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专题 09 几何中动角问题的两种考法
类型一、判断角的数量之间的关系
例．如图所示，O是直线 上的一点， 是直角， 平分 ．
（1）如图①，若 ，求 的度数；
（2）在图①，若 ，直接写出 的度数_________（用含a的代数式表示）；
（3）将图①中的 绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．
①探究 和 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在 的内部有一条射线 ，满足 ，试确定 与 的
度数之间的关系，说明理由．
【变式训练1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）
(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；
(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结
论直接写在你画的图的下面）【变式训练2】如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使 ，将一个直角三角形的直角
顶点放在点O处．（注： ）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则 ________ ；
（2）如图②，将直角三角板DOE转到如图位置，当OC恰好平分 时，求 的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在 的内部，直接写出 和
的数量关系_________．
【变式训练3】已知 ， ， ， 分别平分 ， ．
(1)如图1，当 ， 重合时， 度；
(2)若将 的从图1的位置绕点 顺时针旋转，旋转角 ，满足 且 ．
①如图2，用等式表示 与 之间的数量关系，并说明理由；
②在 旋转过程中，请用等式表示 与 之间的数量关系，并直接写出答案．【变式训练4】如图，已知 ，将一个直角三角形纸片( )的一个顶点放在点 处，现将
三角形纸片绕点 任意转动， 平分斜边 与 的夹角， 平分 .
（1）将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若 ，则
_______；
（2）将三角形纸片绕点 转动(三角形纸片始终保持在 的内部)，若射线 恰好平分 ，若
，求 的度数;
（3）将三角形纸片绕点 从 与 重合位置逆时针转到 与 重合的位置，猜想在转动过程中
和 的数量关系？并说明理由.
类型二、定值问题
例．已知将一副三角尺（直角三角尺 和 ）的两个顶点重合于点 ， ，
（1）如图1，将三角尺 绕点 逆时针方向转动，当 恰好平分 时，求 的度数；
（2）如图2，当三角尺 摆放在 内部时，作射线 平分 ，射线 平分 ，如果三角尺 在 内绕点 任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，
说明理由．
【变式训练1】如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向
旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM、ON同
时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）
（1）当t=2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；∠MOC的度数为
（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；
（3）当0＜t＜6时，探究 的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定
值？
【变式训练2】已知将一副三角板（ ）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．
将直角三角板 绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时， _______度；如图2，若要 恰好平分 ，
则 _______度；
（2）如图3，当三角板 摆放在 内部时，作射线 平分 ，射线 平分 ，如果
三角板 在 内绕点O任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，
说明理由．
（3）当三角板 从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线 平分 、射线平分 （ ），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持
不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时 的度数是
多少）．
类型三、求值问题
例.如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板（ ）
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．（注：本题旋
转角度最多 ．）
（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过 秒后，
______度（用含 的式子表示），若 恰好平分 ，则 ______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针方向旋
转，如图3，经过 秒后， ______度（用含 的式子表示）若 平分 ，求 为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒 平分 ？（直接写结果）
【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝ ；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝ ；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方
向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．
②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？
【变式训练2】如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部， ， ．
（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当 ， 时， ______， ______， ______；
② ______（用含有 或 的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有 或 的代数式表示）
(3)如图（4），当 ， 时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同
时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少
分钟时，∠MON的度数是40°？【变式训练3】如图1，点A、O、B依次在直线 上，现将射线 绕点O沿顺时针方向以每秒 的速
度旋转，同时射线 绕点O沿逆时针方向以每秒 的速度旋转，如图2，设旋转时间为 ．
（1）用含t的代数式表示： _______ ， _______ ．
（2）在运动过程中，当 时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线 平分由射线 、射线 、射线 中的任意两条
射线组成的角（大于 而小于 ）？
课后训练
1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使 ．将一直角三角板的直角顶点放
在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在 的内部，且恰好平分 ．问：此时
直线ON是否平分 ？请说明理由．
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON
恰好平分 ，则n的值为______（点接写结果）
(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在 的内部时， 的度数是多少？2．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，
∠BOC＝10°，以O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针
匀速旋转，转速为1度/秒，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF
重合时停止，射线OP旋转至与射线OE重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度＝旋转角度÷旋
转时间）．
(1)直接写出射线OP停止运动时的时间．
(2)当射线OP平分∠AOC时，直接写山它的旋转时间．
(3)若射线OQ的转速为3度/秒，当∠POQ＝70°时，直接写出射线OP的旋转时间．
(4)若∠POA＝2∠POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角，直接写出射
线OQ的旋转速度．
3．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度数；
(2)如图1，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)；
(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出
你的结论，并说明理由．
(4)将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC=α，则∠DOE的度数
为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由．4．如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板（ ）的直
角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．（注：本题旋转角度
最多 ．）
（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过 秒后， ______
度（用含 的式子表示），若 恰好平分 ，则 ______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针方向旋转，
如图3，经过 秒后， ______度（用含 的式子表示）若 平分 ，求 为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒 平分 ？（直接写结果）
5．已知: 和 是直角．
（1）如图，当射线 在 内部时，请探究 和 之间的关系；
（2）如图2，当射线 射线 都在 外部时，过点 作射线 ，射线 ，满足
， ，求 的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线 ，使得 ，若不存在，请
说明理由，若存在，求出 的度数．
6.已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．
（1）在图1中，当∠COF＝36°时，则∠BOE＝ ，当∠COF＝m°时，则∠BOE＝ ；以此判断
∠COF和∠BOE之间的数量关系是 ；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？
若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
