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必考点 16 分式方程的解法及应用
●题型一 分式方程的概念
【例题1】（2021秋•怀集县期末）下列是分式方程的是（ ）
x x+4 x x−5
A． + B． + =0
x+1 3 4 2
3 4 1
C． （x﹣2）= x D． +1＝0
4 3 x+2
2 1 3 x x 2
【例题2】（2022秋•青龙县期中）方程 =3、 = 、 =2、 = 中分式方程的个数是
x+1 x x−1 2 x−1 x2−1
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题技巧提炼】
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
●题型二 解分式方程
【例题3】（2022春•双流区月考）解下列分式方程
x−2 16 2 x
（1） −1= ． （2） + =1．
x+2 x2−4 x x+3
【例题4】（2021秋•宁南县期末）解方程：
x 2 1 x 1 2
（1） + = ； （2） − = ．
x2−4 x+2 x−2 3x−1 9x−3 3【解题技巧提炼】
1.分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
2.解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
●题型三 用换元法解分式方程
【例题5】（2022春•青浦区校级期末）用换元法解分式方程x2+1 x 1＝0，如果设x2+1 y，
− + =
x 3(x2+1) x
那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y﹣1＝0 B．3y2﹣3y﹣1＝0 C．3y2﹣y+1＝0 D．3y2﹣y﹣1＝0
【例题6】（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
x y
解得：y＝±2，
4 x−1
经检验：y＝±2都是方程y− =0的解，∴当y＝2时， =2，解得：x＝﹣1，
y x
x−1 1 1
当y＝﹣2时， =−2，解得：x= ，经检验：x＝﹣1或x= 都是原分式方程的解，
x 3 3
1
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x= ．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
3
问题：
x−1 x x−1
（1）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
4x x−1 x
x−1 4x+4 x−1
（2）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
x+1 x−1 x+1
x−1 3
（3）模仿上述换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−1【解题技巧提炼】
换元法解分式方程：
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新
对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而
简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
●题型四 用分式方程的解确定字母的值
a−2 1
【例题7】（2022春•盐城期末）若x＝4是分式方程 = 的根，则a的值为（ ）
x x−3
A．3 B．4 C．5 D．6
1 a a 1
【例题8】已知方程 = 的解为x＝2，求 − 的值．
x−1 x+1 a−1 a2−a
2 m 3 1
【例题9】（2022秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程 = 与分式方程 = 的解相同，
x+4 x 2x x−1
求m2﹣2m的值．
【解题技巧提炼】
把分式方程的解代入到原方程中，得到关于某个字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可.
●题型五 用分式方程的解确定字母的取值范围x+a 2a 1
【例题10】（2021秋•周至县期末）若关于x的分式方程 + = 的解是正数，则a的取值范围为
x−3 3−x 3
（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠3 D．a＞1且a≠3
x m
【例题11】（2022春•沙坪坝区校级期中）已知分式方程 −1= 的解x满足﹣2≤x≤5，
x−1 (x−1)(x+2)
求m的取值范围．
【例题12】（2022秋•天山区校级期中）若关于x的一元一次不等式组{4x−1＞3(x+2)的解集为x＞
a−2x≤5
y+2a 3 y−8
7，且关于y的分式方程 + =2的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是
y−1 1−y
．
【解题技巧提炼】
先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根据题中的条件得出关于这个字母的不等式，然后
解不等式，从而确定字母的取值范围 ,同时要注意排除增根.
●题型六 利用分式方程的增根确定字母的取值
x+1 a
【例题13】（2021秋•岳阳楼区期末）关于x的方程 = 有增根，则a的值为 ．
x−2 x−2
x+1 1 x+k
【例题14】（2022秋•巨野县期中）若关于x的方程 − = 有增根，求增根和k的值．
x2−x 3x 3x−32m m+1 1
【例题15】（2022春•雁塔区校级期末）若关于x的方程 − = 有增根，求实数m的值．
x+1 x2+x x
【解题技巧提炼】
分式方程的增根
1.增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为 0或是
转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
2.检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为 0，如果为
0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
●题型七 利用分式方程的无解确定字母的取值
m 2
【例题16】（2022秋•张店区校级月考）关于x的分式方程 − =1无解，则m的值 ．
x−3 3−x
x−4 m
【例题17】已知关于x的方程 −m−4= 无解，求m的值．
x−3 3−x
【解题技巧提炼】
分式方程的无解有两种情况：
一是分式方程转化为整式方程无解；
二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0.◆◆◆题型一 分式方程的概念
1．（2021秋•金山区期末）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
1 x 3x 2 1 4 2
A． +x=1 B． + = C． = D． =1
x 3 4 5 x−1 x x
1 3x+5 2x−1
2．（2022秋•岱岳区校级月考）下列方程：①x2﹣2x= ；② −1= ；③x4﹣2x2＝0；④
x 4x 3
1
x2﹣1＝0．其中分式方程是（ ）
2
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
◆◆◆题型二 用一般方法解分式方程
3．（2021秋•大理州期末）解下列分式方程：
x 5 4 1 3
（1） + =1 （2） − =
2x−5 5−2x x2−4 x−2 x+2
4．（2021秋•梁河县期末）解方程：
x 1 2 4
（1） = +3； （2） − = 0．
x+1 x+1 3x−1 9x2−1
◆◆◆题型三 用换元法解分式方程
1 1 1
5．（2021春•宝山区校级月考）用换元法解方程x2+ +x+ =4时，设y=x+ ，则原方程可变形为（
x2 x x
）
A．y2+y＝4 B．y2+y＝2 C．y2+y＝6 D．y2﹣y＝46．在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
x x
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（ ）2﹣4（ ）+4＝0．
x−1 x−1
学生甲：老师，原方程可整理为 x2 4x 4＝0，再去分母，行得通吗？
− +
(x−1) 2 x−1
老师：很好，当然可以这样做．
再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？
x
学生乙：老师，我发现 是整体出现的！
x−1
x x
老师：很好，我们把 看成一个整体，用y表示，即可设 =y，那么原方程就变为y2﹣4y+4＝0．
x−1 x−1
全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y﹣2）2＝0
x
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y2﹣4y+4＝0的根是y＝2，那么就有 =2
x−1
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x＝2，再验根就可以了！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：
2x 4x
（1）（ ）2− +1＝0；
x−1 x−1
6 4
{ + =3
（2） x−y x+ y ．
9 1
− =1
x−y x+ y
◆◆◆题型四 用分式方程的解确定字母的值1 3
7．（2022春•吉州区期末）当x＝ 时，代数式 和 的值相等．
x−2 2x+3
m−3
8．若关于x的分式方程 =1的解为x＝2，求m的值.
x−1
4 m
9．若关于x的方程 − =1的根是2，求（m﹣4）2﹣2m+8的值．
x 2x
◆◆◆题型五 用分式方程的解确定字母的取值范围
k x
10．（2022秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程 −1= 的解为非负数，求k的取值范围．
2x−4 x−2
x a
11．若关于x的方程 −3= 的解不小于2，求a的取值范围．
x−4 x−4
◆◆◆题型六 利用分式方程的增根确定字母的取值x k
12．（2022秋•锦江区校级月考）若关于x的分式方程 + =4有增根，则k＝ ．
x−3 3−x
2m−1 7x
13．（2022秋•永定区期中）若关于x的分式方程 − =5有增根，求m的值．
x−1 x−1
3 m 2
15．（2021秋•宁远县校级月考）若关于方程 + = 有增根，求m的值．
x−3 x2−9 x+3
◆◆◆题型七 利用分式方程的无解确定字母的取值
7x 2m−1
16．（2021秋•岱岳区期末）关于x的分式方程 +5= 无解，则m的值为 ．
x−1 x−1
16．已知关于x的方程 x2+4 x a无解，求a的值？
− =
x(x−2) x−2 xx−1 1 1
1．（2021 秋•逊克县期末）有下列方程：①2x+ =10；②x− =2；③ −3=0；④
5 x 2x+1
2x x−1
+ =0．属于分式方程的有（ ）
3 2
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
x 5
2．（2022春•濮阳期末）解分式方程 = −2去分母变形正确的是（ ）
x−3 3−x
A．x＝5﹣2（x﹣3） B．x＝﹣5﹣2（x﹣3）
C．x＝5﹣2（3﹣x） D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）
x−1 1
3．（2022春•南岸区期末）解分式方程 =1− 的过程如下：
x−2 x
解：方程两边都乘x（x﹣2），
得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①
去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②
解这个方程，得x＝1③
检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④
以上解答过程中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3 2 3 2
4．（2022春•南京期末）若关于x的方程 − =0的解是x＝6，则关于y的方程 − = 0的解
x x−2 y2+2 y2
是（ ）
A．y ＝4，y ＝﹣4 B．y ＝2，y ＝﹣2
1 2 1 2
1 1 1 1
C．y = ，y =− D．y = ．y =−
1 2 1 2
4 4 2 2
1 1 4 3
5．（2022•平顶山二模）定义运算m※n＝1+ ，如：1※2＝1+ = ，则方程x※（x+1）= 的解
m+n 1+2 3 2
为（ ）
1 1
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x=− D．x=
2 2
n
6．（2022春•柯桥区期末）设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n= ，若关于x的方程a
3m−9（x☆x）＝（x☆12）+1无解，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣3 C．4或﹣3 D．4或3
2 2 2 2 2
7．若关于x的方程x+ =c+ 的两个解是x＝c，x= ，则关于x的方程的x+ =a+ 的解是（
x c c x−1 a−1
）
2 2 2 a+1
A．a， B．a﹣1， C．a， D．a，
a a−1 a−1 a−1
m
8．关于x的分式方程 =1，下列说法正确的是（ ）
x−5
A．方程的解是x＝m+5
B．m＞﹣5时，方程的解是正数
C．m＜﹣5时，方程的解为负数
D．无法确定
x+1 2a−3
9．当a＝ 时，关于x的方程 = 的解等于零？
x−2 a+5
x+m 2m
10．（2021秋•阿鲁科尔沁旗期末）关于x的分式方程 + =3的解为正数，则实数m的取值范
x−2 2−x
围是（ ）
A．m＜﹣6 B．m＞6 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2
8−mx x
11．（2022秋•沙坪坝区校级期中）若整数m既使得关于x的分式方程 −2= 有整数解，又使
2−x x−2
得关于y的不等式组{ 2y+1＞0 至少有三个整数解，则符合条件的所有m之和为（ ）
2(y+2m)≤5m
A．7 B．11 C．12 D．16
2x+2a−2 x+a
12．（2021秋•碧江区 期末）关于x的方程1− = 无解，则a的值为 ．
x2−1 x−1
13．（2021秋•白碱滩区期末）解方程：
x 2 x−3 3
（1） + = 1； （2） +1= ．
x−2 x2−4 x−2 2−xm−2x 1
14．若关于x的分式方程 = 的解大于1，求m的取值范围．
x−2 3
ax 2 x 2
15．已知方程 − =2的解与方程 + =1的解相同，求a的值．
a+1 x+1 x+1 x−1
ax+1 2
16．关于x的方程： − =1．
x−1 1−x
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．3 x
17．（2022秋•栖霞市期中）已知分式方程 − =■有解，其中“■”表示一个数．
1+x 1+x
（1）若“■”表示的数为7，求分式方程的解；
（2）小瑞回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是﹣1
或0其中之一，请你确定“■”表示的数．
18．观察下列方程及其解的特征：
1
（1）x+ =2的解为x ＝x ＝1；
1 2
x
1 5 1
（2）x+ = 的解为x ＝2，x = ；
1 2
x 2 2
1 10 1
（3）x+ = 的解为x ＝3，x = …
1 2
x 3 3
解答下列问题：
1 26
（1）请猜想：方程x+ = 的解为 ；
x 5
1 1
（2）请猜想：关于x的方程x+ = 的解为x ＝a，x = ；
1 2
x a
1 17
（3）请猜想：x﹣1+ = 的解为 ．
x−1 4
2 mx 1
19．已知关于x的分式方程 + = ．
x−1 (x−1)(x+2) x+2
（1）若解得方程有增根，且增根为x＝﹣2，求m的值．
（2）若方程无解，求m的值．(x−a)(x−b)
20．（2022秋•青州市期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，
x
(x−a)(x−b) x2−(a+b)x+ab ab
则解得x ＝a，x ＝b．又因为 = =x+ −（a+b），所以关于x的方
1 2
x x x
ab
程x+ =a+b的解为x ＝a，x ＝b．
1 2
x
x2+2 2
（1）【理解应用】解方程 =5+ ；
x 5
3
（2）【知识迁移】若关于x的方程x+ =7的解为x ＝a，x ＝b，求a2+b2的值．
1 2
x
