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21.2.2 解一元二次方程（公式法） 分层作业
基础训练
1．关于x的方程 实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【详解】解：对于关于x的方程 ，
∵ ，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
2．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【详解】∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝4−4×（−k）＝0，且k≠0；
解得 ．
故选：B．
3．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（ ）
A．17 B．1 C．－1 D．－17
【详解】解：一元二次方程x2-3x-2=0，
∵a=1，b=-3，c=-2，
∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17．
故选：A．
4．对于任意实数k，关于x的方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【详解】解：∵
，
∴方程无实数根．故选B．
5．以 为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A．此方程的根为x= ，符合题意；
B．此方程的根为x= ，不符合题意；
C．此方程的根为x= ，不符合题意；
D．此方程的根为x= ，不符合题意；
故选：A．
6．请填写一个常数，使得关于 的方程 ____________ 有两个不相等的实数根．
【详解】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
7．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；
(2)如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
【详解】（1）解：依题意，得：
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ．（2）解：
解得 ， ，
∵方程有一个根小于0，
∴ ，
∴ ．
8．解方程:2x2 - 4x - 1 = 0
【详解】解：由题意可知： ， ，
∴
∴
∴ ， ．
能力提升
1．直线 不经过第二象限，则关于 的方程 实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【详解】∵直线 不经过第二象限，
∴ ，
∵方程 ，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵∆= ，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
2．若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或【详解】解方程 得 ，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 ；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 ，面积为 ；
则该直角三角形的面积是6或 ，
故选：D．
3．定义新运算 ，对于任意实数a，b满足 ，其中等式右边是通常的加法、减法、
乘法运算，例如 ，若 （k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情
况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【详解】解：根据新运算法则可得： ，
则 即为 ，
整理得： ，
则 ，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
4．对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；④若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【详解】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实
数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个
不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等
于0，那么③不一定正确．
④(2ax+b)2＝4a2x2+b2+4abx，由b2-4ac=4a2x2+b2+4abx，得ax2+bx+c＝0．由x 是一元二次方程
0 0 0 0 0 0 0 0
ax2+bx+c=0的根，则ax2+bx+c＝0成立，那么④正确．
0 0
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：A．
5．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于 的一元二次方程 的两个根，则 的值为
_______．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当6为等腰三角形的腰长时，则
关于 x 的方程 x2−8x+m=0的一个根x=6
1
代入方程得，36-48+m=0
解得m=12
则方程为 x2−8x+12=0
解方程，得另一个根为x=2
2
∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理；
（2）当6为等腰三角形的底边长时，则
关于x的方程 x2−8x+m=0 有两个相等的实数根
∴根的判别式
解得，m=16
则方程为x2−8x+16=0
解方程，得 x=x=4
1 2
∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．
综上，m的值为12或16．
故答案为：12或16．6．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【详解】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，
把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，
得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；
当底为4时，
则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3，
综上所述，m的值为4或3．
7．已知关于 的一元二次方程 ，其中 ， ， 为 的三边．
(1)若 是方程的根，判断 的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断 的形状，并说明理由．
（1）
解：把x=1代入方程得，
，
化简得 ，
则该三角形 的形状为等腰三角形．
（2）
解：由题意可得方程有两个相等的实数根
则 的判别式：
化简可得
则该三角形 的形状为直角三角形．拔高拓展
1．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反
数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
【详解】解：方程 根的判别式为 ，
方程 根的判别式为 ，
所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A错误；
若两个方程都有实数根，
设方程 的一个实数根为 ，则 ，即 ，
，
，
，
将 代入方程 的左边得： ，
即 是方程 的根，
所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B正确；
将 代入方程 的左边得： ，
即 不是方程 的根，选项C错误；
将 代入方程 的左边得：
，
则只有当 时， 才是方程 的根，
所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D错误；
故选：B．
