文档内容
第二十一章 一元二次方程（复习讲义）
1．了解一元二次方程的概念和意义，体会其在数学中的整体联系。
①了解一元二次方程的定义及其一般形式。
②理解一元二次方程的解（根）的意义，知道一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解。
③体会一元二次方程的概念、解法和应用之间的整体联系。
2．能用多种方法解一元二次方程。
①掌握直接开平方法解一元二次方程。
②熟练运用配方法解一元二次方程。
③理解并应用公式法解一元二次方程。
④学会因式分解法解一元二次方程。
3．理解并利用一元二次方程解决实际问题。
①掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤。
②能够识别并解决一元二次方程应用题中常见的问题。
③通过实际问题的解决，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。
通过以上目标的复习，学生能够全面掌握一元二次方程的相关知识，提升解题能力和应用能力。
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2、一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形
式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任
意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
二、一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax2+bx+c=0（a≠0），ax2+bx+c=0（a≠0）．
1 1 2 2
三、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=± ；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
2、解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
3、解一元二次方程-公式法
−b± √b2 −4ac
x=
2a
（1）把 （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4、解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得
到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
四、一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次
增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，
列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
题型一 判断是否是一元二次方程
【例1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简
后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元
二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数且未知数最高次数为2）逐一判断选项．
【详解】A、方程 是整式方程，仅含未知数 ，且 的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，
本选项符合题意；
B、当 时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、方程 含分式项 ，不是整式方程，不符合定义，故本选项不符合题意；
D、方程 含两个未知数 和 ，不是一元方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义即形如 的整式方程叫做一元二次方程判断．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：
A. ，不是一元二次方程，不符合题意；B. ，是一元二次方程，符合题意；
C. ，不是整式方程，不符合题意；
D. ，是一元一次方程，不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．其中一定是一元
二次方程的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整
式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】① ， 时，不是一元二次方程；
② ，整理得 ，是一元二次方程；
③ ，不是一元二次方程；
④ ，不是一元二次方程；
⑤ ，不是一元二次方程；
⑥ ，是一元二次方程；
⑦ ，整理得 ，不是一元二次方程；
∴一元二次方程有②⑥，共2个．
故选：A．
【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若 是一元二次方程，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得 且 ，解之即可求解．
【详解】解：∵ 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得 ，
故选： ．
题型二 一元二次方程的一般形式
【例2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式： （ ，
， 是常数且 ）中， 叫二次项， 叫一次项， 是常数项．其中 ， ， 分别叫二次项系数，
一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1， ．
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程 化为一般形式后，其二次项系数、
一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，2，6 B．1， ，6 C．1， ， D．1，2，
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： （ 是常
数，且 ）．
先将一元二次方程 化为一般形式 ，即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程 的一般形式为 ，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ，
故选：C．【变式2-2】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程 化成一般式，则 ， ， 的
值分别是 )
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ， ，
是常数且 特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次
项， 叫一次项， 是常数项．其中 、 、 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一
般形式，找出 ， ， 的值即可．
【详解】解：方程整理得： ，
则 ， ， 的值分别是 ， ， ．
故选：B．
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程 化成一元二次方程的一般形式后，
它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式： ，其中a，b，c是常数，且 ，分别方
程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解．
【详解】解：方程 化为一元二次方程的一般形式为： ，则二次项系数，一次项
系数和常数项分别是 ；
故选：B．
题型三 解一元二次方程
【例3】用适当的方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．【答案】(1) ．
(2) ．
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）移项，得： ，
配方，得
，
解得： ．
（2）方程整理，得 ，
即 ，
解得 ．
【变式3-1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）或
解得 ， ；
（2）
， ，
解得 ， ．
【变式3-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）选择适当的方法解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握常用的解方程的方法．
（1）因式分解，转化，解一元一次方程即可；
（2）整理，开平方，转化，解一元一次方程即可．
【详解】（1）解： ，
因式分解，得 ，
于是得 ，或 ，
，（2）解：
∴ ，
∴ ，或 ，
∴ ，或 ，
∴ ，或 ，
∴ ，或 ，
∴ ，
【变式3-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式
法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
移项，得 ，
配方，得 ，
．
方程两边同时开方，得
，
则 ，或 ．， ；
（2）解：
．
，
．
，或 ．
， ．
【变式3-4】（23-24九年级上·广东江门·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) ；
(2) ；
(3)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）去括号整理，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得 ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 ， ；
（3）解：
解得 ， ．
题型四 解一元二次方程错解复原问
题
【例4】（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程 时的两种
错误解答过程：
甲：原方程可变形为：
乙：原方程可变形为：
第一步
第一步
第二步
第二步
第三步
则 或 第三步
第四步
∴ ，
则 第五步
第四步
∴ ， 第六步
(1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错
(2)见解析
【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的
关键．
（1）根据解一元二次方程的计算的步骤一步步检查即可；
（2）根据配方法和因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：甲：原方程可变形为： 第一步，故甲从第一步开始出错；
乙：原方程可变形为： 第一步，
第二步，故乙从第二步开始出错；
∴甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错．
（2）解： （方法不唯一）
配方法：
方程变形为： ，
，
配方得 ，
则 或 ，
， ；
因式分解法：
方程变形为： ，
，
则 或 ，
， ．
【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程 的
过程如下：解：
…第一步
…第二步
…第三步
． …第四步
∴原方程没有实数根．
根据小明的解题过程，解答下列问题：
(1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误．
(2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法），
【答案】(1)一
(2) ， ，过程见解析
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可；
（2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可．
【详解】（1）解：根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误．
故答案为：一．
（2）解：正确解答过程如下：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ．【变式4-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程： 的解题过程，解决
下列问题．
解：移项得， ①
两边同除以2得， ②
配方得， ③
即，
或 ④
， ⑤
(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
(2)见解析．
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤．
（1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案；
（2）利用配方法解该一元二次方程即可．
【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半
的平方，而右边没有加．
故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
（2）解： ，
移项得， ，
两边同除以2得， ，
配方得， ，
即， ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【变式4-3】（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解： ．
移项，得 ．…………………………………………第一步
配方，得 ，即 ………………第二步
由此，可得 ．…………………………………………第三步
……………………………………第四步
请完成下列任务：
(1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是
_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
(2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程．
【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式
(2)二，解题过程见解析
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可；
对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可．
【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依
据的数学公式是完全平方公式．
故答案为：等式的基本性质，完全平方公式；
（2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下：
，
移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
可得 ，
∴ ．
故答案为：二．题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况
【例5】（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当 时，方程有两个不
相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式 ，即可判断方程根的情况．
【详解】解： ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式5-1】（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，根据 得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先
求出 的值，再进行判断即可．
【详解】解： ，
，
，
，即 ，
关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选：B．【变式5-2】（24-25八年级下·上海金山·期末）若 ，关于 的一元二次方程 的根的情况
是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是
解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式 进行判断．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，有两个
相等的实数根；当 时，无实数根．
【详解】解：∵方程 中， ， ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【变式5-3】（24-25九年级下·河南周口·期中）定义运算： ．例如：
．方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查新定义及一元二次方程根的判别式，根据定义运算将方程转化为一元二次方程的一般形
式，然后计算判别式判断根的情况．解题的关键是掌握：式子 是一元二次方程
根的判别式， 方程有两个不等的实数根； 方程有两个相等的实数根；
方程无实数根．【详解】解：由定义运算得： ，
∴方程 可化为：
整理得： ，
∵ ，
∴方程 无实数根．
故选：C．
【变式5-4】（2025·上海·中考真题）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到 ，进行求解即可．熟练掌握根的判别式
与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
【变式5-5】若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程 的根与△ 有如下关系：①当
时，方程有两个不相等的两个实数根；②当 时，方程有两个相等的两个实数根；③当 时，
方程无实数根．根据 ，构建方程求解．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，即 ，
．
故答案为： ．
【变式5-6】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当 时，方程有两个
不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
根据该方程有实数根，得到 ，再解不等式即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
题型六 一元二次方程根与系数的关系
【例6】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ， 是方程 的两个实数根，则
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式6-1】一元二次方程 两个实数根为 ，则 ＝ ．
【答案】6
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出
， ，再根据 ，即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程 两个实数根为 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：6．
【变式6-2】设 是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关
系是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：∵m，n是方程 的两个实数根，
∴ ， ， ，
∴
；
故答案为 ．
【变式6-3】已知关于 的一元二次方程 ，两实数根为 和 ，则代数式
．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握 是一
元二次方程 的两根时， ， ．由题得 ，
，得到 ，代入 计算即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 ，两实数根为 和 ，
， ，
，，
故答案为： ．
题型七 用一元二次方程解决实际问题
【例7】一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每
顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价
10元，每月可多售出200顶．
(1)头盔每降价1元，每月可多售出 顶；
(2)若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？
【答案】(1)20
(2)每顶头盔的售价是70元．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意作答即可；
（2）设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵每降价10元，每月可多售出200顶，
∴头盔每降价1元，每月可多售出20顶．
故答案为：20；
（2）解：设每顶头盔的售价为x元，则 ，
整理得： ，
解得： ，
答：每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元．
【变式7-1】（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒．
现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是 ．小成将纸板的四个角各剪裁去
一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）．任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是 、容积 的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别
是多少？
任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是
的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由．
【答案】（1）原硬纸板的长是 和宽是 ；
（2）剪裁的小正方形的边长为 时，小成可以做成一个底面面积是 的方形纸盒．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键．
任务1：设原硬纸板的长是 和宽是 ，建立方程 ，求解即可；
任务2：设剪裁的小正方形的边长为 ，建立方程 ，求解即可．
【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是 和宽是 ．则
解得 ， （不符，舍）
所以
答：原硬纸板的长是 和宽是 ．
任务2：小成可以做成一个底面面积是 的方形纸盒
设剪裁的小正方形的边长为 ．则
， （不符，舍）
答：剪裁的小正方形的边长为 时，小成可以做成一个底面面积是 的方形纸盒．
【变式7-2】在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统
文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随
如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是
7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能
销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定
降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
【答案】(1)月平均增长率为
(2)售价应降低20元
【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．
（1）设月平均增长率为 ，根据题意列出方程即可；
（2）设售价应降低 元，则可卖出 件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程
即可解答．
【详解】（1）解：设月平均增长率为 ，
由题意得， ，
解得： （不合题意，舍去），
答：月平均增长率为 ；
（2）解：设售价应降低 元，
由题意得， ，
整理得： ，
解得： ，
尽量减少库存，
，
答：售价应降低20元．
【变式7-3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形 中，， 点P从点A出发，以 的速度向点D运动；点Q
从点C同时出发，以 的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运
动，设运动时间为 秒.
(1)当 时， 平分四边形 的面积.
(2)当 与四边形 的某一边平行时，求 的值.
(3)连接 ，是否存在 为等腰三角形？若存在请求出 值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2) 或 .
(3)存在 为等腰三角形， 值为 或 或 .
【分析】（1）根据题意可得， ，解方程即可求出答案；
（2）分 和 两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可；
（3）连接 ，作 于点E， ，
，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可.
【详解】（1）解：由题意可得， ，
∵
∴四边形 是直角梯形，
由题意可得， ，
解得 ，
故答案为：（2）当 时，
∵
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
则 ，
解得 ，
当 时，
∵
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
则 ，
解得 ，
综上可知，当 与四边形 的某一边平行时，求 的值为 或 .
（3）如图，连接 ，作 于点E，则
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，当 时， ，解得 （不合题意的值的解已舍去）
当 时， ，解得 （不合题意的值的解已舍去）
当 时， ，解得 （不合题意的值的解已舍去）
综上可知， 值为 或 或 .
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，
分情况讨论是解题的关键.
【变式7-4】（24-25八年级下·广西梧州·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为
元，当售价为 元时，平均每天能售出 双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量
（双）与降低价格 （元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出 与 的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到 元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元?
(3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 的前提下，公司每天能否获得 元的利润?若能，求出
定价：若不能，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)每双运动鞋的售价应该定为 元；
(3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 的前提下，公司每天能获得 元的利润，定价为 元．
【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程以及一元一次不等式的应用，根据题意列出方程是解题的关
键；
（1）由题意，设 与 的函数关系式为 ，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．【详解】（1）解：设 与 的函数关系式为 ，
由图可知，函数图象经过点 和 ，
，
解得： ，
与 的函数关系式为 ；
（2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为 元，
根据题意得 ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
，
答：每双运动鞋的售价应该定为 元；
（3）解：公司每天能获得 元的利润，理由如下：
保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的 ，
，
解得： ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （符合题意），
，
答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 的前提下，公司每天能获得 元的利润，定价为
元．基础巩固通关测
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
n
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的
最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可．
【详解】解：A. ：是一元一次方程，不符合条件；
B. ：只含有一个未知数 ，且 的最高次数为2，是一元二次方程；
C. ：含有两个未知数 和 ，是二元一次方程，不符合条件；
D. ：含有两个未知数 和 ，且乘积项 的次数为2，是二元二次方程，不符合条件；
故选：B．
2．将一元二次方程 化成一般形式后，常数项是 ，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3， B．3，1 C．3， D．3，0
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，将方程整理为一般形式 ，确定各项系数即可求
解．
【详解】解：原方程 移项得： ，
∴方程的一般形式为 ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ，
∴二次项系数和一次项系数分别是 和 ，
故选：C．
3．用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方法将方程转化为完全平方形式，进而确定正确选项．【详解】解： ，
配方得： ，
整理方程： ，
故选：D．
4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，熟练掌握根的
判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一
元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．通过计算各选项对应的一元二
次方程根的判别式，判断是否有两个相等实数根即可．
【详解】A．判别式 ，有两个不等实根，不符合题意；
B．判别式 ，有两个不等实根，不符合题意；
C．判别式 ，此时方程有两个相等实根，符合题意；
D．判别式 ，无实根，不符合题意．
故选：C．
5．矩形的周长为 ，其中一边长为 ，面积为 ，则列出关于 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键；先根据周长表示出长
方形的另一边长，再根据面积 长 宽，出方程．
【详解】解：长方形的周长为 ，其中一边为 ，则长方形的另一边长为 ，根据题意得，
故选：C．
二、填空题
6．若关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x代入到方程中求出关于a、b的等式．
根据题意，把 代入 求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得
∴
故答案为：2025．
7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值
是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的整
式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【详解】解：依题意可得 ，
解得 ，
故答案为： ．
8．原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经调查发现，每件
该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元．设将该商品每件降价x元，根据题意，可列方
程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“总利润 = 每件利润×销售
量”这一数量关系是解题的关键，涉及知识点有利润问题的基本数量关系、一元二次方程的实际应用 ．
先分析降价 元后每件商品的利润以及销售量，再根据“总利润 每件利润 销售量”的关系来列方程．
【详解】解：原来每件商品利润为 元，降价 元后，每件商品利润为 元；原来一天销售 件，降价 元销量增 件，降价 元后，销量为 件．
∵总利润 每件利润 销售量，且总利润为2250元，
故答案为： ．
9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则
．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形
后代入计算即可．
【详解】解： ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，
，
，
故答案为： ．
10．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算 ．判定关于x
∶
的方程 的根的情况： ．
【答案】有两个实数根
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，根据新的运算法则列出一元二次方程，
再用因式分解法直接求解即可解答．
【详解】解：根据题意得： 可化为 ，
解得： ，
∴关于x的方程 有两个实数根．
故答案为：有两个实数根．
三、解答题
11．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程：(1) ；
(2)
【答案】(1) ，
(2) ．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握因式分解法，求根公式解一元二次方程是解题的关键．
（1）运用求根公式解一元二次方程即可；
（2）运用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：整理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解： ，
整理得 ，
因式分解得 ，
∴ ．
12．解下列方程：
(1) ．
(2) （用配方法）．
(3) （用公式法）．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法等
是解题的关键．
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）用配方法求解即可；
（3）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：移项，得 ．
两边同时除以4，得 ．
开平方，得 ，
∴ ．
（2）解：次项系数化为1，得 ．
移项，得 ．
配方，得 ，
即 ．
开平方，得 ，
∴ ．
（3）解： ，
，
方程有两个不相等的实数根，，
∴ ．
13．阅读下列关于解方程： 的解题过程，解决下列问题．
解：移项得， ①
两边同除以2得， ②
配方得， ③
即，
或 ④
， ⑤
(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤．
（1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案；
（2）利用配方法解该一元二次方程即可．
【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半
的平方，而右边没有加．
故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
（2）解： ，
移项得， ，
两边同除以2得， ，
配方得， ，
即， ，
∴ 或 ，∴ ， ．
14．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃 ，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为 ），
另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留 宽的门（门不用木栏）．
已知建成后所用木栏总长为 ，当 的长是多少时，矩形苗圃 的面积最大？最大面积是多少？
【答案】当 的长为 时，矩形苗圃 的面积最大，最大面积为
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得S与x的关系成为解题的关键．
设矩形苗圃 的面积为 ，它的一边 的长为 ，则 的长为 ，若它
的面积为 ，然后利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】解：设矩形苗圃 的面积为 ，它的一边 的长为 ，则 的长为
，
．
，
当 时，S随x的增大而减小，
，
．
，
当 时，S有最大值， ．
答：当AB的长为 时，矩形苗圃ABCD的面积最大，最大面积为 ．15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于 的一元二次方程
(1)求证：无论 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关
键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）由一元二次方程根和系数的关系，得到 ，再根据相反数的定义得到 ，即可求
出 的值．
【详解】（1）证明： ，
其中 ， ， ，
，
无论 取何值时，方程都有两个不相等的实数根
（2）解：设方程 的两个根为 和 ，
，
该方程的两个实数根互为相反数，
，
，
．
16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售 个，7
月份销售 个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若
增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)增加4条生产线
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 ．
（2）解：设增加x条生产线． ，
解得 ， （舍去），
答：从节省成本的角度看，增加4条生产线．
能力提升进阶练
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程 的常数项为0，则方程的两个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0求出m的值，代入方程后解方程即可．
【详解】解：∵方程常数项为 ，
∴由题意得 ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴方程为： ，
提公因式得： ，∴ 或 ，
∴方程的两个根为 ， ，
故选：D．
2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知 是方程 的两个实数根，则 的值是
（ ）
A．2029 B．2028 C．2027 D．2026
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由 是方程 的一个实数根，可得
．由根与系数的关系，可得 ．代入 即可求解．
【详解】解： 是方程 的一个实数根，
，
．
是方程 的两个实数根，
．
，
故选A．
3．若m为实数， ，则P，Q的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算 ，利用配方法，再
根据完全平方的非负性即可确定符号．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
故选：A．
4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于 的一元二次方程方程 有实数根，则 的
取值范围是（ ）
A． 且 B． ，且
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定二次
项系数不为0，再结合根的判别式确定 的取值范围．
根据一元二次方程的定义及根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负，联
立解不等式组即可．
【详解】由题意得： ，
∴
由 得： ，
解得：
由 得： ，
∴ 的求值范围为： 且 ，
故选：A．
二、填空题
5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于 的方程 是一元二次方程，则 的
值为 ．
【答案】【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接开配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的定义“只含
有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
因此 ，
故答案为： ．
6．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知 、 是方程 的两个实数根，则
．
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解题的关键是根据根与系
数的关系得到 ， ．
根据根与系数的关系可得出 ， ，代入并利用完全平方公式变形计算即可得出结论．
【详解】解：∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：0．
7．如图，某小区规划在一个长14米，宽11米的矩形场地 上，修建同样宽的小路，使其中两条与
平行，另一条与 平行，其余部分种草，若平均每块草坪面积为20平方米，则小路的宽度为
．【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为x米，根据草坪的面积相当于一个长
为 米，宽为 的矩形面积建立方程求解即可．
【详解】解；设小路的宽度为x米，
由题意得， ，
整理得： ，
解得 或 （舍去），
∴小路的宽度为1米，
故答案为：1．
8．定义 ，则方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法-公式法以及新定义运算，正确运用新定义化简方程是解题的关
键．
利用题中的新定义化简所求方程，然后再运用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：根据题中的新定义得： ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
这里 ，
∵ ，∴ ，即 ．
故答案为： ．
三、解答题
9．用合适的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征正确寻找解方程的方法．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用直接开方法解方程即可；
（3）利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解： ，
原方程可化为 ，
即 ，
或 ，， ；
（2）解： ，
原方程可化为 ，
或 ，
， ；
（3）解： ，
原方程可化为 ，
其中 ， ， ，
，
，
， ．
（4）解： ，
原方程可化为 ，
，
或 ，
， ．
10．（24-25八年级下·广东湛江·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有一根为 ，求 的值及另一根的值；
(2)若方程有两个不等实根，求实数 的取值范围；
【答案】(1) ；方程另一个根为 ；
(2) ．
【分析】此题考查一元二次方程的解，根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答．
（1）把已知的方程的根代入可求实数 的值及另一个根；（2）根据根的判别式大于0，可求实数 的取值范围．
【详解】（1）解：因为方程有一根为 ，
所以有 ，
，
因为 ，
又因为 ，
所以 ，
故方程另外一个根为 ；
（2）解：因为方程 有两个不等的实数根，
所以 ，即 ，
解得 ．
11．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)证明：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)在 中，斜边 ， 、 的长恰是方程 的两个根，求
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根
的判别式和根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）根据勾股定理得出 ，根据根与系数的关系得出 ， ，
根据 ，列出关于m的方程 ，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求
出三角形面积即可．
【详解】（1）证明：∵ ，∴
∴不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由已知得： ， ， ，
∴ ，
即 ，
解这个方程得： ， ．
当 时， ，与已知不符合，舍去，
∴ ，此时方程为 ，
解得： ，
故 的两直角边长是4和3．
∴ ．
12．（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)当方程有两个实数根时，求 的取值范围．
(2)当方程的两个根 满足 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键．
（1）根据方程有两个实数根得到 ，由此即可求解；
（2）根据题意方程的两个根 得到， ，结合完全平方公式的变形得到
，代入计算即可求解．【详解】（1）解：关于 的一元二次方程 ，方程有两个实数根，
∴ ，
整理得， ，
解得， ；
（2）解：方程 的两个根 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，整理得， ，
∴ ，
整理得， ，
∴ ，
解得， ，
当 时， ，
解得， ，符合题意；
当 时， ，
∵ ，
∴原方程无实数，
∴ 舍去，
∴ ．
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加 ，6月份的游客人数比
5月份减少 ．
(1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表：
4
月份 5月 6月
月游客人
a ①____________ ②____________
数/万人
(2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；
(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过
市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快
销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
【答案】(1)填表见解析
(2)
(3)每件售价应定为52元
【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可；
（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为 ，根据四月份人数和六月份的人数列出方程
求解即可；
（3）设每件的售价定为 元，则每件的销售利润为 元，每天可卖出 件，根据商家想要达
到日利润432元，列出方程求解即可．
本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加 ，6月份的游客人数比5月份减少了 ，
且该景区4月份的游客人数为 万人，
∴该景区5月份的游客人数为 万人，
∴6月份的游客人数为 万人．
∴五月的人数为 万人，六月的人数为 万人；
填表如下：
4
月份 5月 6月
月
游客人数/万
a
人
（2）解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为 ，
根据题意得： ，解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为 ；
（3）解：设每件的售价定为 元，则每件的销售利润为 元，每天可卖出
件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
∵为尽快销售完该款商品
∴ ．
答：每件售价应定为52元．
14．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次
方程 （a≠0）的两个实数根为x，x，则 ，这就是一元二次方程根与
1 2
系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求
的值．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程 的两根为 ， ，则： ____， _____；
(2)一元二次方程 的两个根为 ， ，求 的值；
(3)若 ， 是关于x的方程 的两个实数根且 ，求m的值．【答案】(1)6，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系；
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后将 进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后求出 的值，然后结合 求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
则： ， ；
（2）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ ， 是关于x的方程 的两个实数根
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∵ ，
解得： ，
∴ 不符合题意， .
