文档内容
21.2.2 解一元二次方程（公式法） 导学案
学习目标
1. 会用公式法解一元二次方程。
2. 理解用根的判别式判别根的情况。
3. 通过推导求根公式的过程,极强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力，体验类比、转化、降次的
数学思想。
重点难点突破
★知识点1：当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为 −b±❑√b2−4ac 形式，这个式子叫
x= 的
2a
做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。
★知识点2： 解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方程
根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
★知识点3：通过公式法解一元二次方程的步骤：
1）将原方程化为一般形式，确定a、b、c的值
2）求出b2-4ac的值，根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解。
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
【易错点】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。
4）最后求出原方程的解。
核心知识
1）当Δ_____0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为x=________________的形式，这个式子
叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。
2）解一元二次方程时，把________________直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方
程根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
3）通过公式法解一元二次方程的步骤：
1）将原方程化为_____________，确定____________的值
2）求出______________的值，根据______________值的情况确定一元二次方程是否有解。
3）如果______________, 将______________的值代入求根公式：【易错点】_________________的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。
4）最后求出原方程的解。
思维导图
新知探究
【问题】用配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0)？
由此可知，一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。
通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.
[总结]由前面的推导过程，可知：
1）若△_____0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根。
2）若△_____0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根。
3）若△_____0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无 实根。
当Δ______0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为x=_____________的形式，这个式子叫
做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。
解一元二次方程时，把_______直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方程根，这
种解一元二次方程的方法叫做公式法。典例分析
例1 1）x2 -4x-7=0 2）2x2-2❑√2x+1=0
3)5x2-3x=x+1 4)x2+17=8x
知识归纳
【提问】简述通过公式法解一元二次方程的步骤。
典例分析
例2 一元二次方程4x2−2x−1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
例3 求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程x2 +2x-4=0
【针对训练】
1． −7±❑√72+4×2×3是下列哪个一元二次方程的根（ ）
x=
2×2
A．2x2+7x+3=0 B．2x2−7x−3=0
C．2x2+7x−3=0 D．2x2−7x+3=0
2 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2+6x+9=0 B．x2=x
C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A．x2−2x=0 B．x2+4x−1=0
C．3x2−5x+2=0 D．2x2−4x+3=0
1
4 一元二次方程mx2+mx﹣ ＝0有两个相等实数根，则m的值为（ ）
2A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2
【能力提升】
1.关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
2.关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
直击中考
1．(2020临沂市中考)一元二次方程x2−4x−8=0的解是（ ）
A． ， B． ，
x =−2+2❑√3 x =−2−2❑√3 x =2+2❑√3 x =2−2❑√3
1 2 1 2
C． ， D． ，
x =2+2❑√2 x =2−2❑√2 x =2❑√3 x =−2❑√3
1 2 1 2
2．(2022成都市中考)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2−6x+4=0的两个实数根，
则这个直角三角形斜边的长是_________．
3．（2022·四川巴中·统考中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程
1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
1 1 1 1
A．k>− B．k<− C．k>− 且k≠0 D．k≥− 且k≠0
4 4 4 4
课堂小结【参考答案】
核心知识
1）当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为 −b±❑√b2−4ac 形式，这个式子叫做一元二次
x= 的
2a
方程 ax2+bx+c=0的求根公式。
2）解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方程根，这种
解一元二次方程的方法叫做公式法。
3）通过公式法解一元二次方程的步骤：
1）将原方程化为一般形式，确定 a 、 b 、 c 的值
2）求出 b 2 -4a c 的值，根据 b 2 -4a c 值的情况确定一元二次方程是否有解。
3）如果 b 2 -4a c ≥ 0, 将 a 、 b 、 c 的值代入求根公式：
新知探究
.①
因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分情况讨论：
1）若b2－4ac＞0，则 b2−4ac >0 将①直接开平方，得x+ b =± ❑√b2−4ac
4a2 2a 2a
方程有两个不相等的实数根 −b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
x = ,x = ;
1 2a 2 2a
2）若b2－4ac=0，则 b2−4ac =0 将①直接开平方，得x+ b =0
4a2 2a
b
方程有两个相等的实数根 x=x=﹣
1 2
2a
3）若b2－4ac＜0， 则 b2−4ac ＜ 0
4a2
而x取任何实数都不能使 ( b ) 2 ，因此方程无实数根。
x+ <0
2a由此可知，一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。
通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.
[总结]由前面的推导过程，可知：
1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根。
2）若△= 0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根。
3）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无 实根。
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为 −b±❑√b2−4ac 形式，这个式子叫做一元二
x= 的
2a
次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。
解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方程根，这种
解一元二次方程的方法叫做公式法。
典例分析
❑√2
答案：1）x=2+❑√11,x= 2−❑√11 2）x=x=
1 2 1 2
2
1
3）x=1,x=- 4)方程无实数根
1 2
5
知识归纳
1）将原方程化为一般形式，确定a、b、c的值。
【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数，方便计算。
2）求出b2-4ac的值，根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解。
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
【易错点】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。
4）最后求出原方程的解。
典例分析
答案：例2：D
例3：解：用公式法解方程得 −2±❑√22−4×1×(−4) −2±❑√20
x= = =−1±❑√5,
2×1 2
即
x =−1+❑√5，x =−1−❑√5
1 2
如果结果保留小数点后两位，那么x≈ 1.24，x≈ －3.24（舍）
1 2
所以雕像下部高度应设计为约1.24m
【针对训练】答案：1.C 2.B 3.D 4.C
【能力提升】
1.[解析] 1) ，
∵a=1,b=−m,c=2m−4
∴△=b2−4ac=(−m) 2−4(2m−4)=m2−8m+16=(m−4) 2
∵无论m取何值时， ，∴此方程总有两个实数根．
(m−4) 2≥0
−b±❑√△ m±(m−4)
（2）解：∵△=(m−4) 2≥0，∴x= = ．
2a 2
∴x =m−2,x =2．
1 2
∵此方程有一个根小于1，且x =2≥1．∴m−2<1．
2
∴m<3．
2.[解析] 解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1，
∵m为正整数，∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，解得：x=x=1．
1 2
直击中考
1. B
2. 解：∵一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2−6x+4=0的两个实数根，
6±❑√36−16 6±2❑√5
∴由公式法解一元二次方程x2−6x+4=0可得x= = =3±❑√5，
2 2
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 ，
∴ ❑√ (3+❑√5) 2+(3−❑√5) 2=❑√28=2❑√7
故答案为：2❑√7．
3. 解：∵1※x=k，∴x2−x=k，即x2−x−k=0，
∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，∴ ，
x 1※x=k Δ=(−1) 2−4×(−k)＞0
1
解得：k＞− ，故A正确．故选：A．
4
课堂小结
