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专题 05 圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)
目录
题型一：垂直关系向量化....................................................................1
题型二：向量坐标化............................................................................4
题型三：利用向量求角........................................................................6
题型四：利用向量证明三点共线问题.................................................9
专项训练.............................................................................................11
题型一：垂直关系向量化
1．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，
焦距为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线 与C交点P，Q两点，O为坐标原点，且 ，求实数k的值.
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高二上·云南大理·期中）已知椭圆 的短轴长为2，点 在
椭圆 上，与两焦点围成的三角形面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 为椭圆 的右顶点时，直线 与椭圆 相交于 两点（异于 点），且 .
试判断直线 是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.
3．（23-24高三上·山东临沂·期末）已知圆 ： 的圆心为 ，圆 ：
的圆心为 ，一动圆与圆 内切，与圆 外切，动圆的圆心 的轨迹为
曲线 ．
(1)求曲线 的方程：
(2)已知点 ，直线 不过 点并与曲线 交于 两点，且 ，直线 是否过
定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二下·上海黄浦·期中）如图：双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，过 作直线l交y轴于点Q．
(1)当直线l平行于 的一条渐近线时，求点 到直线l的距离；
(2)当直线l的斜率为1时，在 的右支上是否存在点P，满足 ？若存在，求出P
点的坐标；若不存在，说明理由.
5．（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知抛物线 ， .
(1)Q是抛物线上一个动点，求 的最小值；
(2)过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求 的值.
学科网（北京）股份有限公司题型二：向量坐标化
1．（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆 的左右焦点为 ，
短轴长为 为 上一点， 为 的重心.
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 上不同三点 ，满足 ，且 成等差数列，线段 中
垂线交 轴于 点，求点 纵坐标的取值范围；
(3)直线 与 交于 点，交 轴于 点，若 ，求实数 的取值范
围.
2．（2024高三·全国·专题练习）设直线l： 与椭圆 相交于A、
B两个不同的点，与x轴相交于点F．
(1)证明： ；
(2)若F是椭圆的一个焦点，且 ，求椭圆的方程．
学科网（北京）股份有限公司3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线 的左、右顶点分别为
， ，左、右焦点分别为 ， ， ，且 的渐近线方程为 ，直线 交
双曲线 于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)当直线 过点 时，求 的取值范围.
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点
在C上，点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点 的直线 与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直
线 ，直线PE与 交于点D，且 求直线AB的斜率．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线 的方程为 ，焦点为
，过抛物线内一点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，与抛物线交于点 ，已知
， ， .
(1)求 的值；
(2)斜率为 的直线过点 ，且与曲线 交于不同的两点 ， ，若存在
，使得 ，求实数 的取值范围.
题型三：利用向量求角
1．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆 ： 过点 ，
， 分别为椭圆的左、右焦点，且离心率 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 为钝角，求 的取值范
围.
2．（2024·重庆·三模）已知椭圆 的上、下顶点分别为 ，左顶点
为 ， 是面积为 的正三角形．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 外一点 的直线交椭圆 于 两点，已知点 与点 关于 轴对称，
点 与点 关于 轴对称，直线 与 交于点 ，若 是钝角，求 的取值范
围．
3．（23-24高二上·吉林·期末）已知抛物线 焦点为F，点 在抛物线
上， .
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且 是钝角，求直线
斜率范围.
学科网（北京）股份有限公司4．（2024·北京·三模）已知椭圆C： （ ）过点 ，右焦点为
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分
别与直线 交于点P、Q，求 的大小．
5．（23-24高二下·河北·开学考试）已知椭圆 ： （ ）的离心率为
，左、右焦点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，且四边形 的面积为
4．
(1)求椭圆 的方程．
(2)平行于 轴的直线 与椭圆 的一个交点为 ，与以 为直径的圆的一个交点为 ，且
， 位于 轴两侧， ， 分别是椭圆 的左、右顶点，直线 ， 分别与 轴交
于点 ， ．证明： 为定值．
学科网（北京）股份有限公司题型四：利用向量证明三点共线问题
1．（2024上海崇明）已知椭圆Γ： ，点 分别是椭圆Γ与
轴的交点（点 在点 的上方），过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 两点．
(1)若椭圆 焦点在 轴上，且其离心率是 ，求实数 的值；
(2)若 ，求 的面积；
(3)设直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线．
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为
， ，左、右顶点分别为 ， ， ， .
（1）求椭圆 的方程.
学科网（北京）股份有限公司（2）过 的直线与椭圆 交于 ， 两点（均不与 ， 重合），直线 与直线
交于 点，证明： ， ， 三点共线.
3．（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为
与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点 的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线
交于点 ，求证: 三点共线.
4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为 ，
一条渐近线方程为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ，过 的直线 交 的右支于 两点，连结 交直
学科网（北京）股份有限公司线 于点 ，求证： 三点共线．
专项训练
1．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 为
椭圆上第一象限内的一点，且 与 轴相交于点 ，离心率 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆 的上、下顶点为 ，过点
的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 （ 在线段 之间），则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·一模）已知过椭圆 的上焦点 且斜率为 的直线 交椭圆 于
两点， 为坐标原点，直线 分别与直线 相交于 两点.若 为锐
角，则直线 的斜率 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司4．（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，过点
作直线 与渐近线 垂直，垂足为点 ，延长 交 于点 .若 ，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）已知点P为双曲线C： （ ，
）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A， 为
双曲线C的左焦点，若 ，则渐近线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆C： 的离心率为 ，斜
率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，点的位置如
图所示，且 ，则直线l的斜率为 ．
7．（2024·河北·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，过 的直线与 轴相交于点 ，与 在第一象限的交点为 ，若 ，
，则 的离心率为 ．
8．（2024高三·全国·专题练习）设双曲线C的左、右焦点分别为 ， ，且焦距为
，P是C上一点，满足 ， ，则 的周长为 ．
9．（23-24高二下·上海·阶段练习）设点 ， 分别是椭圆 : 的左、右
焦点，且椭圆C上的点到点 的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上
方的两点，且向量 与向量 平行.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当 时，求点N的坐标；
学科网（北京）股份有限公司(3)当 时，求直线 的方程.
10．（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆 的左右焦点为
，短轴长为 为 上一点， 为 的重心.
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 上不同三点 ，满足 ，且 成等差数列，线段 中
垂线交 轴于 点，求点 纵坐标的取值范围；
(3)直线 与 交于 点，交 轴于 点，若 ，求实数 的取值范
围.
学科网（北京）股份有限公司11．（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为
与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点 的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线
交于点 ，求证: 三点共线.
12．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线 ，抛物线
的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线
相切．
(1)求双曲线M的标准方程；
(2)已知直线 与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足
，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由．
13．（23-24高三上·福建福州·期中）已知直线 与抛物线 交于
A，B两点，M为线段AB的中点，点N在抛物线C上，直线MN与y轴平行.
(1)证明：抛物线在点N处的切线与直线l平行；
(2)若 ，求抛物线C的方程.
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