文档内容
第二十一章 一元二次方程（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．若一元二次方程3x﹣5＝2x2化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【答案】B
【解答】解：3x﹣5＝2x2，
2x2﹣3x+5＝0，
∴一次项系数是﹣3，
故选：B．
2．已知一元二次方程x2+6x+1＝0配方后可变形为（x+3）2＝k，则k的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解答】解：原方程移项得x2+6x＝﹣1，
则x2+6x+9＝﹣1+9＝8，
∴（x+3）2＝8，
故选：A．
3．关于x的方程（x+m）2＝n，下列说法正确的是（ ）
A．有两个解x＝±❑√n
B．当n≥0 时，有两个解x＝±❑√n−m
C．当n≤0时，有两个解x＝±❑√n−m
D．当n≤0时，方程无实根
【答案】B
【解答】解：在方程（x+m）2＝n中，因为（x+m）2≥0，所以当n≥0时，方程才有意义．即有两个解
x＝±❑√n−m．
故选：B．
4．已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（ ）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
【答案】C
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣2＝0，
∴m2﹣2m＝2，
∴2m2﹣4m+2025＝2（m2﹣2m）+2025＝2×2+2025＝4+2025＝2029，
故选：C．
5．若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足a+b+c＝0，则方程必有根（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1
【答案】B
【解答】解：∵当x＝1方程ax2+bx+c＝0可化为a+b+c＝0；
故选：B．
6．下列关于x的方程中，不论a取什么实数值，一定有两个实数根的是（ ）
A．x2+ax﹣1＝0 B．ax2+2x+1＝0
C．x2+2x+a＝0 D．x2+ax+1＝0
【答案】A
【解答】解：A、∵Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4，
∴不论a取什么实数值，
∴Δ＝a2+4＞0，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意；
B、当a＝0时，原方程化为2x+1＝0，
1
∴x=− ，
2
即当a＝0时，关于x的方程有一个实数根，故该选项不符合题意；
C、∵Δ＝4﹣4a，
∴当a≤1时，Δ＝4﹣4a≥0，即关于x的方程有两个实数根，故该选项不符合题意；
D、∵Δ＝a2﹣4×1×1＝a2﹣4，
∴a2≥4时，Δ＝a2﹣4≥0，即关于x的方程有两个实数根，故该选项不符合题意；
故选：A．
7．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根．则k的取值范围是（ ）
3 3 3 3
A．k≤ B．k＞ C．k＜ D．k≥
2 2 2 2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣2）＝﹣8k+12≥0，3
解得：k≤ ．
2
故选：A．
8．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增
加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出4件，
若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价 x元，由题意可列方程（
）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400
B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
【答案】B
【解答】解：设每件商品降价x元，
由题意可得：（60﹣20﹣x）（20+4x）＝1400，
即（40﹣x）（20+4x）＝1400，
故选：B．
9．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内
其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，则该
群一共有（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】D
【解答】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意列方程得：x（x﹣1）＝132，
整理得，x2﹣x﹣132＝0，
解得x ＝12，x ＝﹣11（不符合题意，舍去）．
1 2
则该群一共有12人，
故选：D．
10．定义一种运算：m※n＝m2﹣2mn﹣n2，例如2※3＝22﹣2×2×3﹣32＝4﹣12﹣9＝﹣17，若x※2＝﹣4，
则正数x的值为（ ）
A．0 B．0或4 C．3 D．4
【答案】D【解答】解：由题意得x2﹣4x﹣4＝﹣4，
整理得：x2﹣4x＝0，
因式分解得：x（x﹣4）＝0，
解得：x＝0或x＝4，
则正数x的值为4，
故选：D．
11．若A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，则A、B的大小关系为（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，
∴A﹣B＝（x2+4xy+y2﹣4）﹣（4x+4xy﹣6y﹣25）
＝x2+y2﹣4x+6y+21
＝（x﹣2）2+（y+3）2+8
∵（x﹣2）2+（y+3）2+8≥8，
∴A﹣B＞0，
∴A、B的大小关系为：A＞B．
故选：A．
1 1 1
12．小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式： + = ，这让他联想起数学课
R R R
1 2
堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若 AB⊥BC、DC⊥BC（AB＜CD），连接AC和
1 1 1 2
BD相交于E，过E作EF⊥BC于F，则 + = .若EF= ，且以AB、CD为宽和长的矩形的面
AB CD EF 3
积等于2，则以AB、CD的长度为根的一元二次方程为（ ）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2﹣3x﹣2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0
【答案】A
1 1 3
【解答】解：由题意可知， + = ，
AB CD 2AB+CD 3
∴ = ，
AB⋅CD 2
∵以AB、CD为宽和长的矩形的面积等于2，
∴AB•CD＝2，
∴AB+CD＝3，
∴以AB、CD的长度为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若方程（k﹣2）x|k|+2x+5＝0是一元二次方程，则k的值是 ﹣ 2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且|k|＝2，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．设m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝ 202 3 ．
【答案】2023．
【解答】解：∵m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，
∴m2﹣2m﹣2025＝0，m+n＝2，
∵m2﹣3m﹣n
＝m2﹣2m﹣m﹣n
＝2025﹣2
＝2023，
故答案为：2023．
15．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全
过程，某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长 36m，宽24m，要求在
场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为 805m2，则所
修道路的宽为 1 m．
【答案】1m．【解答】解：设所修道路的宽为x m，
根据题意得：（24﹣x）（36﹣x）＝805，
整理得：x2﹣60x+59＝0．
解得：x ＝59（不合题意，舍去），x ＝1．
1 2
即所修道路的宽为1m，
故答案为：1．
16．已知Rt△ABC的两直角边长为a、b，且满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则该三角形的斜边长为
❑√3 ．
【答案】❑√3．
【解答】解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0
（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）＝0
a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2舍去），
a2+b2＝3，
a2+b2＝c2，
c2＝3，
c=❑√3．
该三角形的斜边长为❑√3．
故答案为：❑√3．
17．根据如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 4 5 6
x2﹣bx﹣5 13 5 ﹣1 … ﹣1 5 13
确定方程x2﹣bx﹣5＝0的解的取值范围是 ﹣ 2 ＜ x ＜﹣ 1 或 4 ＜ x ＜ 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x＝﹣2时，x2﹣bx﹣5＝5＞0；x＝﹣1时，x2﹣bx﹣5＝﹣1＜0，
∴x取﹣2至﹣1之间的某一个数时，x2﹣bx﹣5＝0，
∴方程x2﹣bx﹣5＝0一个解的范围为﹣2＜x＜﹣1；
∵x＝4时，x2﹣bx﹣5＝﹣1＜0；x＝5时，x2﹣bx﹣5＝5＞0，
∴x取4至5之间的某一个数时，x2﹣bx﹣5＝0，
∴方程x2﹣bx﹣5＝0一个解的范围为4＜x＜5，
综上所述，方程x2﹣bx﹣5＝0解的范围为﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5．
故答案为：﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5．18．阅读下面的问题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x ＝2，x ＝﹣1（不合题意，舍去）；
1 2
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，x ＝1（不合题意，舍去）；
1 2
综上所述，原方程的根是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
参照上述解题方法，则x2﹣|x﹣1|﹣1＝0的解为 x ＝ 1 ； x ＝﹣ 2 ．
1 2
【答案】x ＝1；x ＝﹣2．
1 2
【解答】解：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得：x ＝1，x ＝0（不合题意，舍去）；
1 2
（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x ＝1（不合题意，舍去），x ＝﹣2，
1 2
综上所述，原方程的根是x ＝1，x ＝﹣2，
1 2
故答案为：x ＝1；x ＝﹣2．
1 2
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（4）x2−4❑√3x+10=0．
【答案】（1）x ＝5，x ＝﹣1；
1 2
3+❑√15 3−❑√15
（2）x = ，x = ；
1 2
2 2
3
（3）x = ，x ＝4；
1 2
2
（4）x ＝2❑√3+❑√2，x ＝2❑√3−❑√2．
1 2
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x ＝5，x ＝﹣1；
1 2（2）2x2﹣6x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，
∴x −b±❑√b2−4ac 6±❑√60 3±❑√15，
= = =
2a 2×2 2
3+❑√15 3−❑√15
∴x = ，x = ；
1 2
2 2
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），
（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，
∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，
3
∴x = ，x ＝4；
1 2
2
（4）x2−4❑√3x+10=0，
∵a＝1，b＝﹣4❑√3，c＝10，
∴b2﹣4ac＝48﹣4×1×10＝8＞0，
∴x −b±❑√b2−4ac 4❑√3±❑√8 2 ± ，
= = = ❑√3 ❑√2
2a 2×1
∴x ＝2❑√3+❑√2，x ＝2❑√3−❑√2．
1 2
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝1是一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0的一个根．求方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解答；
（2）方程的另一个根为x＝7．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+4）]2﹣4×1•（2m﹣1）
＝m2+20，
∴m2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x＝1是一元二次方程一个根，
∴1﹣（m+4）+2m﹣1＝0，
解得m＝4，
此时，原一元二次方程为x2﹣8x+7＝0，
解得x ＝1，x ＝7，
1 2
所以方程的另一个根为x＝7．
21．（8分）我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利
用学校的墙（墙的最大可用长度为27米），另三面用长为45米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形
菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为180平方米（中间篱笆忽略不计），求此时边AB的长；
（2）若每平方米可收获4千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
【答案】（1）菜地的面积能达到180m2时AB的长为10m；
（2）该片菜地最多可收获738千克的菜．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（45﹣3x+3）m，
x（48﹣3x）＝180，
即x2﹣16x+60＝0，
∴x ＝10，x ＝6，
1 2
当x＝6时，BC＝48﹣3x＝30m＞27m（不合题意，舍去），
当x＝10时，BC＝48﹣3x＝18m＜27m．
答：AB的长为10m．
（2）设菜地的面积为ym2，
y＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x＝﹣3（x﹣8）2+192，
∴当x＝8时，y有最大值为192．
∴192×4＝768（千克），
答：该片菜地最多可收获768千克的菜．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根x 和x ．
1 2
（1）求实数k的取值范围；（2）若两个实数根x 和x 满足x +x ﹣x x ＜4，求k的整数值．
1 2 1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤2；
（2）根据根与系数的关系得x +x ＝2，x x ＝k﹣1，
1 2 1 2
∵x +x ﹣x x ＜4，
1 2 1 2
∴2﹣（k﹣1）＜4，
解得k＞﹣1，
而k≤2，
∴﹣1＜k≤2，
∴k的整数值为0、1、2．
23．（10分）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市
场需求逐年上升．
（1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售
量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增
长率．
（2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发
现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，
若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利
于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价．
【答案】（1）10%；
（2）20万元．
【解答】解：（1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，
由题意得：30（1+x）2＝36.3，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
1 2
答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%；
（2）设下调后每辆汽车降低a万元，则下调后每辆汽车的售价为（25﹣a）元，利润为（25﹣a﹣12）
元，
由题意得：（25﹣a﹣12）（8+2a）＝144，
整理得：a2﹣9a+20＝0，
解得：a ＝5，a ＝4（不符合题意，舍去），
1 2∴25﹣a＝25﹣5＝20，
答：下调后每辆汽车的售价为20万元．
24．（10分）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料：
当a＞0，b＞0时；
∵ b
(❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+
又∵ 0
(❑√a−❑√b) 2≥
∴a﹣2❑√ab+b≥0
∴a+b≥2❑√ab
当且仅当a＝b 时，a+b＝2❑√ab．
请利用上述结论解决以下问题：
1 1
（1）当x＞0时，4x+ 的最小值为 4 ，此时x＝ ；
x 2
x2+4x+9
（2）若y= （x＞﹣2），求y的最小值．
x+2
1
【答案】（1）4， ；
2
（2）y的最小值为2❑√5．
【解答】解：（1）∵x＞0时，
1 1 1
∴（2❑√x− ）2＝4x﹣4❑√x⋅ + ，
❑√x ❑√x x
1
∵（2❑√x− ）2≥0，
❑√x
1 1
∴4x﹣4❑√x⋅ + ≥0，
❑√x x
1 1
∴4x+ ≥4❑√x⋅ ，
x ❑√x
1
即4x+ ≥4，
x
1 1
当且仅当4x= 时，4x+ =4，
x x
1
解得x= ，
21 1
∴当x＞0时，4x+ 的最小值为4，此时x= ，
x 2
1
故答案为：4， ；
2
x2+4x+9 (x2+4x+4)+5 (x+2) 2+5 5
（2）y= = = =（x+2）+ ，
x+2 x+2 x+2 x+2
∵x＞﹣2，
5 ❑√5
∴（x+2）+ ≥2❑√x+2 ，
x+2 ❑√x+2
5
∴（x+2）+ ≥2❑√5，
x+2
5 5
当且仅当x+2= ，即x=❑√5−2时，（x+2）+ 的最小值为2❑√5，
x+2 x+2
∴y的最小值为2❑√5．
25．（10分）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材
料：
阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝ 6 ，b＝ ﹣ 3 ；
（2）已知△ABC的三边长a，b、c都是正整数，且满足a2﹣6a+2b2﹣4b+11＝0，求c的值；
（3）若A＝4a2+3a﹣3，B＝3a2+5a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）6，﹣3；（2）c＝3；（3）A＞B，理由见解答．
【解答】解：（1）由题意得，a2+4ab+5b2+6b+9＝a2+4ab+4b2+b2+6b+9＝（a+2b）2+（b+3）2＝0，
∴a+2b＝0，b+3＝0，
∴a＝6，b＝﹣3．
故答案为：6，﹣3．
（2）由题意得，a2﹣6a+2b2﹣4b+11＝a2﹣6a+9+2b2﹣4b+2＝（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，∴a＝3，b＝1，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴2＜c＜4，
∵c是正整数，
∴c＝3．
（3）A＞B，理由如下：
由题意得，∵A＝4a2+3a﹣3，B＝3a2+5a﹣6，
∴A﹣B＝4a2+3a﹣3﹣（3a2+5a﹣6）＝4a2+3a﹣3﹣3a2﹣5a+6＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+2＞2＞0，
∴A＞B．
26．（10分）已知x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
1 2
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC
a+b+c
=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p= ，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交
2
于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0，
化简得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）由题意知：x ，x 恰好是等腰△ABC的腰长，
1 2
∴x ＝x ，
1 2
∵x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
1 2
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，
解得m＝﹣1，∴x2﹣6x+9＝0，
解得x ＝x ＝3，
1 2
∵BC＝4，
∴△ABC的周长为：3+3+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4，
3+3+4
∴p= =5，
2
∴S△ABC =❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√5×(5−3)×(5−3)×(5−4)=2❑√5，
过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF＝ID＝IE，
∴ S△
ABC
1 1 1 1 1
= AB⋅IF+ BC⋅ID+ AC⋅IE= ID⋅(AB+BC+AC)= ID×(3+3+4)=5ID=2❑√5，
2 2 2 2 2
2❑√5
解得ID= ，
5
1 1 2❑√5 4❑√5
∴S△BIC = BC⋅ID= ×4× = ．
2 2 5 5
