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第二十一章一元二次方程(B 卷·能力提升练)
(时间：60分钟，满分：100分)
一．选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。)
1．(2022•益阳)若 是方程 的一个根，则此方程的另一个根是
A． B．0 C．1 D．2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设 另一个根是 ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，
本题属于基础题型．
2．(2022•荆门)若函数 为常数)的图象与 轴只有一个交点，那么 满足
A． B． C． 或 D． 或
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数 的图象与 轴恰有一个交点，可得△
，从而解出 值；②函数为一次函数，此时 ，从而求解．
【解答】解：①函数为二次函数， ，
△ ，
，
②函数为一次函数，
，
的值为 或0；
故选： ．【点评】此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
3．(2022•西藏)已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于 的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
，
解得： 且 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于 的不等式组是解题的关键．
4．(2022•郴州)一元二次方程 的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】求出判别式△ ，判断符号即可得出结论．
【解答】解： △ ，
一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选： ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式△ 时，方程有两个
不相等的实数根是解决问题的关键．
5．(2022•贵港)若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及 的值分别是
A．0， B．0，0 C． ， D． ，0
【分析】设方程的另一根为 ，由根与系数的关系可得到 的方程，可求得 的值，即可求得方程的另一
根．【解答】解：设方程的另一根为 ，
是一元二次方程 的一个根，
，
解得 ，
则 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 的根与系数的关
系为： ， ．
6．(2022•营口)关于 的一元二次方程 有两个实数根，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】根据根的判别式和已知条件得出△ ，再求出 的范围即可．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
△ ，
解得： ，
故选： ．
【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程
、 、 为常数， ，当 时，方程有两个不相等的实数解；当
时，方程有两个相等的实数解；当 时，方程没有实数解．
7．(2022•辽宁)下列一元二次方程无实数根的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2)
△ △方程有两个相等的实数根；(3) 方程没有实数根判断即可．
【解答】解： 、△ △ ，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
、△ ，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
、△ ，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
、△ ，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选： ．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程 ，当 时，
方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数
根．
8．(2022•哈尔滨)某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设
平均每次降价的百分率为 ，根据题意，所列方程正确的是
A． B． C． D．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格 降低的百分率) ，把相应数
值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为 ，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降
低 ，为 ，
则列出的方程是 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为 ，
变化后的量为 ，平均变化率为 ，则经过两次变化后的数量关系为 ．9．(2022•新疆)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销
售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为 ，则根据题意，可列方程为
A． B．
C． D．
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为 ，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列
出方程即可．
【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为 ，
第一个月的销售额为8万元，
第二个月的销售额为 万元，
第三个月的销售额为 万元，
，
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额
是解题的关键．
10．(2022•泸州)已知关于 的方程 的两实数根为 ， ，若 ，则
的值为
A． B． C． 或1 D． 或3
【分析】根据方程 的两实数根为 ， ，得出 与 的值，再根据
，即可求出 的值．
【解答】解： 方程 的两实数根为 ， ，
， ，，
，
解得： ， ，
方程有两实数根，
△ ，
即 ，
(不合题意，舍去)，
；
故选： ．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握 ， 是方程 的
两根时， ， ．
二．填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分。)
11．(2022•青海)如图，小明同学用一张长 ，宽 的矩形纸板制作一个底面积为 的无盖长方体
纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计)．设剪去的正方
形边长为 ，则可列出关于 的方程为 ．
【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是 ，宽为 ，然后根据长方形
的面积 长 宽，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽．
12．(2022•上海)已知 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【分析】由根的判别式△ ，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围．
【解答】解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
△ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式△ ，找出关于 的
一元一次不等式是解题的关键．
13．(2022•长春)若关于 的方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 ．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△ ，建立关于 的方程，求出
的值即可．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
△ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程 的根与△ 有如下关系：
(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根；(3) 方程没有实数
根．△ △ △
14．(2022•绥化)设 与 为一元二次方程 的两根，则 的值为 2 0 ．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知： ， ，
，
故答案为：20．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
15．(2022•鄂州)若实数 、 分别满足 ， ，且 ，则 的值为 ．
【分析】由实数 、 分别满足 ， ，且 ，知 、 可看作方程
的两个不相等的实数根，据此可得 ， ，将其代入到原式 即可得出答案．
【解答】解： 实数 、 分别满足 ， ，且 ，
、 可看作方程 的两个不相等的实数根，
则 ， ，
则原式 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出 、 可看作方程
的两个不相等的实数根及韦达定理．
16．(2022•荆州)一元二次方程 配方为 ，则 的值是 1 ．
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到 的值．
【解答】解： ，，
，
，
一元二次方程 配方为 ，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．
17．(2022•湖北)若一元二次方程 的两个根是 ， ，则 的值是 3 ．
【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．
【解答】解： ， 是一元二次方程 的两个根，
，
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
18．(2022•连云港)若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则 的值是 1
．
【分析】把 代入方程 得到 ，然后求得 的值即可．
【解答】解：把 代入方程 得 ，
解得 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
三．解答题(本题共6小题，共46分。)
19．(2022•齐齐哈尔)解方程： ．【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程： ，
开方得： 或 ，
解得： ， ．
【点评】此题考查了解一元二次方程 直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
20．(2022•十堰)已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
【分析】(1)利用根的判别式，进行计算即可解答；
(2)利用根与系数的关系和已知可得 ，求出 ， 的值，再根据 ，进行计算即可解答．
【解答】(1)证明： ， ， ，
△
，
方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：由题意得：
，
解得： ，
，
，
，
的值为 ．【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的
关键．
21．(2022•随州)已知关于 的一元二次方程 有两个不等实数根 ， ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
【分析】(1)根据判别式的意义得到△ ，然后解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到 ，再利用 得到 ，然后解关于 的方程，最后利用
的范围确定 的值．
【解答】解：(1)根据题意得△ ，
解得 ；
(2)根据题意得 ，
，
，
解得 ， ，
，
．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，则 ．
也考查了根的判别式．
22．(2022•凉山州)解方程： ．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为或
， ．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于
一次项系数．
23．(2021•菏泽)列方程(组 解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千
克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求
这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设每千克降低 元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出
答案．
【解答】解：设每千克降低 元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
，
整理得 ，
或 ．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为 元 千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．(2021•重庆)某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 产品，乙车间生产 产品，去年两个车间生产产
品的数量相同且全部售出．已知 产品的销售单价比 产品的销售单价高100元，1件 产品与1件 产
品售价和为500元．
(1) 、 两种产品的销售单价分别是多少元？
(2)随着 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改
造为专供用户定制 产品的生产车间．预计 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 ；产品产量将在去年的基础上减少 ，但 产品的销售单价将提高 ．则今年 、 两种产品全部售
出后总销售额将在去年的基础上增加 ．求 的值．
【分析】(1)设 产品的销售单价为 元，则 产品的销售单价为 元，根据1件 产品与1件 产
品售价和为500元，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设去年每个车间生产产品的数量为 件，根据总销售额 销售单价 销售数量，即可得出关于 的一元
二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
【解答】解：(1)设 产品的销售单价为 元，则 产品的销售单价为 元，
依题意得： ，
解得： ，
．
答： 产品的销售单价为300元， 产品的销售单价为200元．
(2)设去年每个车间生产产品的数量为 件，
依题意得： ，
设 ，则原方程可化简为 ，
解得： ， (不合题意，舍去)，
．
答： 的值为20．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正
确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
