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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.
难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.
自 主 学
习
一、知识链接
1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？
2.下面式子哪些是方程？
2+6=8 2x+3 5x+6=22
+3y=8 x-5<18
x
3. 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部 AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等
于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为
2 m，下部BC=x m，请列出方程.
课堂探
究
二、要点探究
探究点1：一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然
后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为
3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条
件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
要点归纳：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，
a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a，
b，c为常数，a≠0)，其中 称为二次项， 称为二次项系数， 称为一次项，
称为一次项系数， 称为常数项.
想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
典例精析
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
方法总结：判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化
简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2； (2) (a－1)x|a|+1 －2x－
7=0.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2，列
出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
【变式题】方程(2a－4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
方法总结：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：
1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；
2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.
例3 (教材P3例题)将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的
二次项系数、一次项系数和常数项.方法总结：系数和项均包含前面的符号.
探究点2：一元二次方程的根
问题1：下面哪些数是方程 x2–x–6 = 0的解?
-4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6
要点归纳：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做
根）.
典例精析
例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
【变式题】已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2018的值.
方法总结：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解
时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值．
探究点3：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横
向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总
面积为570m2，问小路的宽应为多少？
三、课堂小结
①是整式方程；
一元二次方程的概念 ②只含一个未知数；
③未知数的最高次数是2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值.
建立一元二次方程模型 审→设→找→列
当堂检
1.下列哪些是一测元二次方程？
3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1
2.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2=-3x
3y2+1=2 y
4x2=5
(2-x)(3x+4)=3
3.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，
当k 时，是一元二次方程；
当k 时，是一元一次方程.
4.（1）已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4，则m的值为 .
（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0，求m的值.
5. (1) 如图，已知一矩形的长为200 cm，宽为150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
分的面积为原矩
形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）；(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.
求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
拓展提升
6.已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1， 求a+b+c的值.
思考：（1）若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
（2）若 a-b +c=0，4a+2b +c=0 ，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?参考答案
自主学习
一、知识链接
1.等号两边都为整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1的方程叫做一元一
次方程；一元一次方程的特点是：①只含有一个未知数；②未知数的次数是 1；③是整式
方程.
2. 5x+6=22，x+3y=8 ， .
3.解：列方程得x2= 2(2－x)，整理，得x2 + 2x－4 = 0．
课堂探究
二、要点探究
探究点1：一元二次方程的概念
问题1 解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.
根据方盒的底面积为3600cm2，得：(100－2x)(50－2x)=3600.化简得x2－75x +350 = 0.
问题2 解：根据题意，列方程： 化简，得：
要点归纳 ax2 a bx b c
想一想 当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，故a≠0.b、c 可以为零.
典例精析
例1 C
例2 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原
方程是一元二次方程； (2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方
程.
变式题 解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；（2）当a=2且b ≠0时，
是一元一次方程．
例3 解：去括号，得：3x2－3x=5x+10.移项、合并同类项，得3x2－8x－10=0.其中二次
项系数是3；一次项系数是－8；常数项是－10.
探究点2：一元二次方程的根
问题1
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6 14 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
所以x=－2，x=3是方程 x2–x–6 = 0的解.
例 4 解：由题意把 x=3 代入方程 x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，
.变 式 题 解 ： 由 题 意 得 ： a2+2a － 2=0 即 a2+2a=2.∴ 2a2+4a+2018=2(a2+2a)
+2018=2×2+2018=2022.
探究点3：建立一元二次方程模型建立
问题 解：设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x
m2，两者重叠的面积是2x2 m2.根据题意得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.整理得x2－36x
＋35=0.
当堂检测
1.是一元二次方程的有：x2=0；(x+3)(2x－4)=x2；3x2=5x－1.
2.从左至右从上至下依次为x2+3x=0，1，3，0，3y2－2 y+1=0，3，－2 ，1，4x2－
5=0，4，0，－5，3x2－2x－5=0，3，－2，－5.
3.≠±1 ＝－1
4.(1) ；
(2)解：将x=0代入方程m2－4=0，解得m=±2.∵ m+2 ≠0，∴ m≠－2，综上所述，m =2.
5.(1)解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积为3x2 cm2.根据题意，得
，
整理得 .
(2)解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得 ，整理得
.
6.解：由题意得 ， 即 .
思考：(1)解：由题意得 ，即 .∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根
是1.
(2)x=－1或x=2.
