作为直角三角形两条直角边的长，所以舍去m＝－8.
故m的值为14.
(2)S＝ ab＝24.设斜边上的高为h，
则有 ×10×h＝24，解得h＝4.8.
即直角三角形的面积为24，斜边上的高为4.8.
点睛：1．根与系数的关系
如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ， ．
2．涉及两根的代数式的重要变形
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
16．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）某商场销售一种商品，每件进货价为190元．调查发现，
当每件销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件，商
场要想使这种商品平均每天的销售利润达到280元，且尽量减少库存，求每件商品的销售价应定为多少元？
【答案】200元
【分析】设每件商品降价 元销售，则每件商品的利润为 元，平均每天的销售量为 件，
根据总利润 销售每件的利润 平均每天的销售数量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其较大值
即可得出结论．【详解】解：设每件商品降价 元销售，则每件商品的利润为 元，平均每天的销售量为
件，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ．
当 时， ，当 时， ．
要尽量减少库存，
，
．
答：每件商品的销售价应定为200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2023春·江苏·八年级统考期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证无论实数 取何值，此方程一定有两个实数根；
(2)设此方程的两个实数根分别为 ， ，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程一定有两个实数根，得 ，即可；
（2）根据 ， ，把 变形为： ，即可．
【详解】（1）关于 的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考阶段练习）已知关于x的一元二次方程 ，若
的两边 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5．
(1)若 时，请判断 的形状并说明理由；
(2)若 是等腰三角形，求k的值．
【答案】(1) 为直角三角形，理由见解析
(2) 或5
【分析】（1）将 代入方程，求出方程的根，进而判断出 的形状即可；
（2）分 是等腰三角形的底边和腰长，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解： 为直角三角形，理由如下：
当 时， ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为直角三角形；
（2）当 是底边时：则 是 的两条腰，
∴方程有两个相等的实数根，
∴ ，
整理，得： ，等式不成立，故此种情况不存在；
∴ 是 的一条腰，
∴方程 中有一个根为 ，
∴ ，解得： ，
当 时，方程化为 ，解得： ，满足题意；
当 时，方程化为 ，解得： ，满足题意；
∴当 是等腰三角形时， 或5．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程根与判断式的关系，因式分解法解方程，
是解题的关键．
19．（2023·四川遂宁·统考中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 ，其中
等式右边是通常的乘法和减法运算，如： ．
(1)求 的值；(2)已知关于x的方程 有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)10；
(2) 且 ．
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
整理得 ，
∵关于x的方程 有两个实数根，
∴ ，且 ，
解得 且 ．
【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当 时，方程有两个实数根”是解题的关键．
20．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够
长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形 的边 ，则边 ，根据题意列出一元二次方
程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形 的边 ，则边 ．
根据题意，得 ．
化简，得 ．
解得 ， ．当 时， ；
当 时， ．
答：当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得 ．
化简，得 ．
∵ ，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2023春·八年级单元测试）阅读理解：
定义：如果关于x的方程 （a≠0，a、b、c 是常数）与 （a≠0，a、b、
1 1 1 1 2 2 2
c 是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a+a＝0，b＝b，c+c＝0，则这
2 1 2 1 2 1 2
两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1
＝0可知，a＝2，b＝﹣3，c＝1，根据a+a＝0，b＝b，c+c＝0，求出a，b，c 就能确定这个方程的
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2
“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
【答案】（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1
【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【详解】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
22．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度 米 秒与时间 秒 之间满足一次函数关系，其图象如图所示；
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间 该运动状
态下的平均速度 ， 表示这段时间起始时刻的速度， 表示这段时间结束时刻的速度 ．若该车
刹车后 秒内向前滑行了 米，求 的值．
【答案】(1)
(2)该车刹车后 秒内向前滑行了 米
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出 ，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，
，
解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：依题意， ， ， ，
则
依题意， ，
即
解得： 或 （舍去）
答：该车刹车后 秒内向前滑行了 米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数
解析式是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，b，c有如下关系：， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ．
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ___________，
___________；
(2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 的值为 或 ．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据 ，
最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而由
，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵一元二次方程 的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴；
（3）解：∵实数s、t满足 ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，
∴ ， ，
∵
，
∴ 或 ，
当 时，
，
当 时，
，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，
掌握一元二次方程 根与系数的关系： 和 是解题关键．
