文档内容
21.2.2 解一元二次方程（公式法）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次
方程”21.2.2 公式法第1课时，内容包括：利用公式法解一元二次方程。
2.内容解析
公式法是在前面学的配方法的基础上学习的，对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，
代入一元二次方程的求根公式即可求解，它是所有一元二次方程的通用解法，它为进一步学习一元二次方
程的简单应用起到铺垫作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：熟练使用公式法求解一元二次方程。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）会用公式法解一元二次方程。
（2）理解用根的判别式判别根的情况。
（3）通过推导求根公式的过程，加强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力，体验类比、转化、
降次的数学思想。
2.目标解析
本节课我们利用配方法求解一元二次方程： ax2+bx+c=0(a≠0)，经历推导的过程，使学生理解当一元
二次方程中b2－4ac的结果不同，根的情况不同。进一步得出当 Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0）的实数
根为 −b±❑√b2−4ac 形式。通过本节课的学习，我们知道了公式法是一元二次方程的通用解法，
x= 的
2a
但是在使用过程中需注意：a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。
用公式法解一元二次方程的关键是先将方程化为一般形式，然后将 a、b、c的值代入求根公式计算即
可。对于一元二次方程，公式法是解法中的通法，它的推导建立在配方法的基础上。通过配方法推导一元
二次方程求根公式的过程，进一步让学生体会解一元二次方程时降次的基本策略和转化思想。
达成1）目标的标志是：熟练运用公式法解一元二次方程。
达成2）目标的标志是：利用根的判别式判别根的情况，进而通过根的情况计算方程中未知数的值或
取值范围。
达成3）目标的标志是：过配方法推导一元二次方程求根公式的过程，体会了可以把一些问题转化为已经掌握的知识、方法来解决问题的思想方法。
三、教学问题诊断分析
在推导一元二次方程求根公式过程中，先由具体方程变成抽象的方程引导学生从配方法入手，注意强
调被开方数一定是非负数。在(x+ b )2=b2−4ac中，因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分以下
2a 4a2
三种情况进行讨论：① b2－4ac＞0② b2－4ac=0,③ b2－4ac<0，从而得出当 Δ≥0 时，方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为 −b±❑√b2−4ac 形式。
x= 的
2a
【注意】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：1）正确推导出一元二次方程的求根公式。
2）理解b2－4ac对一元二次方程根的影响。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】简述通过配方法解一元二次方程的步骤。
师生活动：师生共同回顾配方法解一元二次方程的步骤，从而引出本节课所学内容。
【设计意图】先回顾配方法解一元二次方程的步骤，为本节课的学习利用配方法推导一元二次方程求
根公式做好铺垫。
（二）探究新知
【问题】用配方法解一元二次方程： ax2+bx+c=0(a≠0)？
师生活动：学生积极思考，教师板演。根据化简后的结果，教师需提醒学生：因为 a≠0，所以
4a2>0，式子b2－4ac的值需分情况讨论：
(x+ b )2=b2−4ac ①
2a 4a2
1）若b2－4ac＞0，则 b2−4ac >0 将①直接开平方，得x+ b =± ❑√b2−4ac
4a2 2a 2a
方程有两个不相等的实数根 −b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
x = ,x = ;
1 2a 2 2a2）若b2－4ac=0，则 b2−4ac =0 将①直接开平方，得x+ b =0
4a2 2a
b
方程有两个相等的实数根 x=x=﹣
1 2
2a
3）若b2－4ac＜0， 则 b2−4ac ＜ 0
4a2
而x取任何实数都不能使 ( b ) 2 ，因此方程无实数根。
x+ <0
2a
由此可知，一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。
通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.
[总结]由前面的推导过程，可知：
1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根。
2）若△= 0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根。
3）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无 实根。
【设计意图】通过教师板演配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0的过程，学生再次巩固配方法求解一
元二次方程的方法，引导学生回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。再通过分情况讨论，让学
生理解如何通过根的判别式判别根的情况的方法。通过总结环节，引起学生的探究欲望和学习兴趣，激发
学生的学习热情。
师生活动：经过前面的推导过程，教师归纳与小结一元二次方程求根公式与公式法的概念：
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为 −b±❑√b2−4ac 形式，这个式子叫做一元二
x= 的
2a
次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。
解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方程根，这种
解一元二次方程的方法叫做公式法。
【设计意图】学生通过观察配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0的过程，让学生理解一元二次方程求
根公式是如何推导而得出的，从而理解利用公式法求解一元二次方程的方法。
（三）典例分析
例1 1）x2 -4x-7=0 2）2x2-2❑√2x+1=0
3)5x2-3x=x+1 4)x2+17=8x师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。
【设计意图】让学生加深对公式法求解一元二次方程方法的掌握。
（四）知识归纳
【提问】简述通过公式法解一元二次方程的步骤。
1）将原方程化为一般形式，确定a、b、c的值
【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数，方便计算。
2）求出b2-4ac的值，根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解。
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式。
【易错点】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。
4）最后求出原方程的解。
【设计意图】教师引导学生归纳公式法解一元二次方程的步骤及注意事项。使学生巩固对课堂知识的
理解和掌握，同时需重点强调：a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。
（五）典例分析
例2 一元二次方程4x2−2x−1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
答案：∵△＝（-2）2-4×（-1）×4＝4+16=20＞0
∴一元二次方程4x2−2x−1=0有两个不相等的实数根．
故答案为D．
例3 求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程x2 +2x-4=0
答案：解：用公式法解方程得 −2±❑√22−4×1×(−4) −2±❑√20
x= = =−1±❑√5,
2×1 2
即
x =−1+❑√5，x =−1−❑√5
1 2
如果结果保留小数点后两位，那么x≈ 1.24，x≈ －3.24（舍）
1 2
所以雕像下部高度应设计为约1.24m
【针对训练】
1． −7±❑√72+4×2×3是下列哪个一元二次方程的根（ ）
x=
2×2
A．2x2+7x+3=0 B．2x2−7x−3=0
C．2x2+7x−3=0 D．2x2−7x+3=02 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2+6x+9=0 B．x2=x
C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A．x2−2x=0 B．x2+4x−1=0
C．3x2−5x+2=0 D．2x2−4x+3=0
1
4 一元二次方程mx2+mx﹣ ＝0有两个相等实数根，则m的值为（ ）
2
A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2
答案：1.C 2.B 3.D 4.C
【能力提升】
1.关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
[解析] 1) ，
∵a=1,b=−m,c=2m−4
∴△=b2−4ac=(−m) 2−4(2m−4)=m2−8m+16=(m−4) 2
∵无论m取何值时， ，∴此方程总有两个实数根．
(m−4) 2≥0
−b±❑√△ m±(m−4)
（2）解：∵△=(m−4) 2≥0，∴x= = ．
2a 2
∴x =m−2,x =2．
1 2
∵此方程有一个根小于1，且x =2≥1．∴m−2<1．
2
∴m<3．
2.关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
[解析] 解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1，
∵m为正整数，∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，解得：x=x=1．
1 2
师生活动：学生思考，独立完成，教师借助多媒体展示具体求解过程。
【设计意图】通过配套练习，使学生加强对利用判别式判断根的情况、求根公式等问题的理解和解决
方法。把研究的对象从具体数字抽象到字母表示的数字，体现从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程，巩固对公式法的认识。
（五）直击中考
1．(2020临沂市中考)一元二次方程x2−4x−8=0的解是（ ）
A． ， B． ，
x =−2+2❑√3 x =−2−2❑√3 x =2+2❑√3 x =2−2❑√3
1 2 1 2
C． ， D． ，
x =2+2❑√2 x =2−2❑√2 x =2❑√3 x =−2❑√3
1 2 1 2
答案：B
2．(2022成都市中考）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2−6x+4=0的两个
实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【详解】解：∵一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2−6x+4=0的两个实数根，
6±❑√36−16 6±2❑√5
∴由公式法解一元二次方程x2−6x+4=0可得x= = =3±❑√5，
2 2
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 ，
∴ ❑√ (3+❑√5) 2+(3−❑√5) 2=❑√28=2❑√7
故答案为：2❑√7．
3．（2022·四川巴中·统考中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程
1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
1 1 1 1
A．k>− B．k<− C．k>− 且k≠0 D．k≥− 且k≠0
4 4 4 4
[解析] 解：∵1※x=k，∴x2−x=k，即x2−x−k=0，
∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，∴ ，
x 1※x=k Δ=(−1) 2−4×(−k)＞0
1
解得：k＞− ，故A正确．故选：A．
4
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点。
（六）归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述公式法解一元二次方程的基本步骤吗？
2. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？
（七）布置作业
P16：习题21.2：第4题（1）（4）
第5题（2）（3）（6）
[选做]第13题
五、教学反思
